- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Để rút gọn các biểu thức, ta thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức [ nếu có]. Sau đó, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức sau:
A. 4x2 – 7x
B. 3x2 + 7x
C. 2x2 + 23x
D. 20x2 + 7x
Lời giải
Ta có:
A = 3x[4x - 5] - 2x[4x - 4]
= 3x.4x - 3x.5 - 2x.4x - 2x[-4]
= 12x2 - 15x - 8x2 + 8x
= [12x2 - 8x2] + [8x - 15x]
= 4x2 - 7x
Chọn A.
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức sau: B = x[x2 - xy] - x2[x - y]
A.2x2y
B.2xy2
C. 0
D. 2x3
Lời giải
B = x[x2 - xy] - x2[x - y]
B = x3 - x2y - [x3 - x2y]
B = x3 - x2y - x3 + x2y
B = [x3 - x3] + [x2y - x2y]
B = 0 + 0
B = 0
Chọn C
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức C = 6x[x + 3x -1] - 6x2 - 8xy
A.10xy + 6x
B. 10xy – 6x
C. 12x2 + 10xy
D. 12x2 – 10xy
Lời giải
C = 6x[x + 3y -1] - 6x2 - 8xy
C = 6x2 + 18xy - 6x - 6x2 - 8xy
C = [6x2 - 6x2] + [18xy - 8xy] - 6x
C = 10xy - 6x
Chọn B.
Câu 1. Rút gọn biểu thức: A = 2x2 [- 3x3 + 2x2 + x- 1] + 2x[x2 – 3x + 1]
A. A = -6x5 + 4x2 - 4x3 - 2x
B. A = - 6x5 + 2x2 + 4x3 + 2x
C. A = - 6x5 - 4x2 + 4x3 + 2x
D. A = - 6x5 - 2x2 + 4x3 - 2x
Ta có: A = 2x2 [- 3x3 + 2x2 + x- 1] + 2x[x2 – 3x + 1]
A = 2x2 . [-3x3] + 2x2 . 2x2 + 2x2. x+ 2x2. [-1] + 2x.x2 + 2x.[-3x] + 2x.1
A = - 6x5 + 4x2 + 2x3 - 2x2 + 2x3 – 6x2 + 2x
A = - 6x5 - 4x2 + 4x3 + 2x
Chọn C.
Câu 2: Thực hiện phép tính [5x – 1]. [x+ 3] – [x- 2][5x – 4] ta có kết quả là ?
A. 28x - 3
B. 28x + 5
C. 28x - 11
D. 28x - 8
Ta có: [5x - 1][x + 3] - [x - 2][5x - 4] = 5x[x + 3] - [x + 3] - x[5x - 4] + 2[5x - 4]
= 5x2 + 15x - x - 3 - 5x2 + 4x + 10x - 8
= 28x - 11
Chọn C.
Câu 3. Rút gọn biểu thức A= [x- 2y]. [x2 – 1] – x[x2 - 2xy + 1]
A. 2x – 2y
B. – 2x + 2y
C. 2x + 2y
D. -2x – 2y
A = [x - 2y].[x2 - 1] - x[x2 - 2xy + 1]
A = x[x2 - 1] - 2y[x2 - 1] - x3 + 2x2y - x
A = x3 - x - 2x2y + 2y - x3 + 2x2y - x
A = [x3 - x3] + [2x2y - 2x2y] + [-x - x] + 2y
A = 0 + 0 - 2x + 2y
A = -2x + 2y
Chọn B.
Câu 4: Rút gọn của biểu thức A = [2x -3]. [ 4+6x] – [6 – 3x]. [ 4x – 2] là ?
A.0
B. x2 + 20x
C. 12x2 – 20x
D. Kết quả khác
Ta có: A = [2x - 3][4 + 6x] - [6 - 3x][4x - 2]
= [8x + 12x2 - 12 - 18x] - [24x - 12 - 12x2 + 6x]
= 12x2 - 10x - 12 - 30x + 12x2 + 12
= 24x2 - 40x
Chọn D.
Câu 5. Rút gọn biểu thức A = [x - 2y].[x2 + xy] - [xy - y2].[x + y]
A. x3 + y3 - 2x2y - 2xy2
B. x3 + y3 - 2xy +2xy2
C. x3 + y3 - 2x2y + 2xy
D. x3 + y3 + 2xy
Ta có:
A = [x - 2y].[x2 + xy] - [xy - y2].[x + y]
A = x[x2 + xy] - 2y[x2 + xy] - xy[x + y] + y2[x + y]
A = x3 + x2y - 2x2y - 2xy2 - x2y - xy2 + y3
A = [x3 + y3] + [x2y - 2x2y - x2y] + [-2xy2 - xy2 + xy2]
A = x3 + y3 - 2x2y - 2xy2
Chọn A.
