Phương trình đường elip
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Trong mặt phảng Oxy cho hai điểm [-c ; 0], [c ; 0] và độ
dài không đổi 2a [a > c > 0].
Elip [E] là tập hợp các điểm M sao cho M + M= 2a [h.3.4]. Ta có thể viết:
[E]= { M | M + M = 2a }.
2. Phương trình chính tắc của elip [E] là :
3. Các thành phần của elip [E] là :
– Bốn đỉnh : [- a ; 0], [a ; 0],
{0 ; -b],[0 ; b];
– Độ dài trục lớn : = 2a ;
– Độ dài trục nhỏ = 2b ;
– Tiêu cự : = 2c [h.3.5].
4. Hình dạng của elip [E]:
– [E] có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ ;
– Mọi điểm của elip [E] ngoại trừ bốn đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
* VẤN ĐỀ 1
Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác đinh elip đó
1. Phương pháp
– Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip.
– Ta có các hệ thức [h.3.6]:
• 0 < b < a
• = –
• = 2c [tiêu cự]
• = 2a [độ dài trục lớn]
• = 2b [độ dài trục nhỏ]
• M ∈ [E] ⇔ M + M= 2a.
– Ta có toạ độ các điểm đặc biệt của elip [E]:
• Hai tiêu điểm : [- c ; 0], [c ; 0];
• Hai đỉnh trên trục lớn : [- a ; 0], [a ; 0],
• Hai đỉnh trên trục nhỏ : [0 ; -b],[0 ; b];
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình chính tắc của elip [E] trong mỗi trường hợp sau
a] Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6 ;
b] Một tiêu điểm là điểm [- ; 0 ] và điểm [ 1; ] nằm trên elip
GIẢI
a] Ta có 2a = 10 suy ra a = 5, 2c = 6 ⇒ c = 3
= – = 25 – 9 = 16.
Vì [E] có một tiêu điểm [- ; 0 ] nên c = . Ta có :
Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của elip [E] trong mỗi trường hợp sau
a] Một đỉnh trên trục lớn là điểm [3 ; 0] và một tiêu điểm là điểm [-2 ; 0];
b] [E] đi qua hai điểm M[0 ; 1] và N[1; ]
GIẢI
a] Ta có a = 3 ; c = 2.
Suy ra = – = 9 – 4 = 5.
Vậy phương trình chính tắc của elip là :
b] Phương trình chính tắc của [E] có dạng :
* VẤN ĐỀ 2
Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó
1. Phương pháp
– Trục lớn của [E] nằm trên Ox, = 2a
– Trục nhỏ của [E] nằm trên Oy, = 2b
– Tiêu cự : M + M = 2c ;
– Bốn đỉnh : [- a ; 0], [a ; 0], [0 ; -b],[0 ; b];
– Tỉ số c / a < 1 [e = c / a còn gọi là tâm sai của elip];
– Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là
x = ±a ; y = ±b.
Thật vậy, ta có :
= +
= +
Suy ra – = 4cx [1]
Theo định nghĩa của elip ta có : M +M = 2a [2]
Chia [1] cho [2] ta được : M – M = 2[c/a]x [3]
Từ [2] và [3] ta tính được M và M.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ elip [E] có phương trình
GIẢI
c = = 4.
– Trục lớn : = 2a =10 ;
– Trục nhỏ : = 2b = 6;
– Hai tiêu điểm : [- 4 ; 0], [4 ; 0 ]
– Bốn đỉnh : [- 5 ; 0], [5 ; 0], [0 ; – 3], [0 ; 3].
Hình vẽ của [E] như hình 3.8.
Ví dụ 2. Cho elip [E] có phương trình
Hãy viết phương trình đường tròn [C] có đường kính là trong đó và là hai tiêu điểm của [E].
GIẢI
Ta có = 100, = 36.
Suy ra = – = 64 => c = 8.
Đường tròn đường kính có tâm là gốc toạ độ và có bán kính R = c = 8. Vậy phương trình của [C] là : + = 64.
* VẤN ĐỀ 3
Chứng minh điểm M di động trên một elip
1. Phương pháp
Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách [h.3.9]:
Khi đó M di động trên elip [E] có hai tiêu điểm , và trục lớn là 2a.
Cách 2 : Chứng minh trong mặt phẳng toạ độ Oxy điểm M[x ; y] có toạ độ thoả mãn phương trình
với a, b là hai hằng số thoả mãn 0 < b < a.
2. Các ví dụ
GIẢI
Vậy M di động trên elip có hai tiêu điểm là và và có trục lớn là 2a = +
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M[x ; y] di động có tọa độ luôn thỏa mãn
trong đó t là tham số thay đổi.
Hãy chứng minh điểm M di động trên một elip.
GIẢI
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
3.28. Viết phương trình chính tắc của elip [E] trong mỗi trường hợp sau :
a] Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ;
b] Một tiêu điểm là [12 ; 0] và điểm [13 ; 0] nằm trên elip.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.29. Tìm toạ độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau:
a] 4 + 9 = 36 ;
b] + 4 = 4.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.30. Cho đường tròn C [; 2a] cố định và một điểm cố đinh nằm trong []. Xét đường tròn di động [C] có tâm M. Cho biết [C] luôn đi qua điểm và [C] luôn tiếp xúc với []. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M[x; y] di động có toạ độ luôn thoả mãn
trong đó t là tham số. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.32. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau :
a] Độ dài trac lớn bằng 26 và tỉ số c/a bằng 5/13 ;
b] Tiêu điểm [-6 ; 0] và tỉ số c/a bằng 2/3.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.33. Viết phương trình chính tắc của elip [E] có hai tiêu điểm là và biết
và tam giác vuông tại M.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.34. Cho elip [E]: 9 + 25 = 225.
a] Tìm toạ độ hai tiêu điểm , và các đỉnh của [E].
b] Tìm điểm M ∈ [E] sao cho M nhìn dưới một góc vuông.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.35.
a] Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;
b] Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông ;
c] Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.
⇒ Xem đáp án tại đây.
3.36. Cho elip [E] : 4 + 9 = 36 và điểm M[ 1 ; 1]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt [E] tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.
⇒ Xem đáp án tại đây.