Bài viết này Vted tổng hợp và giới thiệu lại một số công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt hay gặp
//www.vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12
Đồng thời trình bày công thức tổng quát tính thể tích cho khối tứ diện bất kì khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ các công thức này giúp các em giải quyết nhanh một số dạng bài khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT Quốc Gia 2019 - Môn Toán.
Bài viết này trích lược một số công thức nhanh hay dùng cho khối tứ diện. Các công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ bạn đọc tham khảo khoá COMBO X do Vted phát hành tại đây://www.vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9
>>Xem đề thi Thể tích tứ diện và các trường hợp đặc biệt
>>Xem thêm bài giảng và đề thi vận dụng cao Thể tích đa diện
Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: \[V=\dfrac{1}{12}\sqrt{M+N+P-Q},\] trong đó \[\begin{align} & M={{a}^{2}}{{d}^{2}}[{{b}^{2}}+{{e}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{a}^{2}}-{{d}^{2}}] \\ & N={{b}^{2}}{{e}^{2}}[{{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{b}^{2}}-{{e}^{2}}] \\ & P={{c}^{2}}{{f}^{2}}[{{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{b}^{2}}+{{e}^{2}}-{{c}^{2}}-{{f}^{2}}] \\ & Q={{[abc]}^{2}}+{{[aef]}^{2}}+{{[bdf]}^{2}}+{{[cde]}^{2}} \\ \end{align}\]
Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích là $V$. Biết khoảng cách giữa các cặp cạnh đối $AB$ và $CD$, $AC$ và $BD$, $AD$ và $?
Cho khối tứ diện \[ABCD\] có thể tích là \[V\]. Biết khoảng cách giữa các cặp cạnh đối \[AB\] và \[CD\], \[AC\] và \[BD\], \[AD\] và \[BC\] lần lượt là 3, 4, 5. Giá trị nhỏ nhất của \[V\] là
A. \[30\].
B. \[10\].
C. \[15\].
D. \[20\].
I. Tổng hợp công thức toán 12 – Công thức thể tích.
Công thức 1
Cho tứ diện ABCD có: AB=a, CD=b, d[AB,CD]=h, góc giữa hai đường thẳng AB và CD là α. Khi đó:
VABCD=a.b.h.sin[α]/6
Ví dụ 1 [Chuyên DH Vinh] Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN và PQ của hai đáy sao cho MN⊥PQ. Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M,N,P,Q để thu được tứ diện MNPQ. Biết rằng MN=60cm, thể tích khối tứ diện MNPQ là 30dm3. Thể tích khối đá bị cắt bỏ là bao nhiêu [làm tròn đến 1 chữ số thập phân]?
Hướng dẫn:
Đổi đơn vị MN=60cm=6dm, suy ra PQ=MN=6dm.
Vì MN⊥PQ nên góc giữa hai đường thẳng MN và PQ là α=90°.
Lại có, MN và PQ là hai đường kính của hai đáy, suy ra OO’ là khoảng cách giữa hai đường thẳng trên [do OO’ là đường vuông góc chung của MN và PQ].
Ta áp dụng công thức 1, thu được:
VMNPQ=MN.PQ.sinα.OO’.1/6=62.sin[90°].OO’.1/6=30 dm3, suy ra OO’=5dm.
Thể thích khối đá gọt đi bằng thể tích hình trụ trừ cho thể tích tứ diện MNPQ còn lại:
Vgọt= Vtrụ - VMNPQ=OO’.Sđáy – 30=5.32π−30≈111,4 dm3.
Ví dụ 2 [THPTQG 2017]: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB=x, các cạnh còn lại có giá trị 2√3. Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất khi x bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Bài này có 2 cách giải, 1 cách áp dụng công thức 1, cách còn lại là suy luận.
Gọi I, K là trung điểm của CD, AB. Kẻ AH vuông góc với BI.
Cách 1: Áp dụng công thức nhanh
Vì cách cạnh của tứ diện trừ AB đều có giá trị 2√3, suy ra BI và AI đều vuông góc với CD [đường trung tuyến của tam giác đều]. Suy ra CD⊥[ABI] →AB⊥CD.
