Tại sao cần biến đổi Fourier

Bạn có thể lấy một hàm tuần hoàn và phân tích nó thành các hệ số Fourier của nó hoặc sử dụng các hệ số Fourier trong một tổng để tổng hợp một hàm tuần hoàn. Bạn có thể lấy biến đổi Fourier của một hàm được xác định trên toàn bộ dòng thực và nhận một hàm khác như vậy. Và bạn có thể tính toán biến đổi Fourier rời rạc thông qua thuật toán FFT.

Có một lý thuyết chung thống nhất tất cả những điều liên quan nhưng khác nhau này không? Tại sao có, vâng có.

Các nhóm

Tất cả mọi thứ trong đoạn mở đầu chỉ đơn giản là một biến đổi Fourier, mỗi biến thể trong một bối cảnh khác nhau. Và bối cảnh tương ứng với các nhóm - cụ thể là các nhóm Abelian nhỏ gọn cục bộ.

Một số trong những nhóm này dễ nhìn thấy hơn những nhóm khác. Rõ ràng, các số thực với phép cộng tạo thành một nhóm: tổng của hai số thực là một số thực, v.v ... Nhưng các nhóm trong các bối cảnh khác ở đâu?

Bạn có thể nghĩ về một hàm tuần hoàn như một hàm trên một vòng tròn. Các giá trị hàm phải đồng ý ở cả hai đầu của một khoảng, vì vậy bạn cũng có thể nghĩ hai điểm đó là cùng một điểm, tức là nối chúng để tạo thành một vòng tròn. Dịch chuyển dọc theo một khoảng, quấn quanh nếu cần thiết, tương ứng với một vòng quay của vòng tròn và các vòng quay tạo thành một nhóm. Vì vậy, phân tích một hàm tuần hoàn thành một tập hợp các hệ số Fourier là một biến đổi Fourier trên vòng tròn.

Bạn có thể nghĩ về một tập hợp các hệ số Fourier như là một hàm trên các số nguyên, ánh xạ n đến hệ số thứ n . Tổng hợp một tập hợp các hệ số Fourier thành một hàm tuần hoàn là một biến đổi Fourier trên nhóm các số nguyên.

Điều gì về một biến đổi Fourier rời rạc [DFT]? Nếu bạn có một hàm được lấy mẫu tại m điểm, bạn có thể nghĩ các điểm đó là nhóm các số nguyên mod m . Các điểm được lấy mẫu của bạn tạo thành một hàm trên số nguyên mod m và DFT là một biến đổi Fourier trên nhóm đó.

Lưu ý rằng DFT là một biến đổi Fourier theo đúng nghĩa của nó. Nó không phải là một xấp xỉ mỗi se , mặc dù nó gần như luôn được sử dụng như một phần của quá trình gần đúng. Bạn có thể bắt đầu với một hàm liên tục, xấp xỉ nó bằng một tập hợp mẫu hữu hạn và tính DFT của các mẫu này và kết quả sẽ cho bạn một xấp xỉ với biến đổi Fourier của hàm liên tục ban đầu.

Điều gì về chức năng của một số biến? Đây là các chức năng trên các nhóm, quá. Ví dụ, một hàm gồm hai biến thực là một hàm trên R ², là một nhóm có phép cộng [vectơ].

Nhóm kép

Một biến đổi Fourier lấy một hàm được xác định trên một nhóm và trả về một hàm được xác định trên kép của nhóm đó. Tôi đi vào chính xác những gì một nhóm kép trong bài viết tiếp theo của tôi , nhưng bây giờ, chỉ cần lưu ý rằng biến đổi Fourier có một hàm được xác định trên một nhóm và trả về một hàm được xác định trên một nhóm khác.

Số kép của vòng tròn là số nguyên và ngược lại. Đó là lý do tại sao biến đổi Fourier của một hàm trên vòng tròn là một tập hợp vô hạn các hệ số Fourier, mà chúng ta nghĩ là một hàm trên các số nguyên. Biến đổi Fourier của hàm trên các số nguyên, tức là một tập hợp các hệ số Fourier, là một hàm trên vòng tròn, tức là một hàm tuần hoàn.

Nhóm kép của các số thực là số thực một lần nữa. Đó là lý do tại sao biến đổi Fourier của một chức năng trên dòng thực là một chức năng khác trên dòng thực.

Các số nguyên mod m cũng là nhóm kép của riêng nó. Vì vậy, DFT lấy một tập hợp số m và trả về một tập hợp số m .

Các nhóm Abelian [LCA] tại địa phương

"Nhỏ gọn cục bộ" và "Abelian" nghĩa là gì? Và tại sao chúng ta thực hiện những giả định này?

Hãy bắt đầu với Abelian. Điều này chỉ có nghĩa là hoạt động nhóm là giao hoán. Khi chúng tôi thêm số thực hoặc tổng hợp các phép quay của một vòng tròn, các thao tác này có tính giao hoán.

Tại địa phương, nhỏ gọn là một yêu cầu kỹ thuật hơn. Vòng tròn nhỏ gọn, và số nguyên mod m cũng vậy . Nhưng nếu chúng ta hạn chế sự chú ý của mình vào các nhóm nhỏ gọn, điều đó sẽ bỏ qua các số nguyên và số thực. Những không gian này không nhỏ gọn, nhưng chúng nhỏ gọn cục bộ, và điều đó đủ để lý thuyết đi qua.

Nó chỉ ra rằng các nhóm LCA là một loại điểm ngọt lý thuyết. Giả sử các nhóm là LCA thường đủ để bao gồm các ví dụ chúng ta quan tâm nhất, nhưng không quá chung chung để lý thuyết trở nên khó hơn và kết quả kém mạnh mẽ hơn.

Thêm kết nối

Bài đăng này liên quan đến chuỗi Fourier [phân tích và tổng hợp] với các biến đổi Fourier [trên dòng thực] bằng cách nói rằng cả hai đều là trường hợp đặc biệt của phân tích Fourier trên các nhóm LCA. Có một vài cách khác để kết nối chuỗi Fourier và biến đổi Fourier.

Bạn có thể sử dụng biến đổi Fourier [không phải chuỗi Fourier] của hàm tuần hoàn theo hai cách: bằng cách giới hạn nó trong một khoảng thời gian và xác định nó bằng 0 ở mọi nơi khác hoặc bằng cách để nó lặp lại mãi mãi trên dòng thực và hiểu theo biến đổi Fourier của các chức năng tổng quát . Bạn có thể đọc thêm về hai cách tiếp cận trong bài này .