VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau: A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Hai đường thẳng y = ax+ b [a 6= 0] và y = a0x+ b 0 [a0 6= 0] là: Song song với nhau nếu a = a 0 và b 6= b 0. Trùng nhau nếu a = a0 và b = b0. 2 Đường thẳng cắt nhau Hai đường thẳng y = ax+ b và y0 = a 0 x+ b 0 cắt nhau khi và chỉ khi a 6= a0. Đặc biệt nếu a 6= a0 và b = b0 chúng cắt nhau tại một điểm trên O y. 3 Vị trí của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Cho hai đường thẳng [d1]: y = a1x+ b1, [d2]: y = a2x+ b2, ta có các kết quả sau: [d1] ≡ [d2] ⇔ a1 = a2 và b1 = b2. [d1] ∥ [d2] ⇔ a1 = a2 và b1 6= b2. [d1]∩[d2] = {A} ⇔ a1 6= a2. [d1] ⊥ [d2] ⇔ a1 · a2 = −1. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ví dụ 1. Cho hàm số y = ax+2 1 Xác định a, biết đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = −x. 2 Vẽ đồ thị hàm số tìm được trong câu a]. Tính diện tích tam giác được tạo bởi đồ thị hàm số trong câu a] và các trục tọa độ. Lời giải. 1 Vì đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = −x+2 nên a = −1. Vậy hàm số có dạng y = −x+2. 2 Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy hai điểm A[0;2] và B[2;0]. Nối A và B ta được đồ thị cần vẽ. Khi đó ta có S4OAB = 12 ·OA ·OB Chú ý. Ta có các kết quả sau: Với điểm A [0; yA] thì OA = |yA|. Với điểm A [xA;0] thì OA = |xA|. Với điểm A [xA; yA] thì OA = x. Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng [d1]: y = 2x+1, [d2]: y = x+1. 1 Chứng tỏ rằng hai đường thẳng [d1] và [d2] cắt nhau. Xác định tọa độ giao điểm I của chúng và vẽ hai đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ. 2 Lập phương trình đường thẳng [d] đi qua I và song song với đường thẳng y = −4x+1. 3 Lập phương trình đường thẳng [d0] đi qua I và song song với đường thẳng y = 12x+9. Lời giải. 1 Nhận xét rằng: Đường thẳng [d1] có a1 = 2 và b1 = 1. Đường thẳng [d2] có a2 = 1 và b2 = 1. Suy ra a1 6= a2 và b1 = b2 ⇒ [d1] cắt [d2] cắt nhau tại điểm I trên O y. Giả sử giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ I [0; y0] vì I thuộc [d1] nên y0 = 2·0+1 = 1 ⇒ I[0;1]. 2 Đường thẳng [d] song song với đường thẳng y = −4x+1, có phương trình [d]: y = −4x+ b. Vì I ∈ [d] nên 1 = −4·0+ b ⇔ b = 1. Vậy phương trình đường thẳng [d]: y = −4x+1. 3 Đường thẳng [d0] song song với đường thẳng y = 12x+9 có phương trình [d0]: y = 12x+ b, với b 6= 9. Vì I d 0 nên 1 = 12·0+ b ⇔ b = 1. Vậy phương trình đường thẳng [d0]: y = 12x+1. Nhận xét. Trong lời giải của ví dụ trên Ở câu a] dựa trên nhận xét [d1] và [d2] cắt nhau tại điểm I trên O y nên ta mới giả sử I[0; y0]. Trong trường hợp tổng quát với hai đường thẳng [d1]: y = a1x + b1, [d2]: y = a2x + b2 với [a1 6= a2], ta giả sử tọa độ giao điểm I[x0; y0] rồi nhận xét: – I [d1] ⇒ y0 = a1x0 + b1 [1]. – I ∈ [d2] ⇒ y0 = a2x0 + b2 [2]. Từ [1] và [2] suy ra a1x0 + b1 = a2x0 + b2 ⇔ x0 = b2 − b1 a1 − a2. Thay x0 vào [1] hoặc [2] [tùy theo việc thay nào dễ hơn] ta nhận được giá trị của y0, từ đó suy ra tọa độ điểm I. Ở câu b] và câu c], ta có thể khẳng định được b = 1 thông qua nhận định “Đường hẳng [d] và [d0] luôn cắt [d1] tại điểm I thuộc O y”. Ví dụ 3. Cho đường thẳng [∆]: y = x + 6. Lập phương trình đường thẳng [d] song song với đường thẳng [∆] và 1 Đi qua điểm M[1;2]. 