Với Tìm tọa độ của vecto, của điểm Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết Tìm tọa độ của vecto, của điểm.
Phương pháp giải & Ví dụ
1. Tọa độ của vecto
a] Định nghĩa
Ta gọi bộ ba số [x; y; z] là tọa độ của vecto u→ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước
u→=[x;y;z]⇔u→=xi→+yj→+zk→
b] Tính chất
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto a→ =[a1;a2;a3 ] và b→ =[b1;b2;b3 ]; k∈R
+
+
+
+
+
+
2. Tọa độ của điểm
a] Định nghĩa
M[x;y;z]⇔OM→= xi→+yj→+zk→[x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ]
b] Tính chất
Cho A[x A; y A; z A ];B[x B; y B; z B ]
+ AB→ =[xA-xB;yA-yB;zA-zB ]
+
+ Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
+
+ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:
+
+ Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
+
Ví dụ minh họa
Bài 1:Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a→ =-3i→ +5j→ +2k→ ; b→ =[3;2; -1]; c→ =3j→ -2k→ ; d→ =[5; -3;2]
a] Tìm tọa độ của các vecto a→ - 2b→ + c→ ; 3b→ -2c→ +d→
b] Tìm tọa độ của vecto 2a→ -b→ +1/3c→
c] Phân tích vecto d→ theo 3 vecto a→ ; b→ ; c→
Hướng dẫn:
a] a→ =[-3;5;2]; 2b→ =[6;4; -2]; c→ =[0;3; -2]
⇒ a→- 2 b→+ c→=[-9;4; 2]
3 b→=[9;6; -3]; 2 c→=[0;6; -4]; d→=[5; -3;2]
⇒3 b→-2 c→+ d→=[14; -3;7]
b]
c] giả sử d→=ma→+nb→+pc→
Bài 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A[1; -3;1];B[2;5;1] và vecto OC→=-3 i→+2 j→+5 k→
a] Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b] Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE.
c] Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 AB→+2 AM→=3 CM→
Hướng dẫn:
a]
⇒BC→; AC→ không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng
Gọi D [x; y; z] ⇒AD→=[x-1;y+3;z-1]
ABCD là hình bình hành ⇔AD→=BC→
b]
Ta có:
⇒OA→; OB→ không cùng phương hay O, A, B không thẳng hàng.
Gọi E [x; y; z] ⇒EB→=[2-x;5-y;1-z]
Theo đề bài, tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE.
⇒OA→=2EB→
c] Gọi M [x; y; z]. Ta có:
AB→=[1;8;0]⇒3AB→=[3;24;0]
AM→=[x-1;y+3;z-1]⇒2AM→=[2x-2;2y+6;2z-2]
CM→=[x+3;y-2;z-5]⇒3CM→=[3x+9;3y-6;3z-15]
3AB→+2AM→=3CM→
Vậy M[-8; 36; 13]
Bài 3:Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A[1;0;1],B[2;1;2],D[1; -1;1];C^' [4;5; -5]. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Hướng dẫn:
+ Gọi C [x; y; z]
Ta có: AB→ =[1;1;1];DC→ =[x-1;y+1;z-1]
Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔AB→ =DC→
+ Gọi D’ [x; y; z]
Ta có: D'C'→ =[4-x;5-y; -5-z]; DC→ =[1;1;1]
Tứ giác DCC’D’ là hình bình hành ⇔D'C'→=DC→
+ Gọi A’ [x; y; z]
Ta có: A'D'→=[3-x;4-y; -6-z]; AD→=[0; -1;0]
Tứ giác ADD’A’ là hình bình hành ⇔A'D'→=AD→
+ Gọi B’ [x; y; z]
Ta có: D'C'→=[1;1;1];A'B'→=[x-3;y-5;z+6]
Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔A'B'→=D'C'→
Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A[1; 3; 2], B[3; -5; 6], C [2; 1; 3].
a] Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB
b] Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và hình chiếu của G lên Ox
c] Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C
d] Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng Oxz sao cho |FA→+FB→+FC→ | nhỏ nhất
e] Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với điểm B qua trục tung.
Hướng dẫn:
a] M là trung điểm của cạnh AB
b] G là trọng tâm của tam giác ABC
Hình chiếu của G lên trục Ox là H [2; 0; 0]
c] Gọi N [x; y; z]
N đối xứng với A qua C ⇔ C là trung điểm của AN
⇒N[3; -1;4]
d] Ta có: |FA→ +FB→ +FC→ |=|3FG→ |=3FG
Do đó: |FA→ +FB→ +FC→ | nhỏ nhất ⇔ FG nhỏ nhất ⇔ F là hình chiếu của G lên mặt phẳng [Oxz]
e] Hình chiếu của B lên trục Oy là H [0; -5; 0]
B’ là điểm đối xứng với điểm B qua trục tung ⇔ H là trung điểm của đoạn BB’
⇒B'[-3; -5; -6]