Mặt khác, BI=AI=3 [do tam giác BCD và ACD là 2 tam giác đều cạnh 2√3], vậy IK⊥AB, mặt khác IK⊥CD [do CD⊥[ABI]]. Vậy IK là đường vuông góc chung của AB và CD, hay IK là khoảng cách giữa AB và CD.
AB=x, suy ra:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta thu được:
Dấu bằng xảy ra khi x=3√2.
Cách 2: Suy luận tính chất vuông góc.
Ta có VABCD=Sđáy.h/3
Mà Sđáy=SBCD=3√3 [diện tích tam giác đều].
Suy ra thể tích phụ thuộc vào chiều cao. Lại có: AH≤AI=3. Vậy thể tích lớn nhất khi AH=3, hay nói cách khác, AH≡AI.
Lúc này AH⊥BH. Tam giác BHA vuông tại H, suy ra AB²=AH²+BH², suy ra AB=3√2
Công thức 2:
Cho hình chóp S.ABC có SA=a, SB=b, SC=c. Góc ASB, góc BSC, góc CSA có giá trị lần lượt là α, β, γ. Khi đó thể tích khối chóp:
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SA=a, SB=3a√2, SC=2a√3. Các góc ASB, góc BSC, góc CSA đều bằng 600. Thể tích khối chóp SABC là:
A. 2a3√3
B. 3a3√3
C. a3√3
D. a3√3/3
Áp dụng công thức 2, ta có kết quả trực tiếp là C.
Ví dụ 2 [Chu Văn An-Hà Nội] Cho tứ diện ABCD có AB=a, AC=2a√2, AD=3a. Các góc BAC, góc CAD, góc DAB đều bằng 600. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Hướng dẫn:
Ta áp dụng công thức, thu được V=a3
Công thức 3:
Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn: SA=BC=a, SB=AC=b, SC=AB=c.
Khi đó thể tích khối chóp là:
Ví dụ [Nguyễn Khuyến TPHCM]: Tính thể tích của khối chóp S.ABC có độ dài các cạnh: SA=BC=5, SB=AC=6, SC=AB=7.
Hướng dẫn:
Bài này nếu không sử dụng công thức 3, rất khó để giải.
Áp dụng trực tiếp công thức 3, ta có: V=2√95.
Công thức 4:
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a thì thể tích V=[a3√2]/12.
Công thức này, ta chỉ cần áp dụng trực tiếp vào bài tập tính thể tích khối đa diện đều. Dạng bài này rất hay gặp, các bạn cần chú ý vận dụng.
Tổng hợp Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và công thức tính nhanh cho các trường hợp đặc biệt nên nhớ
12/09/2021 07:03 372Table Of Contents
THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN
Tứ diện ABCD có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau:
$V=frac{1}{12}sqrt{M+N+P-Q}$,
trong đó
Tứ diện đều cạnh a, ta có [V=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}].
Tứ diện vuông [ các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông].
Với tứ diện [ABCD]có [AB,AC,AD]đôi một vuông góc và [AB=a,AC=b,AD=c], ta có
[V=frac{1}{6}abc.]
Tứ diện gần đều [ các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau]
Với tứ diện [ABCD] có [AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c], ta có
Từ đó suy ra:
[AP=sqrt{2}.sqrt{-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}},AQ=sqrt{2}.sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}},text{AR}=sqrt{2}.sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}.]
Vậy từ [[*]] ta suy ra:
[{{V}_{ABCD}}=frac{sqrt{2}}{12}sqrt{[-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}].[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}].[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}]}.]
Ngoài ra ta có thể tính thể tích khối tứ diện qua độ dài, khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện
Tứ diện [ABCD] có
[AD=a,BC=b,d[AD,BC]=d,[AD,BC]=alpha ,] ta có
[V=frac{1}{6}abdsin alpha .]
