Cách tính tọa độ vectơ

Toạ độ của vector theo điểm đầu và điểm cuối. Trong không gian$Oxyz$ cho hai điểm$A\left[ {{x_A};{y_A};{z_A}} \right],B\left[ {{x_B};{y_B};{z_B}} \right]$. Khi đó toạ độ của vector$\overrightarrow {AB} $ là$$\overrightarrow {AB} = \left[ {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right]$$ Từ đây ta có

Công thức tính độ dài của vector $\overrightarrow {AB} $ là $$\overrightarrow {AB} = \sqrt {{{\left[ {{x_B} - {x_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_B} - {y_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_B} - {z_A}} \right]}^2}} .$$

Ví dụ 1.Trong không gian cho tam giác với$Oxyz$ cho hai điểm$A\left[ { - 1;2;3} \right],B\left[ {5, - 3,4} \right]$. Khi đó ta có$$\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left[ {5 - \left[ { - 1} \right]; - 3 - 2;4 - 3} \right] = \left[ {6; - 5;1} \right], \cr
& AB = \sqrt {{6^2} + {{\left[ { - 5} \right]}^2} + {1^2}} = \sqrt {62} . \cr} $$

Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A\left[ {1; - 2;3} \right],B\left[ {2; - 2;5} \right],C\left[ {3; - 1;0} \right]$. Tìm toạ độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
Giải. Giả sử $D[x_D,y_D,z_D]$. Ta có$$\overrightarrow {AB} = \left[ {1;0;2} \right],\overrightarrow {DC} = \left[ {3 - {x_D}; - 1 - {y_D};0 - {z_D}} \right]$$ $ABCD$ là hình bình hành khi $$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 = 3 - {x_D} \hfill \\ 0 = - 1 - {y_D} \hfill \\ 2 = 0 - {z_D} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_D} = 2 \hfill \\ {y_D} = - 1 \hfill \\ {z_D} = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow D\left[ {2; - 1; - 2} \right].$$