Làm thế nào để chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Trong quá trình học Toán sơ cấp THCS, đôi lúc chúng ta sẽ gặp những vấn đề tưởng chừng là hiển nhiên, nhưng đôi lúc không có cách nào để chúng ta có thể trình bày lại cách chúng ta giải quyết vấn đề. Việc chứng minh 3 điểm khác nhau trên một mặt phẳng là một việc mang lại cảm giác như trên, dường như chúng ta có thể thấy được sau khi dựng hình, nhưng làm sao chúng ta có thể chứng minh được điều đó. Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng nhau thảo luận về việc chúng ta sử dụng những kiến thức chúng ta đã biết, phân tích và kết hợp chúng để giải quyết các bài toán về 3 điểm thẳng hàng.

Lưu ý: bạn có thể tải bản in được tại đây, và bài này chỉ đề cập đến một số cách tư duy để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, không đề cập đến tất cả các cách chứng minh nên sẽ không bao quát hết được tất cả các cách chứng minh.

1. Bắt đầu từ những quan sát đơn giản nhất

Đầu tiên về mặt ngữ nghĩa, 3 điểm thẳng hàng A, B, C có thể được chúng ta hiểu thành những ý nghĩa khác nhau: 2 đường thẳng AB và AC trùng nhau, 2 đường thẳng BC và BA cùng song song với đường thẳng d, với các thay đổi về ngữ nghĩa của vấn đề như trên ta có thể thấy được chúng ta có thể giải quyết các vấn đề liên quan với những cách thức tư duy khác nhau.

Hãy bắt đầu với tiên đề thứ năm của Euclide:

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Từ tiên đề V nêu trên, chúng ta có thể phát biểu tiên đề dưới các dạng sau:

• Nếu qua điểm A nằm ngoài đường thẳng d có 2 đường thẳng song song với a thi chúng trùng nhau.
• Cho điểm A ở ngoài đường thẳng d. Đường thẳng đi qua A và song song với d là duy nhất.

Với các cách phát biểu như trên ta có thể rút ra điều gì? Xét hình bên trên, để có thể chứng minh các điểm A, B, C thẳng hàng, nếu những điều kiện đề bài hỗ trợ chúng ta trong việc chứng minh 2 điều sau: AB // d [1], AC // d [2] thì chúng ta có thể đi đến được kết luận 3 điểm nêu trên thẳng hàng.

Lưu ý ở đây là gì? Vì được gọi là tiên đề vì thế chúng ta không cần phải giải thích dài dòng khi chứng minh và phải đặc biệt lưu ý là 2 đường thẳng phải cắt nhau thì việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng do 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3 mới thuyết phục

Phụ lục: Khảo sát về bài viết

Nếu bạn cảm thấy các bài viết về toán học của ZeFro có ích cho bạn và mong muốn hỗ trợ cho trang ZeFro, hãy mua cho các thành viên ZeFro 1 ly café tại đây:

2. Từ quan sát đến chứng minh

Điều gì chúng ta có thể nhận ra khi xem xét hình sau? Xét đường thẳng a và các điểm: A thuộc a và xét các góc nhọn. Câu hỏi chúng ta đặt ra ở đây là: liệu chúng ta có thể chứng minh 3 điểm A, B và C thẳng hàng chỉ dựa vào gócđược không?

Với cách suy luận như trên, nó liên quan đến cách chúng ta tư duy về hình học, việc có thể nghĩ đến các trường hợp phản biện cho các lập luận của chúng ta có thể giúp chúng ta lập luận chặt chẽ hơn. Có thể tóm tắt quá trình tư duy của chúng ta như sau:

1. Diễn giải các bước suy nghĩ để có thể chứng minh được mục tiêu bài toán hướng đến. Trong bài toán bên trên đó là các phép chứng minh [1] và [2].
2. Từ thực tế của hình được dựng, hãy thử suy nghĩ đến trường hợp khiến chứng minh bước 1 của chúng ta không còn đúng nữa. Và xem có thể còn điều kiện rang buộc nào mà chúng ta chưa chứng minh hay không? Ví dụ như ràng buộc số [3] của chúng ta đã thảo luận ở trên.
3. Xem xét lại các lập luận đã phù hợp với logic hình học hay không. Bước này là bước kiểm tra lại.

Một lưu ý rằng, các ràng buộc mà chúng ta đã thảo luận như trên không phải suy luận theo kiểu nhìn hình ta thấy mà phải được lập luận logic dựa trên các tính chất hình học đã được chứng minh. Để có thể hiểu thêm về việc chúng ta có thể sử dụng tư duy sáng tạo trong việc chứng minh hình học, hãy đọc bài: Tư duy sáng tạo để giải quyết 1 bài toán khó nhằn?

3. Những sự tồn tại duy nhất trong hình học

Trong hình học Euclide việc tồn tại những tính chất xác định những điểm, đường thẳng, đường tròn một cách duy nhất, vì thế chúng ta có thể dùng những tính chất đó có thể chứng minh vấn đề 3 điểm thẳng hàng.

Hãy xét định lý sau:

Định lý 1: Trong tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định lý trên có một định lý đảo như sau:

Định lý 2: Một tam giác nội tiếp đường tròn, nếu tam giác vuông thì cạnh huyền là đường kính của đường tròn

[Lưu ý, việc chứng minh các định lý này sẽ là vấn để để chúng ta luyện tập tư duy]

Trước khi phân tích, chúng ta hãy cùng nhau nói rõ hơn về sự tồn tại duy nhất của đường tròn:

Định lý 3 [Sự tồn tại duy nhất của đường tròn]: Qua 3 điểm bất kì không thẳng hàng, chỉ tồn tại duy nhất một đường tròn đi qua 3 điểm đó

[Như 2 định lý trên, chúng ta có thể chứng minh định lý này và đây sẽ là bài tập luyện tập của chúng ta]

Tạm thời gác lại 3 định lý bên trên, giả sử rằng chúng ta có vấn đề sau: Với tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, điều cần chứng minh là 3 điểm B, C, O thẳng hàng với các điều kiện bài toán đã cho. Như hình trên ta thấy, cả 3 điểm cần chứng minh không thẳng hàng với nhau. Nhưng nếu trong quá trình chứng minh, từ các giả thiết khác của bài toán ta dẫn đến được bước suy luận sau: Tam giác ABC vuông tại A [1]. Từ đó ta kết luận A, B và O thẳng hàng được hay không? Thực tế chúng ta đã xong, nhưng trong trình bày để logic chúng ta nên nhắc lại giả thiết: tam giác ABC nội tiếp đường tròn O [2], khi đó chúng ta mới có được 1 kết luận dễ hiểu cho những người theo dõi chứng minh.

Để kết lại phần này chúng ta hãy thử sử dụng những cách giải quyết vấn đề khác nhau để cùng giải quyết vấn đề sau nhé:

Bài toán 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O dựng 2 tiếp tuyến MA và MB [2 tiếp điểm A và B thuộc đường tròn O]. Qua A dựng đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E [khác A]. Đường thẳng ME cắt đường tròn O tại F [khác E]. Đường thẳng AF cắt MO tại N. H là giao điểm AB và OM. Chứng minh:

1. M, A, O, B cùng thuộc 1 đường tròn
2. MN2 = NF.NA
3. 3 điểm B, O và E thẳng hàng và MN = NH

Ý tưởng và viết bài: Thanh Ho