Câu 6. Rút gọn biểu thức B = [x - y + 1].[x + xy] - [y - xy].[x - 1]
A. x2y + x2 - xy2 + x + y
B. 2x2y + x2 - xy2 -x + y
C. -2xy + x2 - xy2 + x - y
D. 2x2y - 2xy + x2 - xy2 + x + y
Ta có:
B = [x - y + 1].[x + xy] - [y - xy].[x - 1]
B = x[x + xy] - y[x + xy] + 1.[x + xy] - y[x - 1] + xy[x - 1]
B = x2 + x2y - xy - xy2 + x + xy - xy + y + x2y - xy
B = [x2y + x2y] + [-xy + xy - xy - xy] + x2 - xy2 + x + y
B = 2x2y - 2xy + x2 - xy2 + x + y
Chọn D.
Câu 7. Cho A = 2x2[x3 + x2 - 2x2 + 1]; B = -3x3.[-2x2 + 3x + 2] . Tính A + B?
A. 8x5 + 7x4 -10x3 + x2
B. 8x5 – 7x4 -10x3 + 2x2
C. 8x5 + 6x4 + 10x3 + 2x2
D. 8x5 – 7x4 + 8x3 - x2
Ta có:
A = 2x2.x3 + 2x2 .x2 + 2x2 . [-2x] + 2x2 .1
A = 2x5 + 2x4 - 4x3 + 2x2
Và
B = -3x3. [-2x2 + 3x + 2]
B = - 3x3. [-2x2] - 3x3. 3x - 3x3 .2
B = 6x5 – 9x4 – 6x3
Suy ra: A + B = 2x5 + 2x4 – 4x3 + 2x2 + 6x5 – 9x4 – 6x3
A + B = 8x5 – 7x4 -10x3 + 2x2
Chọn B.
Câu 8. Rút gọn biểu thức: A = [x + y].[x2 + xy] - xy[x2 + y2 + y]
A. x3 + x2y - 2x3y - xy3
B. x3 - x2y - x3y - xy3
C. x3 + 2x2y - x3y - xy3
D. Đáp án khác
Ta có:
A = [x + y].[x2 + xy] - xy[x2 + y2 + y]
A = x[x2 + xy] + y[x2 + xy] - xy.x2 - xy.y2 - xy.y
A = x3 + x2y + x2y + xy2 - x3y - xy3 - xy2
A = x3 + 2x2y - x3y - xy3
Chọn c.
Câu 9. Rút gọn biểu thức A = [2x2 + 2x]. [ - 2x2 + 2x ] ta được:
A. 4x4 + 8x3 + 4x2
B. – 4x4 + 8x3
C. – 4x4 + 4x2
D. 4x4 - 4x2
Ta có:
A = [2x2 + 2x]. [ - 2x2 + 2x ]
A = 2x2. [- 2x2 + 2x] + 2x . [- 2x2 + 2x]
A = 2x2. [-2x2 ] + 2x2 .2x + 2x. [- 2x2] + 2x .2x
A = - 4x4 + 4x3 - 4x3 + 4x2
A = - 4x4 + 4x2
Chọn c.
Câu 10. Rút gọn biểu thức sau: C = [x - y].[x + 2y] - x[x + 4y] + 4y[x - y]
A. x2 + 6xy
B. xy – 2y2
C. xy – 6y2
D. x2 – 6y2
Ta có:
C = [x - y].[x + 2y] - x[x + 4y] + 4y[x - y]
C = x[x + 2y] - y[x + 2y] - x2 - 4xy + 4xy - 4y2
C = x2 + 2xy - xy - 2y2 - x2 - 4y2
C = [x2 - x2] + [2xy - xy] - [2y2 + 4y2]
C = xy - 6y2
Chọn c.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
- Giải bài tập Toán 8
- Giải sách bài tập Toán 8
- Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 8 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta cần áp dụng linh hoạt và phù hợp các kiến thức cơ bản sau:
Nếu các em chưa nắm được thì có thể xem lại và trong bài viết cô sẽ nhắc lại một cách tóm tắt.
Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Phương pháp giải:
#1. Sử dụng hằng đẳng thức √A²=|A|
#2. Áp dụng các công thức khai phương của một tích hoặc khai phương của một thương
#3. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
3. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai
4. Trục căn thức ở mẫu
Các ví dụ về Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai sau:
Giải:
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai ở trên, ta cần nhớ cách khai phương một tích, ta làm như sau:
Chứng minh đẳng thức:
Giải:
Để chứng minh đẳng thức trên, ta cần rút gọn vế trái về dạng bằng vế phải.
