LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HÌNH THANG CÂN
A. LÝ THUYẾT
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Tứ giác ABCD là hình thang cân [đáy AB; CD]
⇔AB//CD">⇔AB//CD và Góc C = Góc D
Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Lưu ý:
Hình thang cân thì có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân. Ví dụ như hình vẽ dưới đây:
B. BÀI TẬP
Bài 1. Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy kẻ ô vuông [h.30, độ dài của cạnh ô vuông là 1cm].
Lời giải:
Theo hình vẽ, ta có: AB = 2cm, CD = 4cm.
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AED ta được:
AD2 = AE2 + ED2 = 32 + 12 = 10.
Suy ra AD = √10 cm
Vậy AB = 2cm, CD = 4cm, AD = BC = √10 cm
Bài 2. Cho hình thang cân ABCD [AB // CD, AB < CD]. Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông AED và BFC
Ta có: AD = BC [gt]
∠D = ∠C [gt]
Nên ∆AED = ∆BFC [cạnh huyền – góc nhọn]
Suy ra: DE = CF.
Bài 3. Cho hình thang cân ABCD [AB//CD], E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED.
Lời giải:
[*]Chứng minh ∠ACD = ∠BDC
[*]Chứng minh EA = EB; EC = ED
Ta có ABCD là hình thang cân nên AB//CD ⇒ AD = BC và ∠ADC = ∠BCD
DC là cạnh chung của ΔADC và ΔBCD
⇒ ΔADC = ΔBCD [c.g.c] ⇒ ∠ACD = ∠BDC.
Ta có: ∠ACD = ∠BDC ⇒ ∠ECD = ∠EDC ⇒ΔECD cân tại E ⇒ ED = EC
Mặt khác: AC = BD [ABCD là hình thang cân]
Bài 4. Đố. Trong các tứ giác ABCD, EFGH trên giấy kẻ ô vuông [h.31], tứ giác nào là hình thang cân? Vì sao?
Lời giải:
Để xét xem tứ giác nào là hình thang cân ta dùng tính chất "Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau".
Tứ giác ABCD là hình thang cân vì AD = BC.
Tứ giác EFGH không là hình thang cân vì EF > GH.
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D, E sao cho AD = AE
a] Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.
b] Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng góc A = 50o.
Lời giải:
a]Ta có AD = AE [gt] nên ∆ADE cân
Do đó ∠D1 = ∠E1
Trong tam giác ADE có: ∠D1 + ∠E1+ ∠A = 1800
Hay 2∠D1= 1800 – ∠A ⇒ ∠D1= [1800 – ∠A]/2
Tương tự trong tam giác cân ABC ta có ∠B = [1800 – ∠A]/2
Nên ∠D1= ∠B mà góc ∠D1 , ∠B là hai góc đồng vị.
Suy ra DE // BC
Do đó BDEC là hình thang.
Lại có ΔABC cân tại A ⇒ ∠B = ∠C Nên BDEC là hình thang cân.
b] Với ∠A=500 Ta được ∠B = ∠C = [1800 – ∠A]/2 = [1800 – 500]/2
= 650
∠D2 = ∠E2= 1800 – ∠B = 1800 – 650= 1150
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE [D ∈ AC, E ∈ AB]. Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Lời giải:
a] ΔABD và ΔACE có:
AB = AC [gt]
∠A chung; ∠B1 = ∠C1
Nên ΔABD = ΔACE [g.c.g]
Suy ra AD = AE.
Chứng minh BEDC là hình thang cân như câu a của bài 15.
b] Vì BEDC là hìnhthang cân nên DE // BC.
Suy ra ∠D1 = ∠B2 [so le trong]
Lại có ∠B2 = ∠B1 nên ∠B1= ∠A1
Do đó tam giác EBD cân. Suy ra EB = ED.
Vậy BEDC là hình-thang-cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Bài 7: Hình thang ABCD [AB // CD] có ∠ACD = ∠BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Lời giải:
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
∆ECD có ∠C1 = ∠D1 [do ∠ACD = ∠BDC] nên là tam giác cân.
Suy ra EC = ED [1]
Tương tự ∆EAB cân tại A suy ra: EA = EB [2]
Từ [1] và [2] ta có: EA + EC = EB + ED ⇒ AC = BD
Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.
Bài 8: Chứng minh định lý: "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD [AB // CD] có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại tại E. Chứng minh rằng:
a] ΔBDE là tam giác cân.
b] ΔACD = ΔBDC
c] Hình thang ABCD là hình thang cân.
Lời giải:
a] Ta có AB//CD suy ra AB // CE và AC//BE
Xét Hình thang ABEC [AB // CE] có hai cạnh bên AC, BE song song nên chúng bằng nhau: AC = BE [1]
Theo giả thiết AC = BD [2]
Từ [1] và [2] suy ra BE = BD do đó tam giác BDE cân.
b] Ta có AC // BE suy ra ∠C1 = ∠E [3]
∆BDE cân tại B [câu a] nên ∠D1 = ∠E [4]
Từ [3] và [4] suy ra ∠C1 = ∠D1
Xét ∆ACD và ∆BCD có AC = BD [gt]
∠C1 = ∠D1 [cmt]
CD cạnh chung
Nên ∆ACD = ∆BDC [c.g.c]
c] ∆ACD = ∆BDC [câu b]
Suy ra ∠ADC = ∠BD
Hình thang ABCD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang-cân.
Bài 9: Đố. Cho ba điểm A, D, K trên giấy kẻ ô vuông [h.32] Hãy tìm điểm thứ tư M giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba diểm đã cho là bốn đỉnh của một hình thang cân.
Lời giải:
Có thể tìm được hai điểm M là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho A, D, K là bốn đỉnh của một hình thang cân. Đó là hình thang AKDM1 [với AK là đáy] và hình ADKM2[với DK là đáy].
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.