I. Khái niệm cung và góc lượng giác
1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.
Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
* Chú ý
Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì:
Kí hiệu $\mathop {AB}\limits^ \curvearrowright $ chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.
2. Góc lượng giác
Trên một đường tròn định hướng, cho một cung lượng giác $\mathop {CD}\limits^ \curvearrowright $. Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C đến D tạo nên cung lượng giác $\mathop {CD}\limits^ \curvearrowright $ nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là [OC, OD].
3. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1.
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm $A\left[ {1;0} \right],A'\left[ { - 1;0} \right],B\left[ {0;1} \right],B'\left[ {0; - 1} \right]$. Ta lấy $A\left[ {1;0} \right]$ làm điểm gốc của đường tròn đó.
Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác [gốc A].
II. Số đo của cung và góc lượng giác
1. Độ và rađian
a] Đơn vị rađian
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kinh được gọi là cung có số đo 1 rad.
b] Quan hệ giữa độ và rađian
${1^0} = \frac{\pi }{{180}}rad$ và $1rad = {\left[ {\frac{{180}}{\pi }} \right]^0}$
* Bảng chuyển đổi thông dụng
c] Độ dài của một cung tròn
Cung có số đo $\alpha $ rad của đường tròn đường kính R có độ dài
$l = R\alpha $
2. Số đo của một cung lượng giác
Số đo của một cung lượng giác $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright \left[ {A \ne M} \right]$ là một số thực, âm hay dương.
Kí hiệu của số đo của cung $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $ là sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $.
sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = \alpha + k2\pi ,k \in Z$
sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = {a^0} + k{360^0},k \in Z$
3. Số đo của một góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác [OA, OC] là số đo của cung lượng giác $\mathop {AC}\limits^ \curvearrowright $ tương ứng.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Để biểu diễn cung lượng giác có số đo $\alpha $ trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A [1; 0] làm điểm đầu của cung vì vậy chỉ cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác sao cho cung $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $ có sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = \alpha $.
Page 2
SureLRN
1. Quan hệ giữa độ và radian
Với π ≈ 3,14 thì 1° ≈ 0,0175 rad và ngược lại 1 rad ≈ 57º17’45”.
2. Độ dài l của cung tròn có số đo α rad, bán kính R là l = Rα.
3. Số đo của các cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B là
trong đó a là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi giá trị k ứng với một cung.
Nếu viết số đo bằng độ thì ta có
4. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo a trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A[1 ; 0] làm điểm đầu của cung, vì vậy chỉ cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác sao cho cung có sđ = α
5. Mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác [OC, OD] và ngược lại. Số đo của cung lượng giác và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau.
B. BÀI TẬP MẪU
BÀI 1
Đổi số đo của các cung sau ra radian, với độ chính xác đến 0,0001
| a] 20º; | b] 40º25′; | c] -27º; | d] -53º30′. |
Hướng dẫn
Có hai cách đổi từ độ ra rađian
Cách 1. Dùng công thức 1° ≈ 0,0175 rad. Chú ý rằng khi đó 30’ = 0,5°; 25′ = 0,4167°.
Cách 2. Dùng máy tính bỏ túi. Ví dụ đổi 40°25’ ra rađian. Chẳng hạn, với
Đáp số:
| a] 20° ≈ 0,3490 ; | b] 40°25′ ≈ 0,7054 ; |
| c] -27° ≈ -0,4712 ; | d] -53°30’ ≈ -0,9337. |
Chú ý: Sử dụng hai cách đổi như trên có thể cho hai kết quả khác nhau.
BÀI 2.
Đổi số đo của các góc sau ra độ, phút, giây
Hướng dẫn
Cũng như bài 1, có hai cách đổi từ radian ra độ
BÀI 3
Một đường tròn có bán kính 15 cm. Tìm độ dài các cung trên đường tròn đó có số đo
Lời giải
b] α = 25º = 0,4363 rad
Độ dài cung 25º trên đườg tròn bán kính 15 cm là
l = 15.0,4363 ≈ 6,55 cm.
Còn phần còn lại phải tương tự.
Đáp số:
| a] 2,94 cm; | b] 6,55 cm; |
| c] 10,47 cm; | d] 45 cm; |
BÀI 4
Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các cung có số đo tương ứng là
Hướng dẫn
Ta lấy điểm đầu của các cung là A[1; 0]. Do đó biểu diễn các cung này là xác định điểm cuối M của cung có số đo đã cho
BÀI 5
Trên một đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ = -40°. Gọi tương ứng là điểm đối xứng của M qua đường phân giác của góc phân tư thứ I, Trục Ox và trục Oy. Tìm số đo của các cung lượng giác , , .
Hướng dẫn
Trước hết nhận xét rằng đường phân giác của góc phần tư thứ I, trục Ox, trục Oy đều đi qua tâm O của đường tròn lượng giác nên đều là trục đối xứng của đường tròn này. Do đều thuộc đường tròn lượng giác.
Nếu gọi giao điểm của đường phân giác của góc phần tự thứ I với đường tròn lượng giác là D thì
sđ = sđ từ đó suy ra sđ . Tương tự,
sđ = sđ [ đối xứng với M qua trục Ox] và sđ = [A'[-1; 0] và đối xứng với M qua trục Oy] [h.62].
Giải
C. BÀI TẬP
6.1. Đổi số đó của các góc sau ra độ, phút, giây.
| a] -4 | b] | c] |
⇒ Xem đáp án tại đây.
6.2. Đổi số đo của các cung sau ra radian [chính xác đến 0,001]
| a] 137°; | b] -78°35′ | c] 26°. |
⇒ Xem đáp án tại đây.
6.3. Một đường tròn có bán kính 25 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn có số đo.
⇒ Xem đáp án tại đây.
6.4. Một hình luck giác đều ABCDEF [các đỉnh lấy theo thứ tự đó và ngược chiều quay của kim đồng hồ] nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tính số đo bằng radian của các cung lượng giác , , , , .
⇒ Xem đáp án tại đây.
6.5. Cho các cung lượng giác có số đo là 15 rad. Tìm số lớn nhất trong các đo của cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B, có số đo âm.
⇒ Xem đáp án tại đây.
6.6. Tìm số x [0 ≤ x < 2π] và số nguyên k sao cho a = x + k2π trong các trường hợp
⇒ Xem đáp án tại đây.
Bài tập trắc nghiệm
6.7. Số đo của góc đổi ra độ là
| A. 266° | B. 258° | C. 324° | D. 374° |
⇒ Xem đáp án tại đây.
6.8. Số đo của cung 37°15′ đổi ra radian [lấy đến ba chữ số thập phân] ;à
| A. 0.652 | B. 0.514 | C. 0.482 | D. 0.793 |
⇒ Xem đáp án tại đây.
6.9. Cho hình ngũ giác đều ABCDE [các đỉnh lấy theo thứ tự đó và thuận chiều quay của kim đồng hồ] nội tiếp trong đường tròn lượng giác. Số đo bằng radian của các cung lượng giác , , lần lượt là
⇒ Xem đáp án tại đây.
6.10. Một đường tròn có đường kính 36 cm. Độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo 20° là
| A. 7.2 cm | B. 4.6 cm | C. 6.8 cm | D. 6.3 cm |
⇒ Xem đáp án tại đây.
6.11. Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi số đo = -70° với A[1; 0]. Gọi là điểm đối xứng của M qua đường phân giác của góc phần tư thứ I. Số đo của cung lượng giác là
| A. -150° | B. 220° | C. 160° | D. -160° |
⇒ Xem đáp án tại đây.
6.12. Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi số đo = α, π