TV BQT xuất sắc nhất 2016
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng thảo luận với các CAO THỦ trên mọi miền tổ quốc. Hoàn toàn miễn phí! Bài viết này đóng góp cho kho tàng tài liệu chất lượng của diễn đàn tại đây: //diendan.hocmai.vn/threads/t...o-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/#post-4045397
Dạng bài tìm GTLN, GTNN vốn muôn hình vạn trạng, nhưng trong đó có hai dạng bài quan trọng mà bạn cần phải biết đến Bài viết này đề cập hai dạng bài mà bạn cần phải biết.
Dạng 1: Hàm số dạng $y = a \sin x + b \cos x$
Phương pháp:
Ví dụ 1. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x + 3$
Cách 1: $y = 2 \sin\left[ x + \dfrac{\pi}6 \right] + 3$ nên $1 = -2 + 3 \leqslant y \leqslant 2 + 3 = 5$
Ở đây, nếu thích thì các bạn có thể tìm thêm dấu bằng nhé. Do chắc chắn xảy ra dấu bằng rồi nên mình không đề cập đến nữa.
Công thức này khá là hữu ích cho một số bài toán liên quan đến dạng hàm này. Nếu được thì bạn có thể nhớ luôn, nhưng các bạn vẫn phải hiểu là nó suy ra từ cách 1 nhé.
Cách 2: Theo điều kiện có nghiệm, ta có $[y - 3]^2 = \left[ \sqrt{3} \right]^2 + 1^2$, suy ra $1 \leqslant y \leqslant 5$ [nhớ chuyển số $3$ qua bên $y$]
Như vậy trong cả cách, GTNN là $1$ và GTLN là $5$.
Ví dụ 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = 2 \sin^2 x + \sin 2x + 1$
- $y = \sqrt{2} \sin \left[ 2x - \dfrac{\pi}4 \right] + 2$
- $[y - 2]^2 \leqslant 1^2 + 1^2$
Dạng 2: Hàm số chỉ xuất hiện $\sin$ hoặc $\cos$ một lần
Phương pháp:
- Đưa hàm ban đầu về hàm chỉ xuất hiện $\sin$ hoặc $\cos$ một lần bằng hằng đẳng thức.
- Đi từ $-1 \leqslant \sin, \cos \leqslant 1$ đến biểu thức đề cho.
- Lưu ý hai đầu khi bình phương hai vế. Qua ví dụ các bạn sẽ hiểu.
Khá là dễ hiểu nhỉ
Ví dụ 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = 4 \cos^2 x + 4 \sin x + 2$
Tương tự, ta cũng đưa về dạng chuẩn: $y = 4 - 4 \sin^2 x + 4 \sin x + 2 = -[2 \sin x - 1]^2 + 7$ Ta ghi tiếp: $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ $\implies -3 \leqslant 2 \sin x - 1 \leqslant 1$
Đến đây các bạn phải làm cẩn thận. Sẽ có nhiều bạn nhầm bước tiếp theo là $1 \leqslant [2 \sin x - 1]^2 \leqslant 9$ nhưng không phải vậy đâu nhé. Lưu ý rằng, khi bình phương lên, ta quan tâm đến giá trị tuyệt đối.
Nếu chưa quen thì các bạn nên ghi cụ thể từng bước để tránh nhầm lần nhé
Mở rộng
Chẳng hạn, nếu không phải $\sin$ hoặc $\cos$ mà là $\tan$ thì làm thế nào nhỉ? Nếu đề cho $x$ thuộc một đoạn cố định thì ta làm như thế nào?Trả lời: Tương tự thôi nhé, bạn cũng tìm điều kiện của $\tan$ hoặc của $\sin, \cos$ để kẹp hai đầu như phương pháp ở trên
Bạn có thể xem thử tại đây: //diendan.hocmai.vn/threads/tim-gtln-gtnn-p.832844/
Luyện tập
[bài tập lấy từ //diendan.hocmai.vn/threads/tim-min-max-cua-ham-so.831784/] 11. $y = 4 \sin^2 \dfrac{x}2 + \sin x + \cos x$ 12. $y = -4 \cos^3 x + \sin 3x + 3\cos x + 3$ 13. $y = \sqrt{3 - 4 \sin^2 x \cdot \cos^2 x}$
Chúc các bạn học tốt nhé
Last edited: 13 Tháng chín 2021
Reactions: Ninh Hinh_0707, nguyen van ut, Tungtom and 5 others
TV BQT xuất sắc nhất 2016
Dạng 3: Hàm số $y = \sin^n x + \cos^n x$
Đây là một dạng bổ sung. Do cũng gặp khá nhiều nên mình ghi ra nhé
Ví dụ 1: Tìm GTNN, GTLN của $y = \sin^9 x + \cos^9 x$ [hoặc mũ lẻ]
Ví dụ 2: Tìm GTNN, GTLN của $y = \sin^8 x + \cos^8 x$ [hoặc mũ chẵn]
À mình quên mất phần GTLN nữa Để tìm được GTLN thì các bạn sử dụng kỹ thuật như trên phần mũ lẻ nhá:
Cộng vế theo vế ta có $y \leqslant 1$.
Last edited: 13 Tháng chín 2021
Reactions: Ninh Hinh_0707, Mori Ran 680 and kido2006