2 Khoảng cách từ O đến [d] bằng 2p2. Lời giải. Đường thẳng [d] song song với đường thẳng ∆ có phương trình [d]: y = x+ b. 1 Vì M[1;2] [d] nên 2 = 1+ b ⇔ b = 1. Vậy ta được phương trình đường thẳng [d]: y = x+1. 2 Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của [d] với các trục O y, Ox, ta được: Với điểm A: x = 0 ⇒ y = 0+ b = b, do đó A[0;b]. Với điểm B: y = 0 ⇒ 0 = x+ b ⇔ x = −b, do đó B[−b;0]. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng [d]. Trong 4OAB vuông tại O, ta có 1OH2 ⇔ |b| = 4 ⇔ b = ±4. Khi đó Với b = 4, ta được đường thẳng [d3]: y = x+4 Với b = −4, ta được đường thẳng [d4]: y = x−4. Vậy tồn tại hai đường thẳng [d3] và [d4] thỏa mãn điều kiện đề bài.
Nhận xét. Qua lời giải của ví dụ trên, ta ghi nhận kết quả “Mọi đường thẳng song song với đường thẳng y = ax + m luôn có phương trình y = ax + b”. Khi đó, để xác định phương trình đường thẳng chúng ta chỉ cần xác định b. Ví dụ 4. Lập phương trình đường thẳng [d] biết [d] đi qua điểm M[1;2] và chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau. Lời giải. Đường thẳng [d] có phương trình [d]: y = ax+ b. Vì M[1,2] thuộc [d] nên 2 = a+ b ⇔ a = 2− b. [1] Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của [d] với các trục O y, Ox, ta được A[0;b] và B Khi đó: Với b = 0 thay vào [1] suy ra a = 2, ta được phương trình đường thẳng [d1]: y = 2x. Với b = 3 thay vào [1] suy ra a = −1, ta được phương trình đường thẳng [d2]: y = −x+3.
Hai đường thẳng y = ax + b và. Lý thuyết đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau. Bài 4. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau.
A. Tóm tắt kiến thức:
1. Đường thẳng song song:
Hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b ≠ b’ và trùng nhau khi và chỉ khi a = a’, b = b’.
2. Đường thẳng cắt nhau:
Hai đường thẳng y = ax + b và y’ = a’x + b’ cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a’.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
A. Phương pháp giải
1. Với hai đường thẳng y=ax+b [d] và y=a'x + b' [ trong đó a và a’ khác 0], ta có:
+ [d] và [d’] cắt nhau ⇔ a ≠ a'.
Quảng cáo
+ [d] và [d’] song song với nhau ⇔ a = a' và b ≠ b’.
+ [d] và [d’] trùng nhau ⇔ a = a' và b = b’
+ [d] và [d’] vuông góc với nhau ⇔ a.a'= -1
2. Tọa độ giao điểm của [d] và [d’] là nghiệm của hệ phương trình:
y= ax + b.
y= a'x + b'.
+ Điểm A[xA; yA] ∈ [d] ⇔ Tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình của [d].
B. Bài tập tự luận
Quảng cáo
Bài 1: Tìm m để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau:
a, [d1]: y= [m+2]x - m + 1 và [d2]: y= [2m-5]x +m.
b, [d1]: y= [3m-1]x - 2m + 1 và [d2]: y= [4-2m]x -m.
