Đề bài
Cho tam giác cân \[ABC\] có đáy \[BC\] và \[\widehat A = {20^0}\]. Trên nửa mặt phẳng bờ \[AB\] không chứa điểm \[C\] lấy điểm \[D\] sao cho \[DA = DB\] và \[\widehat {DAB} = {40^0}\]. Gọi \[E\] là giao điểm của \[AB\] và \[CD.\]
\[a]\] Chứng minh \[ACBD\] là tứ giác nội tiếp
\[b]\] Tính \[\widehat {AED}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
+] Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng \[180^\circ\] thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
+] Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+] Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
\[a]\] \[ABC\] cân tại \[A \;\;[gt].\]
\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ABC}\][tính chất tam giác cân]
\[ \Rightarrow \widehat {ACB} =\displaystyle {{180^\circ - \widehat A} \over 2} \]\[= \displaystyle{{180^\circ - 20^\circ } \over 2} = 80^\circ \]
\[DAB\] cân tại \[D\] [do \[DA=DB]\]
\[ \Rightarrow \widehat {DBA} = \widehat {DAB}\][tính chất tam giác cân] mà \[\widehat {DAB} = 40^\circ \] [gt] \[ \Rightarrow \widehat {DBA} = 40^\circ \]
\[\widehat {ADB} = 180^\circ - [\widehat {DAB} + \widehat {DBA}]\]\[ = 180^\circ - [40^\circ + 40^\circ ] = 100^\circ \]
Trong tứ giác \[ACBD\] ta có: \[\widehat {ACB} + \widehat {ADB} \]\[= 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ \]
Vậy: Tứ giác \[ACBD\] nội tiếp.
\[b]\] Vì tứ giác \[ACBD\] nội tiếp [câu a] nên xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[ACBD\] ta có:
+] \[\widehat {BAC} =\displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BC}\][tính chất góc nội tiếp]
\[ \Rightarrow \] sđ \[\overparen{BC}\]\[ = 2\widehat {BAC} = 2.20^\circ = 40^\circ \]
+] \[\widehat {DBA} =\displaystyle{1 \over 2}sđ \overparen{AD}\][tính chất góc nội tiếp]
\[ \Rightarrow \] sđ \[\overparen{AD}\] \[ = 2\widehat {DBA} = 2.40^\circ = 80^\circ \]
+] \[\widehat {AED}\] là góc có đỉnh ở trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[ACBD\]
\[\widehat {AED} =\displaystyle {1 \over 2}[sđ \overparen{BC} + sđ \overparen{AD}]\] \[ = \displaystyle{{40^\circ + 80^\circ } \over 2} = 60^\circ \]