Viết phương trình chính tắc của đường elip [E] trong mỗi trường hợp sau. Bài 32 trang 103 SGK Hình học 10 Nâng cao – Bài 5. Đường Elip
Viết phương trình chính tắc của đường elip [E] trong mỗi trường hợp sau
a] [E] có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai \[e = {{\sqrt 3 } \over 2};\]
b] [E] có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4;
c] [E] có một tiêu điểm là \[F[\sqrt 3 ;0]\] và đi qua điểm \[M\left[ {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right].\]
a] Ta có:
\[\eqalign{ & 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4 \cr & e = {c \over a} = {{\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \cr
& {b^2} = {a^2} – {c^2} = 16 – 12 = 4 \cr} \]
Vậy \[[E]:{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\]
b] Ta có:
Quảng cáo\[\eqalign{ & 2b = 8 \Leftrightarrow b = 4 \cr & 2c = 4 \Leftrightarrow c = 2 \cr
& {a^2} = {b^2} + {c^2} = 16 + 4 = 20 \cr} \]
Vậy \[[E]:{{{x^2}} \over {20}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1.\]
c] Ta có: \[c = \sqrt 3 \Rightarrow {a^2} – {b^2} = 3\]
Giả sử: \[[E]:{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\]
\[M\left[ {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right] \in [E]\] nên \[{1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\]
Ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {a^2} – {b^2} = 3 \hfill \cr {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr 4{b^4} + 5{b^2} – 9 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {b^2} = – {9 \over 4}\,[loai] \hfill \cr
{b^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[[E]:{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\]
Với Công thức viết phương trình chính tắc của Elip Toán lớp 10 Hình học chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn Công thức viết phương trình chính tắc của Elip biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Công thức viết phương trình chính tắc của Elip - Toán lớp 10
I. Lý thuyết tổng hợp.
- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M+F2M=2a.
- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip [E] có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho F1[-c; 0] và F2[c; 0]. Khi đó ta có:
M [x; y] ∈[E]⇔x2a2+y2b2=1. [1] với b2=a2−c2
Phương trình [1] là phương trình chính tắc của elip.
II. Các công thức.
Từ các thông tin đề bài cho, ta tìm a, b dựa vào các công thức:
+ Hai tiêu điểm: F1[-c; 0] và F2[c; 0]
+ Bốn đỉnh: A1[-a; 0], A2[a; 0], B1 [0; -b] và B2[0; b]
+ Độ dài trục lớn: A1A2=2a
+ Độ dài trục nhỏ: B1B2=2b
+ Tiêu cự: F1F2=2c
+ Tâm sai của [E]: e=ca a = 5 b2 = 9 => b = 3 Vậy c2 = a2 - b2 = 25 - 9 = 16 => c = 4 Độ dài trục lớn là A1A2 = 10 Độ dài trục nhỏ là B1B2 = 6 Tiêu điểm là Fi[-4; 0]; F2[4; 0] Tọa độ các đính là A1[—5; 0]; As[5; 0]; B1[O; -3]; Ba[0;3] b] Ta có: a2 Độ dài trục lớn là AjA2 = 1 Độ dài trục nhỏ là B1B2 = Tiêu điểm là F, Tọa độ các đỉnh là Chia 2 vế của phương trình cho 36, ta được Ta có: a2 = 9 => a = 3 => c = V5 b2 = 4 => b = 2 Vậy: c2 = a2 - b2 =9-4 = 5 Độ dài trục lớn là A1A2 = 6 Độ dài trục nhỏ là B]B2 = 4 Tiêu điểm là Fị[-\/5;0]; F,[V5;[]j Tọa độ các đỉnh là Ai[-3; 0]; A2[3; 0]; B1[O; -2]; B2[0; 2] Lập phương trình chính tắc của elip, biết: Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6. Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6. Giải a] Vì độ dài trục lớn A1A2 = 2a = 8 nên a = 4 Vì độ dài trục nhỏ B1B2 - 2b = 6 nên b = 3 Vậy phương trình cua [E] là — + — = i 25 16 a] Vì độ dài trục lớn AjA2 = 2a = 10 nên a - 5 Vì tiêu cự F!F2 = 2c = 6 nên c = 3 Ta có: b2 = a2 - c2 = 25 - 9 = 16 2 2 . x X y Vậy phương trình [E] là — + — = 1. 25 16 Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau: . 12 a] Elip đi qua các điểm M[0; 3] và N 3;—— 1 5 b] Elip có một tiêu điểm là F,i—v/3;0l và điểm V3 M 1;— 2 nằm trên elip. Giải a] Phương trình [E] có dạng: —— + = 1 a b „ 9 . , ọ „ M[0; 3] e [E] « 0 + -- = 1 o b2 = 9 b 9 144 25b2 ” 12 5 [1] [2] Từ [1] và [2] suy ra a" a2 = 25 b2 =9 Vì M e [E] nên -y + = 1 a 4b [1] [2] X’ y- Vậy phương trình của [E] là —— + — = 1 25 9 b] Vì [E] có tiêu điểm F[ í -ạ/3;0 ị nên ta có c = V3 Mặt khác c2 = a2 - b2 nên a2 - b2 = = 3 Từ [1] và [2] suy ra < hay Vậy phương trình của [E] là -—F -— = 1 Để cắt một báng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhó là 40cm từ một tâm ván ép hình chừ nhật có kích thước 80cm X 40cm, người ta vẽ hình elip đó trên tấm ván ép như hình dưới. Hoi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván .ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu? Giải Vì trục lờn của clip A]A2 = 2a = 80cm nên a = 40 [cm] => a2 = 1600 Vì trục nhỏ của clip bhB-2 = 2b = 40cm nên b = 20 [cm] => b2 = 400 3 1-2 Ta có: c2 = a2 — b2 = 1600 - 400 = 1200 Suy ra c = 20 VH Vậy phải ghim 2 cây đinh F], F2 cách mép tấm ván ép là: AiFi = A2F2 = 40 - 20 Vi * 5,36[cm] Độ dài của vòng dây là: MFi + MF2 + F1F2 = 80 + 40 Vi ~ 149,28[cm] Cho hai đường tròn Cl [Fl; R1] và c2 [F2; Rọ]. Cj nằm trong c2 và F1 F2. Đường trong c thay đối luôn tiêp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với c2. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn c di động trên một elip. Giải Vì [C] có tâm là M và bán kính Rtiếp xúc ngoài với [C1] tại A, nên: MF1 = R + Rj. Đồng thời [C] tiếp xúc trong với [C2] tại A2 nên MF2 = R2 - R Suy ra MF1 + MF2 = R2 - R + R1 + R = R-. 4- R2 Vì Ri + R2 không đổi nên tâm M của [C] luôn di động trên 1 elip tiêu điểm F1jF2, độ dài trục lớn R1 R2.