Hướng dẫn giải
a] [d1]: y = [m+2]x - m + 1 có hệ số a1 = m+2, b1 = -m +1
[d2]: y = [2m-5]x + m có hệ số a2 = 2m - 5, b2 = m
Vậy khi m = 7 thì [d1] song song với [d2]
Bài 2: Cho đường thẳng [AB]: y = -1/3x + 2/3; [BC]: y = 5x+1; [CA]: y = 3x. Xác định tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC
Hướng dẫn giải
Điểm B là giao điểm của [AB] và [BC]:
Phương trình hoành độ giao điểm B:
Điểm A là giao điểm của [AB] và [AC] nên:
Phương trình hoành độ giao điểm A:
-1/3x + 2/3 = 3x
⇔ 3x + 1/3x = 2/3
⇔ x.10/3 = 2/3
⇔ x = 1/5
=> y = 3.1/5 = 3/5
Vậy A[1/5;3/5]
Điểm C là giao điểm của [BC] và [AC] nên:
Phương trình hoành độ giao điểm C:
5x + 1 = 3x
⇔ 2x = -1
⇔ x = -1/2
> y = 3.[-1/2] = -3/2
Vậy C[-1/2;-3/2]
Quảng cáo
Bài 3: Cho đường thẳng [d] có dạng: y= [m+1]x -2m. Tìm m để:
a, Đường thẳng [d] đi qua điểm A[3;-1]
b, Đường thẳng [d] cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -1
c, Đường thẳng [d] song song với đường thẳng [d’]: y=-2x+2
d, Đường thẳng [d] vuông góc với đường thẳng y= -3x-1
e, Đường thẳng [d] có hệ số góc là 3
f, Đường thẳng [d] có tung độ gốc là √2
g, Đường thẳng [d] có góc tạo bởi đường thẳng [d] và trục Ox là góc tù
Hướng dẫn giải
a, Cho [d]: y= [m+1]x -2m.
Điểm A[3;-1] thuộc [d]
⇔ -1 = [m+1].3 - 2m
⇔ -1 = 3m + 3 - 2m.
⇔ -4 = m
Vậy m = -4.
b, Tọa độ giao điểm của [d] với trục hoành là I[-1;0]
0 = [m+1][-1] - 2m.
⇔ 0 = -m - 1 - 2m ⇔ 3m = -1 ⇔ m = -1/3
Vậy m= -1/3
c, [d] song song với [d’]: y=-2x+2
⇔ m + 1 = -2 và -2m ≠ 2
⇔ m = -3 và m ≠ -1
⇔ m = -3
Vậy m = -3
d, Đường thẳng [d] vuông góc với đường thẳng: y=-3x-1
⇔ [m+1][-3] = -1 ⇔ m + 1 = 1/3 ⇔ m = -2/3
Vậy m = -2/3
e, Đường thẳng [d] có hệ số góc là 3 ⇔ m + 1 = 3 ⇔ m = 2
f, Đường thẳng [d] có tung độ gốc là √2, tức là [d] đi qua điểm B[0, √2]
⇔ -2m = √2
⇔ m = -√2/2
g, Góc tạo bởi đường thẳng [d] và trục Ox là góc tù:
⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < -1
Vậy m < -1.
Bài 4: Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy.
[d1]: y= [m+2]x - 3m
[d2]: y= 2x + 4
[d3]: y= -3x - 1
Hướng dẫn giải
Gọi A là giao điểm của [d2] và [d3]:
Phương trình hoành độ giao điểm A:
2x + 4 = -3x - 1
⇔ 5x = -5
⇔ x = -1
=> y = 2[-1] + 4 = 2
=> A[-1;2]
Để [d1];[d2];[d3] đồng quy thì A[-1;2] ∈ [d1]
⇔ 2 = [m+2].[-1] - 3m
⇔ 2 = -m - 2 - 3m
⇔ 4 = -4m
⇔ m = -1
Vậy khi m = -1 thì [d1];[d2];[d3] đồng quy tại A[-1;2].
Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.