Khoảng cách từ M(2;0;1 đến đường thẳng)

Bạn áp dụng công thức SGK là được mà

Câu 1 :

  $\left \{ {{x=1+3t} \atop {y=2+4t}} \right.$ 

Rút t từ 2 pt ta được : $\frac{x-1}{3}$ = $\frac{y-2}{4}$ 

=> pt là 4x-3y+2=0

Áp dụng CT tính khoảng cách : $\frac{2.4+2 [trị tuyệt đối]}{căn [ 4^2 + 3^2]}$ 

=> khoảng cách = 2

Câu 2 :

Biến đổi ptrinh [d1] [ như bài 1] ta đc : 5x-7y+4=0

Tìm 1 giá trị thỏa mãn [d1]. Ví dụ A [ 2;2]

Khoảng cách từ [d1] đến [d2] cũng chính là khoảng cách từ điểm A đến [d2]

Áp dụng công thức khoảng cách => Khoảng cách ≈ 0,46 

A. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng

Đây là kiến thức toán thuộc hình học lớp 10 khối THPT

1. Cơ sở lý thuyết

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N[ x0; y0]. Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:

d[N; Δ] = $\frac{{\left| {A{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ [1]

Cho điểm M[ xM; yN] và điểm N[ xN; yN] . Khoảng cách hai điểm này là:

MN = $\sqrt {{{\left[ {{x_M} – {x_N}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_M} – {y_N}} \right]}^2}} $ [2]

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

2. Bài tập có lời giải

Bài tập 1. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng Δ: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ điểm Q [2; 1] tới đường thẳng Δ.

Lời giải chi tiết

Khoảng cách từ điểm Q tới đường thẳng Δ được xác định theo công thức [1]:

d[N; Δ] = $\frac{{\left| { – 1.2 + 3.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left[ { – 1} \right]}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$

Bài tập 2. Khoảng cách từ điểm P[1; 1] đến đường thẳng Δ: $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$

Lời giải chi tiết

Ta đưa phương trình $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$ 2x – 3y = 30 2x – 3y – 30 = 0 [*]

Phương trình [*] là dạng tổng quát.

Khoảng cách từ điểm P[1; 1] đến đường thẳng Δ dựa theo công thức [1]. Thay số:

d[P; Δ] = $\frac{{\left| {2.1 + \left[ { – 3} \right].1 – 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left[ { – 3} \right]}^2}} }}$ = 8,6

Bài tập 3. Khoảng cách từ điểm P[1; 3] đến đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2t + 3\\ y = 3t + 1 \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Xét phương trình đường thẳng Δ, thấy:

• Đường thẳng Δ đi qua điểm Q[ 3; 1]
• Vecto chỉ phương là $\overrightarrow u $ = [ 2; 3 ] nên vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n $ = [ 3; – 2 ]

Phương trình Δ đưa về dạng tổng quát: 3[x – 3] – 2[y – 1] = 0 3x – 2y – 7 = 0

Khoảng cách từ điểm P[1; 3] đến đường thẳng Δ: d[P; Δ] = $\frac{{\left| {3.1 + \left[ { – 2} \right].3 – 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left[ { – 2} \right]}^2}} }}$ = 2,77

B. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

Đây là kiến thức hình học không gian thuộc toán học lớp 12 khối THPT:

1. Cơ sở lý thuyết

Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N[ xN; yN; zN]. Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?

Phương pháp

• Bước 1. Tìm điểm M[ x0; y0; z0] ∈ Δ
• Bước 2: Tìm vecto chỉ phương ${\overrightarrow u }$ của Δ
• Bước 3: Vận dụng công thức d[N; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$

2. Bài tập có lời giải

Bài tập 1. Một điểm A[1;1;1] không thuộc đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$. Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Lời giải chi tiết

Từ phương trình đường thẳng Δ ta suy ra vecto chỉ phương: ${\vec u_\Delta }$ = [1;2;1]

Lấy điểm B[ 0; 1; -1]∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = [ – 1;0; – 2] => $[\overrightarrow {AB} ,\vec u]$ = [4; – 1; – 2].

Khi này: d[A; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$

Bài tập 2. Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có  đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và 1 điểm có toạn độ A[1; 1; 1]. Gọi M là điểm sao cho M ∈ Δ. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM?

Lời giải chi tiết

Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ =>  $A{M_{\min }} = d[A;\Delta ].$

Đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ => vtcp ${\vec u_\Delta }$ = [1;2;1].

Lấy điểm B[ 0; 1; -1]∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = [ – 1;0; – 2] => $[\overrightarrow {AB} ,\vec u]$ = [4; – 1; – 2].

Khi này ta áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d[A; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$$\Rightarrow A{M_{\min }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$

Bài tập 3. Một đường thằng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và hai điểm M[ 1; 1; 1], N[ 0 ; 1;-1] nằm trong không gian Oxyz. Giả sử hình chiếu của M xuống đường thẳng Δ là P. Hãy tính diện tích của tam giác MPB

Lời giải chi tiết

Từ phương trình đường thẳng Δ:  $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng có dạng ${\vec u_\Delta }$ = [1; 2; 1]

Chọn điểm Q [ 2; 5; 1] ∈ Δ => $\overrightarrow {MQ} $ = [1; 4; 0] => $\left[ {\overrightarrow {MQ} ,\overrightarrow u } \right]$ = [4; -1; – 2].

Lúc đó: d[M; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MQ} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$

$ \Rightarrow MP = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$

Ta lại thấy N ∈ Δ => ΔMNP vuông tại P => $\sqrt {M{N^2} – M{P^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$

Vậy $S = \frac{1}{2}MP.PN = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.$

Hy vọng rằng bài viết tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng này sẽ giúp ích cho bạn trong học tập cũng như thi cử. Đừng quên truy cập toanhoc.org để có thể cập nhật cho mình thật nhiều tin tức hữu ích nhé.

Trong không gian với hệ trục \[Oxyz\], khoảng cách từ điểm \[M\left[ {0;1; - 2} \right]\] đến đường thẳng \[\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}\] bằng

A.

\[\dfrac{{\sqrt {57} }}{3}\]

B.

\[\dfrac{{\sqrt {57} }}{9}\]

C.

\[\dfrac{{\sqrt {65} }}{9}\]

D.

\[\dfrac{{\sqrt {65} }}{3}\]

A. 2

Đáp án chính xác

B. 2/5

C. 10/√5

D.√5/2

Xem lời giải

Câu hỏi: Khoảng cách từ điểm M[2;0] đến đường thẳng\[\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + 3t}\\ {y = 2 + 4t} \end{array}} \right.\]bằng:

A. \[\frac{2}{5}.\]

B. \[\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}.\]

C. 2

D. \[\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\]

Đáp án

C

- Hướng dẫn giải

\[\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + 3t}\\ {y = 2 + 4t} \end{array}} \right.\\ \to \Delta :4x - 3y + 2 = 0\\ \to d\left[ {M;\Delta } \right] = \frac{{\left| {8 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {16 + 9} }} = 2.\]

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi giữa HK2 môn Toán 10 năm 2021 - Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu

Lớp 10 Toán học Lớp 10 - Toán học

Câu 3532 Thông hiểu

Khoảng cách từ điểm \[M\left[ {2;0;1} \right]\] đến đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ là:

Đáp án đúng: a

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: \[d\left[ {A,d'} \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

Phương pháp giải các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng --- Xem chi tiết

...

Video liên quan

Đường thẳng d có phương trình tổng quát là: 4x-3y + 2= 0.

Khi đó khoảng cách từ M đến d là:

  

Chọn A.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