Đề bài
Chứng minh
\[\displaystyle {{S}} = {1 \over 5} + {1 \over {13}} + {1 \over {14}} + {1 \over {15}} \]\[\displaystyle+ {1 \over {61}} + {1 \over {62}} + {1 \over {63}} < {1 \over 2}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nhóm các phân số\[\displaystyle {1 \over {13}} ; {1 \over {14}} ; {1 \over {15}} \] lại thành một nhóm và so sánh từng phân số với phân số\[\displaystyle {1 \over {12}}\].
-Nhóm các phân số\[\displaystyle {1 \over {61}} ; {1 \over {62}} ; {1 \over {63}} \] lại thành một nhóm và so sánh từng phân số với phân số\[\displaystyle {1 \over {60}}\].
Lời giải chi tiết
\[\displaystyle {{S}} = {1 \over 5} + {1 \over {13}} + {1 \over {14}} + {1 \over {15}} + {1 \over {61}} \]\[\displaystyle+ {1 \over {62}} + {1 \over {63}} \]
\[\displaystyle {{S}} = {1 \over 5} + \left[ {{1 \over {13}} + {1 \over {14}} + {1 \over {15}}} \right] \]\[\displaystyle+ \left[ {{1 \over {61}} + {1 \over {62}} + {1 \over {63}}} \right]\] \[[1]\]
Ta có :
\[\displaystyle {1 \over {13}} + {1 \over {14}} + {1 \over {15}} \]\[\displaystyle< {1 \over {12}} + {1 \over {12}} + {1 \over {12}} = {3 \over 12}= {1 \over 4}\] \[[2]\]
\[\displaystyle {1 \over {61}} + {1 \over {62}} + {1 \over {63}} \]\[\displaystyle< {1 \over {60}} + {1 \over {60}} + {1 \over {60}} = {3 \over 60}= {1 \over {20}}\] \[[3]\]
\[\displaystyle {1 \over 5} + {1 \over 4} + {1 \over {20}} = {4 \over {20}} + {5 \over {20}} + {1 \over {20}} \]\[\displaystyle= {{10} \over {20}} = {1 \over 2}\] \[[4]\]
Từ\[[1]\],\[[2]\],\[[3]\]và\[[4]\] suy ra:
\[\displaystyle {\rm{S}} = {1 \over 5} + {1 \over {13}} + {1 \over {14}} + {1 \over {15}} \]\[\displaystyle+ {1 \over {61}} + {1 \over {62}} + {1 \over {63}} \]\[\displaystyle< {1 \over 5} + {1 \over 4} + {1 \over {20}} = {1 \over 2}.\]