Khi các em học tới phương trình bậc 2 một ẩn, thì việc ghi nhớ cách tính biệt thức delta là điều tất nhiên có vai trò chính để giải được phương trình bậc 2, cách tính biệt thức delta này các em đã ghi nhớ nằm lòng chưa?
Bài viết này sẽ trả lời cho các em câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta thỏa điều kiện gì?.
Đang xem: điều kiện để phương trình có 2 nghiệm thực
I. Phương trình bậc 2 – kiến thức cơ bản cần nhớ
• Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 [a≠0]
• Công thức nghiệm tính delta [ký hiệu: Δ]
Δ = b2 – 4ac
+ Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ 2 – ac với b = 2b”.
+ Nếu Δ” > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ” = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ” Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào?
– Trả lời: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi biệt thức delta ≥ 0. [khi đó phương trình có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt].
> Lưu ý: Nếu cho phương trình ax2 + bx + c = 0 và hỏi phương trình có nghiệm khi nào? thì câu trả lời đúng phải là: a=0 và b≠0 hoặc a≠0 và Δ≥ 0.
• Thực tế đối với bài toán giải phương trình bậc 2 thông thường [không chứa tham số], thì chúng ta chỉ cần tính biệt thức delta là có thể tính toán được nghiệm. Tuy nhiên bài viết này đề sẽ đề cập đến dạng toán hay làm các em bối rối hơn, đó là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có chứa tham số m có nghiệm.
II. Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm
* Phương pháp giải:
– Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, đặc biệt là hệ số a. Phương trình ax2 + bx + c = 9 là phương trình bậc 2 chỉ khi a≠0.
– Tính biệt thức delta: Δ = b2 – 4ac
– Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm, hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm.
* Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình: 2×2 – [1 – 2a]x + a – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
* Lời giải:
– Xét phương trình: 2×2 – [1 – 2a]x + a – 1 = 0 có:
a = 2; b = -[1 – 2a] = 2a – 1; c = a – 1.
Δ = [2a – 1]2 – 4.2.[a – 1] = 4a2 – 12a + 9 = [2a – 3]2.
– Vì Δ ≥ 0 với mọi a nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a.
Xem thêm: Diện Tích Xây Dựng Chung Cư Theo Tt Bxd Mới Nhất, Cách Xác Định Diện Tích Sàn Căn Hộ Chung Cư
* Bài tập 2: Cho phương trình mx2 – 2[m – 1]x + m – 3 = 0 [*]. Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm.
* Lời giải:
– Nếu m = 0 thì phương trình đã cho trở thành: 2x – 3 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm x = 3/2.
– Xét m ≠ 0. Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc 2 một ẩn, khi đó, ta có:
a = m; b = -2[m – 1]; c = m – 3.
Và Δ = 2 – 4.m.[m-3] = 4[m2 – 2m + 1] – [4m2 – 12m]
= 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 12m = 4m + 4
– Như vậy, m = 0 thì pt [*] có nghiệm và với m ≠ 0 để phương trình [*] có nghiệm thì Δ≥0 ⇔ 4m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1.
⇒ Kết luận: Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -1.
* Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình x2 – 2[m + 4]x + 2m + 6 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
* Bài tập 4: Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: x2 – mx – 1 = 0.
* Bài tập 5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 3×2 + [m – 2]x + 1 = 0.
* Bài tập 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: x2 – 2mx – m + 1 = 0.
* Bài tập 7: Với giá trị nào của m thì phương trình sau: mx2 – 4[m – 1]x + 4m + 8 = 0 có nghiệm.
Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Chung Của 2 Đồ Thị Hàm Số
Như vậy với bài viết đã giải đáp được thắc mắc: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta cần thỏa điều kiện gì? cùng các bài tập về tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm ở trên đã giúp các em dễ hiểu hơn hay chưa? Các em hãy cho góp ý và đánh giá ở dưới bài viết để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé, chúc các em học tốt.
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình
Ôn tập Toán 9
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m tóm tắt các lý thuyết liên quan, cách giải và ví dụ minh họa kèm theo. Qua đó giúp học sinh nhanh chóng biết cách vận dụng vào giải Toán 9.
Đây là một trong những dạng toán khó, nhằm kiểm tra trình độ, phân loại học sinh lớp 9. Chính vì vậy hôm nay Download.vn đã giới thiệu khái quát về lý thuyết và cách giải chi tiết. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản; học sinh có học lực khá, giỏi nâng cao tư duy và kỹ năng giải đề với các bài tập vận dụng nâng cao.
Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng:
ax2+bx+c=0 [a≠0], được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.[1]
Nhiệm vụ là phải giải phương trình trên để đi tìm giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình [1] thì thỏa mãn ax2+bx+c=0.
2. Cách giải phương trình bậc 2
Cách giải phương trình bậc 2 như sau:
Bước 1: Tính Δ=b2-4ac
Bước 2: So sánh Δ với 0
Khi:
- Δ < 0 => phương trình [1] vô nghiệm
- Δ = 0 => phương trình [1] có nghiệm kép
- Δ > 0 => phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt
3. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2
Cho phương trình bậc 2:
Dựa vào hệ thức trên ta có thể tính biểu thức đối xứng x1,x2 thông qua định lý Viet.
- x1+x2=-b/a
- x12+x22=[x1+x2]2-2x1x2=[b2-2ac]/a2
Định lý Viet đảo giả sử như tồn tại 2 số thực x1, x2 thỏa mãn x1+x2=S, x1x2=P thì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0
4. Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Bước 1: Tính Delta
Bước 2: Biến đổi biểu thức Delta, chứng minh Delta luôn dương thì phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bước 3: Kết luận.
5. Ví dụ chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Ví dụ: Cho pt x2 – [m-2]x +m-4=0 [x ẩn ; m tham số ]
a] chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Xét Δ = [m- 2]2- 4*[m- 4]= m2- 4m+ 4- 4m+ 16= m2- 8m+ 20= [m- 4]2+ 4>= 4
Δ >= 4> 0 với mọi m => pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b] Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau
phương trình có hai nghiệm đối nhau khi x1+ x2= 0 m- 2= 0 =>m=2
Vậy với m= 2 phương trình có 2 nghiệm đối nhau
Ví dụ 2. Cho phương trình
a] Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b] Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn giải
a] Ta có:
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m
b] Theo hệ thức Vi – et ta có:
không phụ thuộc vào tham số m
Ví dụ 3: Cho phương trình
a] Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b] Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2
Hướng dẫn giải
a] Ta có:
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
b] Theo hệ thức Vi – et ta có:
Theo giả thiết ta có:
x1 < 1 < x2 =>
=> [x1 – 1][x2 – 1] < 0
=> x1x2 – [x1 + x2] + 1 < 0 [**]
Từ [*] và [**] ta có:
[2m – 5] – [2m – 2] + 1 < 0
=> 0.2m – 2 < 0, đúng với mọi giá trị của m
Vậy với mọi giá trị của tham số m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2
Cập nhật: 21/04/2022