Khối tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau
Xét khối tứ diện [ABCD] ta có [{{S}_{1}}={{S}_{CAB}},{{S}_{2}}={{S}_{DAB}},alpha =[[CAB],[DAB]],AB=a,]ta có[V=frac{2{{S}_{1}}{{S}_{2}}sin alpha }{3a}].
Câu 1. Cho khối tứ diện [ABCD]có [AB=x],tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng [sqrt{3}x]. Tìm [x], biết thể tích khối tứ diện đã cho bằng 48[cm3].
A.[x=2sqrt{6}] B. [x=2sqrt{2}] C.[x=6sqrt{2}] D. [x=2sqrt{3}]
Ta có
Vậy [V=frac{{{[sqrt{3}x]}^{2}}}{6}sqrt{1+2left[ frac{5}{6} right]left[ frac{1}{2} right]left[ frac{1}{2} right]-{{left[ frac{5}{6} right]}^{2}}-{{left[ frac{1}{2} right]}^{2}}-{{left[ frac{1}{2} right]}^{2}}}=frac{{{x}^{3}}}{sqrt{6}}=48Leftrightarrow x=2sqrt{6}.]
Chọn đáp án A.
Tứ diện có 3 góc cùng xuất phát từ một đỉnh
Tứ diện [SABC] có [SA=a,SB=b,SC=c] và
[angle text{AS}B=x,angle BSC=y,angle CSA=z,] ta có
[V=frac{1}{6}abcsqrt{1+2cos xcos yoperatorname{cosz}-ctext{o}{{text{s}}^{2}}x-ctext{o}{{text{s}}^{2}}y-ctext{o}{{text{s}}^{2}}z}]
Câu 1. Cho khối tứ diện [ABCD] có [AB=2,AC=3,AD=BC=4,BD=2sqrt{5},CD=5.] Tính thể tích [V]khối tứ diện [ABCD].
- [V=sqrt{15}.] B. [V=frac{sqrt{15}}{2}] C. [V=frac{3sqrt{5}}{2}] D. [V=frac{9sqrt{5}}{2}]
>>Lời giải:
Ta có
Chọn đáp án A.
Vậy $V=frac{1}{3}DA.{{S}_{ABC}}=frac{1}{6}DA.AB.AC.sin widehat{BAC}=frac{1}{6}.4.2.3.sqrt{1-{{left[ -frac{1}{4} right]}^{2}}}=sqrt{15}.$
Câu 2. Cho khối tứ diện [ABCD] có [AB=5,AC=3,AD=BC=4,BD=4,AD=3]và [CD=frac{12sqrt{2}}{5}]. Tính thể tích [V]của khối tứ diện [ABCD].
- [V=frac{24}{5}.]
- [V=frac{24sqrt{2}}{5}.]
- [V=frac{19}{3}].
- [V=frac{19sqrt{2}}{3}.]
>>Lời giải: Để ý
Với [E]là trung điểm của cạnh [CD]. Vì vậy [V=frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.CD.]
Ta có [AB=5], [E=sqrt{{{3}^{2}}-{{left[ frac{6sqrt{2}}{5} right]}^{2}}}=frac{3sqrt{17}}{5},BE=sqrt{{{4}^{2}}-{{left[ frac{6sqrt{2}}{5} right]}^{2}}}=frac{2sqrt{82}}{5}Rightarrow {{S}_{ABE}}=3sqrt{2}.]
Vậy [V=frac{1}{3}.3sqrt{2}.frac{12sqrt{2}}{5}=frac{24}{5}.]
Bài viết gợi ý:
Chia sẻ
- Đã sao chép
1. Hình tứ diện đều là gì?
Hình tứ diện đều là một trong những khái niệm khá dễ hiểu. Cụ thể, trong không gian cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Khối đa diện có 4 đỉnh A, B, C, D gọi là khối tứ diện. Nếu những khối tự diện này có các mặt là tam giác đều thì được gọi là khối tứ diện đều.
Nói một cách dễ hiểu nhất thì tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều. Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều và ngược lại, nếu hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy thì sẽ tạo ra tứ diện đều.