Lý thuyết đường tròn lớp 9 đầy đủ nhất
Tổng hợp lý thuyết đầy đủ nhất những gì liên quan tới đường tròn dành cho học sinh lớp 9, ôn thi vào lớp 10 môn Toán.
Nếu muốn giải được các dạng toán đường tròn lớp 9 thì bắt buộc các em phải nắm vững những lý thuyết đường tròn dưới đây.
I. Sự xác định của đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn
1. Đường tròn
Định nghĩa: Đường tròn tâm
2. Vị trí tương đối của một điểm với một đường tròn
Cho đường tròn tâm
+
+
+
3. Cách xác định đường tròn
Qua ba điểmkhông thẳng hàngta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
4.Tính chất đối xứng của đường tròn
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của của đường tròn đó.
Đường tròn là hình có trục đối xứng, trục bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
II. Dây của đường tròn
1. So sánh độ dài của đường kính và dây
Trong các dây của đường tròn dây lớn nhất là đường kính
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thìvuông gócvớidây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Trong 1 đường tròn:
+ 2 dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ 2 dây cách đều tâm thì bằng nhau
Trong 2 dây của 1 đường tròn
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa tâm hơn
III. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn
1. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn
Cho đường tròn tâm
Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại 1 điểm
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm chung giữa đường thẳng và đường tròn gọi là tiếp điểm.
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Nếu 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
Nếu1 đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thắng ẩy là tiếp tuyến của đường tròn.
3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điếm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻtừ tâm đi qua điểm đólà tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính [đi qua các tiếp điểm]
4. Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi làđường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác được gọi làgiao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.
5. Đườngtròn bàng tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C,hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B [hoặc C].
IV. Vị trí tương đối của hai đường tròn
1. Tính chất đường nối tâm
Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điếm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.
Nếuhai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
2. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho 2 đường tròn
Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm
Hai đường tròn tiếp xúc nhau [có 1 điểm chung]:
+ Tiếp xúc trong
+ Tiếp xúc ngoài
Hai đường trong không giao nhau
+ Ở ngoài nhau
+
3. Tiếp tuyến chung của hai đườngtròn
Tiếp tuyến chung của hai đường trònlà đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
Tiếp tuyến chung trong làtiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.
V. Liên hệ giữa cung và dây cung
1. Định lí 1
+ Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
2. Định lí 2
+ Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
Dây lớn hơn căng cunglớn hơn.
3. Bổ sung
+ Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây [không đi qua tâm] thì đi qua điếm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
VI. Góc nội tiếp đường tròn
1. Định nghĩa:Góc nội tiếplàgóc có đỉnh nằm trên đường trònvàhai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn ấy.
Cung nằm bên trong góc được gọilàcung bị chắn.
2. Định lí:Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếpbằng nửa số đo của cung bị chắn.
3. Hệ quả
+ Trong một đường tròn:
Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Góc nội tiếp [nhỏ hơn hoặc bằng 90°có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâmcùng chắn một cung.
Góc nội tiếp chắn nửa đường trònlà góc vuông.
VI. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
1. Định lí:Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
2. Hệ quả:Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
3. Định lí [bổ sung]
Nếu góc BAx [với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB], cósố đobằng nửa số đo của cung AB căng dây đóvà cung này nằm bên trong góc đóthì cạnh Axlàmột tia tiếp tuyến của đường tròn.
VIII. Góc ở đỉnh bên trong, và góc ở đỉnh bên ngoài đường tròn
Định lí 1:Số đocủa góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng so đo hai cung bị chắn.
Định lí 2:Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu so đo hai cung bị chắn.
IX. Cung chứa góc
1. Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng AB và gócα [00