08:47:0616/12/2020
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình lớp 9, chúng ta thường sử dụng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế như thế nào? qua đó vận dụng giải các bài tập minh họa vận dụng phương pháp này để các em rèn luyện kỹ năng giải toán.
I. Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn
- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R [a2 + b2 ≠ 0]
- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng [d]: ax + by = c
- Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng [d] là đồ thị hàm số :
- Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục tung
- Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục hoành
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn:
+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Gọi [d]: ax + by = c, [d’]: a’x + b’y = c’, khi đó ta có:
- [d] // [d’] thì hệ vô nghiệm
- [d] cắt [d’] thì hệ có nghiệm duy nhất
- [d] ≡ [d’] thì hệ có vô số nghiệm
+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế
a] Quy tắc thế
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho [coi là phương trình thức nhất], ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới [chỉ còn một ẩn].
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ [phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1].
b] Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
+ Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
* Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a]
b]
* Lời giải:
a]
b]
[SCRIPT_ADS_READ]
III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
* Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a]
c]
* Lời giải:
a]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [10;7]
b]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [11/19;-6/19]
c]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [25/19;-21/19]
* Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế
a]
* Lời giải:
a]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [7;5]
b]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [3;3/2]
Tóm lại, từ một số bài tập và ví dụ minh họa ở trên về cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, các em thấy rằng, việc giải bằng phương pháp thế sẽ rất thuận tiện nếu một trong hai phương trình của hệ có các hệ số đứng trước x hay y là hệ số 1. Khi đó việc giải sẽ rất dễ dàng vì thế x theo y [hay y theo x] không có phân số.
09:02:5416/12/2020
Việc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số được khá nhiều bạn giải theo cách này so với việc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như thế nào? Giải hệ bằng phương pháp này có ưu điểm gì so với phương pháp thế hay không? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này.
I. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R [a2 + b2 ≠ 0]
- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng [d]: ax + by = c
- Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng [d] là đồ thị hàm số :
- Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục tung
- Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục hoành
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn:
+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Gọi [d]: ax + by = c, [d’]: a’x + b’y = c’, khi đó ta có:
- [d]//[d’] thì hệ vô nghiệm
- [d] cắt [d’] thì hệ có nghiệm duy nhất
- [d] ≡ [d’] thì hệ có vô số nghiệm
+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
II. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số
a] Quy tắc cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ [và giữ nguyên phương trình kia].
b] Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
+ Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp [nếu cần] sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 [tức là phương trình một ẩn].
+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
* Ví dụ: Giải các hệ PT bậc nhất 2 ẩn sau bằng PP cộng đại số:
a]
b]
* Lời giải:
a]
b]
III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
* Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bằng PP cộng đại số
a]
c]
e]
* Lời giải:
a]
Lưu ý: Lấy PT[1]+PT[2]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [2;-3]
b]
Lưu ý: Lấy PT[1]-PT[2]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [2;-3]
c]
[lấy PT[1] - PT[2]]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [3;-2]
d]
[Lấy PT[1]-PT[2]]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [-1;0]
e]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [5;3]
Tóm lại, qua bài viết về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số các em thấy, việc giải theo phương pháp này sẽ không làm phát sinh phân số như phương pháp thế, điều này giúp các em đỡ nhầm lẫn khi giải hệ.
Việc vận dụng phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tùy thuộc vào em thành thạo phương pháp nào hơn.
Tuy nhiên, như bài viết đã hướng dẫn, việc giải theo mỗi phương pháp sẽ có ưu và nhược điểm khác nhau. Nếu chịu khó rèn kỹ năng giải, các em sẽ vận dụng linh hoạt các phương pháp này cho từng bài toán, qua đó giải nhanh hơn và ít sai sót hơn.