Biến đổi vế trái, ta có:
Như vậy, ta chẳng vội trục căn thức ở mẫu, mà nhận thấy xuất hiện hằng đẳng thức đáng nhớ vì thế ta viết ra khai triển và rút gọn cho mẫu thức.
Cho biểu thức:
a] Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai P.
b] Tìm giá trị của a để P 0 và a khác 1 nên P < 0 khi và chỉ khi
Như vậy, với a > 1 thì P < 0.
Sau đây, ta cùng làm một số bài tập trong sách giáo khoa Toán 9:
Bài tập SGK: Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai
Bài 58:
Rút gọn các biểu thức sau:
____________________________
Bài 59:
Rút gọn các biểu thức sau [với a > 0, b > 0]:
Như vậy, muốn rút gọn biểu thức chứa căn, ta chỉ cần áp dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.
____________________________
Bài 60:
Cho biểu thức
a] Rút gọn biểu thức B;
b] Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
Giải:
a] Để rút gọn biểu thức B, ta đưa thừa số ra ngoài căn để xuất hiện nhân tử chung:
b] Ta cho B = 16 và tìm x, kiểm tra điều kiện xác định và kết luận giá trị của x nếu thỏa mãn.
Vậy khi x = 15 thì B có giá trị là 16.
____________________________
Bài 61:
Chứng minh các đẳng thức sau:
____________________________
Bài 63.
Rút gọn biểu thức:
____________________________
Bài tập liên quan đến Rút gọn biểu thức chứa căn
Các bài toán liên quan đến bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai thường là:
1] Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến; [Tính giá trị A khi x = …]
2] Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức [Tìm x]
3] Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên [ Tìm x thuộc Z để biểu thức A có giá trị thuộc Z]
4] Tìm giá trị thực của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên [Tìm x thuộc R để biểu thức A có giá trị thuộc Z]
5] So sánh biểu thức với một số hoặc một biểu thức khác
6] Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức
7] Giải và biện luận nghiệm phương trình
Xem thêm: Tổng hợp các bài Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán
Sau đây là các bài toán liên quan mẫu theo các dạng chúng ta đã nói ở trên. Các bạn đọc đề và tự làm, sau đó check lại đáp án bên dưới.
Bài 1. [Dạng Rút gọn biểu thức chứa căn]
Rút gọn các biểu thức sau
Giải:
Chú ý: Nếu trong trường hợp đề bài không cho khoảng xác định của x thì khi phá dấu giá trị tuyệt đối, ta cần xem xét hai trường hợp như ở bài c, d phía trên [đối với bên trong dấu giá trị tuyệt đối là x mũ lẻ]
Bài 2. [Dạng Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến]
Cho biểu thức
a] Rút gọn biểu thức P.
b] Tính giá trị của P trong các trường hợp:
[Sách Củng cố và ôn luyện Toán 9]
Hướng dẫn giải:
a] Trước khi ta thực hiện rút gọn biểu thức P, bạn cần nhìn kĩ mẫu thức là gì, có mẫu thức chung là gì?
Ví dụ như ở bài này, biểu thức P có các mẫu thức x − 9, √x + 3, √x − 3.
Ta sẽ hiểu ngay là chọn mẫu thức chung là x − 9 vì x − 9 = [√x + 3][√x − 3] [Hằng đẳng thức đáng nhớ].
Sau khi chọn mẫu thức chung, ta thực hiện quy đồng các phân thức.
b]
Muốn tính giá trị biểu thức P khi x = 9/4, ta trực tiếp thay x = 9/4 vào biểu thức vừa rút gọn xong rồi tính ra kết quả.
Trước tiên, ta rút gọn x. Biểu thức dưới căn có dạng của bình phương của một tổng và bình phương một hiệu.
Bây giờ bạn thay x = 4 vào biểu thức đã rút gọn ở câu a, tính ra kết quả P = 4/5.
______________________________
Bài 3. [Dạng Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức]
Cho biểu thức
với x ≥ 0.
a] Rút gọn biểu thức N.
b] Tìm x để N = 8/9.
c] Tìm x để
Hướng dẫn giải:
a] Tương tự bài trên, để rút gọn biểu thức N, ta cũng xem kĩ các mẫu thức để chọn ra mẫu thức chung và quy đồng các phân thức.
Ta có:
x√x + 1 = [√x]³ + 1 = [√x + 1][x – √x + 1] [Hằng đẳng thức đáng nhớ]
b]
c]
__________________________
Bài 4. [Dạng tìm x thỏa mãn điều kiện của biểu thức]
Cho biểu thức:
a] Tìm tập xác định của A.
b] Rút gọn biểu thức A.
c] Tính giá trị của A tại x = 1.
d] Tìm giá trị của x khi A = 1/3
e] Tìm giá trị của x khi A < 0
Giải:
a] Để tìm tập xác định của biểu thức, ta cần xem có những căn thức nào, mẫu thức là gì.
