Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn [O]. kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn [B, C là các tiếp điểm].
Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn [O], vì nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E.
Cho đường tròn [O], điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn [B, C là các tiếp điểm].
- Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
- Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
- Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết \[OB=2cm, OA=4cm\].
Giải:
- Vì AB, AC là các tiếp tuyến nên \[AB=AC\] và \[\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\].
Suy ra \[OA\perp BC\] [tính chất của tam giác cân].
- Điểm B nằm trên đường tròn đường kính CD nên \[\widehat{CBD}=90^{\circ}\].
Suy ra BD//AO [vì cùng vuông góc với BC].
- Nối OB thì \[OB\perp AB.\]
Xét tam giác AOB vuông tại B có: \[\sin \widehat {{A_1}} = {{OB} \over {OA}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow \widehat{A_{1}}=30^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAC}=60^{\circ}.\]
Tam giác ABC cân, có một góc \[60^{\circ}\] nên là tam giác đều.
Ta có \[AB^{2}=OA^{2}-OB^{2}=4^{2}-2^{2}=12\Rightarrow AB=2\sqrt{3.}\]
Vậy \[AB=AC=BC=2\sqrt{3}cm\].
Nhận xét. Qua câu c] ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng \[60^{\circ}\].
Bài 27 trang 115 sgk Toán 9 - tập 1
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn [O], kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn [B, C là các tiếp điểm]. Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn O, nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
Hướng dẫn giải:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có;
\[AB=AC; \,\,DB=DM;\,\,EC=EM.\]
Chu vi \[\Delta ADE=AD + DM + ME + AE\]
\[= AD + DB + EC + AE\]
\[= AB + AC = 2AB\]
Bài 28 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1
Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào?
Giải:
Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh góc xAy. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[\widehat {xAO} = \widehat {y{\rm{A}}O}\]
Hay AO là tia phân giác của góc xAy. Vậy tâm O các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc[xAy].
Bài 29 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1
Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc Ax. Hãy dựng đường tròn [O] tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
Giải:
Phân tích
Đường tròn [O] tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nên tâm O nằm trên tia phân giác Am của góc xAy. Đường tròn [O] tiếp xúc với Ax tại B nên tâm O nằm trên đường thẳng \[d\perp Ax\] tại B.
Vậy O là giao điểm của tia Am với đường thẳng d.
Cách dựng
- Dựng tia phân giác Am của góc xAy.
- Qua B dựng đường thẳng \[d\perp Ax\], cắt tia Am tại O.
- Dựng đường tròn [O;OB], đó là đường tròn phải dựng.
Chứng minh
Vì \[OB\perp Ax\] tại B nên đường tròn [O;OB] tiếp xúc với Ax tại B.
Vì O nằm trên tia phân giác của góc xAy nên O cách đều hai cạnh của góc xAy. Do đó đường tròn [O;OB] tiếp xúc với Ay.
Giải Toán lớp 9 Luyện tập chung bao gồm đáp án chi tiết cho từng phần, từng bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1 trang 36, 37.
Lời giải Toán 9 KNTT trang 36, 37 trình bày khoa học, biên soạn dễ hiểu, giúp các em nâng cao kỹ năng giải Toán 9, từ đó học tốt môn Toán lớp 9 hơn. Đồng thời, cũng giúp thầy cô nhanh chóng soạn giáo án Luyện tập chung Chương II: Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn. Mời thầy cô và các em cùng theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn:
Toán 9 Luyện tập chung Kết nối tri thức
Giải Toán 9 Kết nối tri thức Tập 1 trang 37
Bài 2.12
Giải các phương trình sau:
- 2[x + 1] = [5x – 1][x + 1];
- [–4x + 3]x = [2x + 5]x.