Đối với căn thức ta sẽ cho biểu thức dưới căn không âm, còn mẫu thức khác 0 thì ta sẽ tìm được tập xác định của biểu thức A.
Ta nhìn biểu thức dưới căn là hằng đẳng thức:
9x² − 6x+1 = [3x − 1]² ≥ 0 ∀x nên ta không cần tìm điều kiện xác định của biểu thức dưới căn.
Mẫu thức là 9x² − 1 = [3x − 1][3x + 1] phải khác 0. Ta giải:
[3x − 1][3x + 1] ≠ 0 ⇔ x ≠ 1/3 và x ≠ -1/3.
Vậy tập xác định của biểu thức A là D = R\{±1/3}.
b] Sau đây ta sẽ rút gọn biểu thức A.
c] Với x = 1 > 1/3, ta thay x = 1 vào biểu thức
d] Để A = 1/3, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu
Trường hợp 2: Nếu
e] Ta có:
Bài 5. [Dạng tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên]
Cho biểu thức:
a] Rút gọn A
b] Tìm x nguyên để
có giá trị nguyên.
Giải:
a]
b] Trước tiên ta rút gọn biểu thức như sau:
Bài 6. [Dạng So sánh biểu thức với một số]
Cho các biểu thức
a] Rút gọn biểu thức A và B.
b] Đặt P = A/B. Hãy so sánh P với 1.
Phương pháp giải: Để so sánh một biểu thức M với một số a, ta có thể xét hiệu M – a và xét dấu của hiệu này.
Nếu M – a > 0 thì M > a.
Nếu M – a < 0 thì M < a.
Giải:
a] Sau khi rút gọn ta được
b] Đầu tiên ta tính P = A/B như sau:
Bài 7. [Dạng Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức]
Cho các biểu thức:
a] Rút gọn B
b] Tìm giá trị nhỏ nhất của 1/B.
Giải:
a] Sau khi rút gọn, ta được:
b] Ta tính 1/B.
Phương pháp giải: Ta đưa biểu thức đang xét về dạng đơn giản hơn và sử dụng các biến đổi tương đương để tìm ra giá trị lớn nhất [nhỏ nhất].
Chú ý rằng:
- Biểu thức P nhỏ hơn hoặc bằng a tức là P có giá trị lớn nhất là a.
- Biểu thức P lớn hơn hoặc bằng b tức là P có giá trị nhỏ nhất là b.
Bài 8. [Dạng giải và biện luận phương trình]
Cho biểu thức:
a] Rút gọn B
b] Tìm m để phương trình B = m có nghiệm x >9.
Giải:
a] Sau rút gọn, ta thu được
b]
Để xét dấu biểu thức này, ta có thể lập bảng xét dấu như sau:
1.Tìm các giá trị của m để m – 1 = 0, 4 – 2m = 0, ta thu được m = 1 và m = 2.
2. Đặt giá trị của m vừa tìm được theo thứ tự từ bé đến lớn [trái sang phải]
3. Gióng vị trí giá trị m = 1 và m – 1 ghi 0, gióng giá trị m = 2 và 4 – 2m ghi 0.
4. Dòng 1: Bên phải số 0 sẽ cùng dấu với m trong m – 1 tức là dấu +, bên trái số 0 sẽ trái dấu với m trong m – 1 tức là dấu âm.
Dòng 2: Dấu của m trong 4-2m là âm, nên bên phải số 0 là dấu – và bên trái số 0 là dấu +
5. Xét dấu của thương: +/- = -; +/+ = +; -/+ = -. Vậy khoảng ta cần tìm là 1 < m < 2.
Trên đây, chúng ta đã vừa học cách rút gọn biểu thức chứa căn và cách giải các dạng bài liên quan đến bài rút gọn biểu thức chứa căn. Đây là những dạng bài có trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán nên các em cần ôn luyện cẩn thận.
Bước rút gọn là quan trọng nhất vì nếu sai bước này dẫn tới sai cả những câu sau. Vì thế, khi rút gọn ta đặc biệt cẩn thận làm từng bước.
Chúc các bạn học tốt!
Nếu có nhu cầu học Toán 9 online với giáo viên, xin liên hệ E-mail: để biết thêm chi tiết.
Th.s Toán học
Nguyễn Thùy Dung
Về chuyên mục Toán 9
Tổng hợp các bài ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán
Xem thêm:
- Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Toán 9 – Góc nội tiếp
- Toán 9 – Khái niệm hàm số
- Toán 9 – Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
- Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất
- Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Toán 9 – Bài 3. Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương
- Toán 9 – Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Toán 9 – Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
- Toán 9 – Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xem thêm Bài tập Rút gọn biểu thức có đáp án