Lời giải:
- 2[x + 1] = [5x – 1][x + 1]
2[x + 1] – [5x – 1][x + 1] = 0
[x + 1][2 – 5x + 1] = 0
[x + 1][3 – 5x] = 0
x + 1 = 0 hoặc 3 – 5x = 0
x = –1 hoặc 5x = 3
x = –1 hoặc x=.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –1 và x=
- [–4x + 3]x = [2x + 5]x
[–4x + 3]x – [2x + 5]x = 0
x[–4x + 3 – 2x – 5] = 0
x[–6x – 2] = 0
x = 0 hoặc –6x – 2 = 0
x = 0 hoặc –6x = 2
x = 0 hoặc x=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x=
Bài 2.13
Để loại bỏ x% một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là
%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B50x%7D%7D%7B%7B100%20-%20x%7D%7D] [triệu đồng], với 0 < 100.
Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể loại bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?
Lời giải:
Nếu bỏ ra 450 triệu đồng ta sẽ có %20%3D%20450] từ đó ta có phương trình
Giải phương trình:
50x = 450.[100 – x]
50x = 45 000 – 450x
50x + 450x = 45 000
500x = 45 000
x = 90.
Giá trị x = 90 thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x < 100.
Vậy nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể loại bỏ được 90% loại tảo độc đó.
Bài 2.14
Giải các phương trình sau:
%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bx%20%2B%202%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%7B%7Bx%5E2%7D%20-%202x%20%2B%204%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bx%20-%204%7D%7D%7B%7B%7Bx%5E3%7D%20%2B%208%7D%7D%3B]
%20%5Cfrac%7B%7B2x%7D%7D%7B%7Bx%20-%204%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%7Bx%20%2B%204%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bx%20-%2012%7D%7D%7B%7B%7Bx%5E2%7D%20-%2016%7D%7D.]
Lời giải:
%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bx%20%2B%202%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%7B%7Bx%5E2%7D%20-%202x%20%2B%204%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bx%20-%204%7D%7D%7B%7B%7Bx%5E3%7D%20%2B%208%7D%7D%3B]
ĐKXĐ:
Quy đồng mẫu thức ta được %7D%7D%7B%7B%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%202%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%202x%20%2B%204%7D%20%5Cright]%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7B2%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%202%7D%20%5Cright]%7D%7D%7B%7B%5Cleft[%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%202x%20%2B%204%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%202%7D%20%5Cright]%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bx%20-%204%7D%7D%7B%7B%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%202%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%202x%20%2B%204%7D%20%5Cright]%7D%7D]
Khử mẫu ta được %20%3D%20x%20-%204]
%20%3D%20x%20-%204%5C%5Cx%5Cleft[%20%7Bx%20-%204%7D%20%5Cright]%20-%20%5Cleft[%20%7Bx%20-%204%7D%20%5Cright]%20%3D%200%5C%5C%5Cleft[%20%7Bx%20-%204%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Bx%20-%201%7D%20%5Cright]%20%3D%200%5C%5CTH1%3Ax%20-%204%20%3D%200%5C%5Cx%20%3D%204%5Cleft[%20%7Bt%2Fm%7D%20%5Cright]%5Cend%7Barray%7D]
%5Cend%7Barray%7D]
Vậy
ĐKXĐ:
Quy đồng mẫu thức ta được %7D%7D%7B%7B%5Cleft[%20%7Bx%20-%204%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%204%7D%20%5Cright]%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B3%5Cleft[%20%7Bx%20-%204%7D%20%5Cright]%7D%7D%7B%7B%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%204%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Bx%20-%204%7D%20%5Cright]%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bx%20-%2012%7D%7D%7B%7B%5Cleft[%20%7Bx%20-%204%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%204%7D%20%5Cright]%7D%7D]
Khử mẫu ta được %20%2B%203%5Cleft[%20%7Bx%20-%204%7D%20%5Cright]%20%3D%20x%20-%2012]
%20%3D%200%5C%5CTH1%3A2x%20%3D%200%5C%5Cx%20%3D%200%5Cleft[%20%7Bt%2Fm%7D%20%5Cright]%5C%5CTH2%3Ax%20%2B%205%20%3D%200%5C%5Cx%20%3D%20-%205%5Cleft[%20%7Bt%2Fm%7D%20%5Cright]%5Cend%7Barray%7D]
Vậy
Bài 2.15
Cho a > b, chứng minh rằng:
- 4a + 4 > 4b + 3;
- 1 – 3a < 3 – 3b.