một số bài toán truy hồi, yêu cầu học sinh tìm 1 số hạng thứ n nhất định nào đó, nếu ngồi tính từng số hạng thì rất lâu, hay nếu đi tìm số hạng tổng quát của dãy số thì lại chẳng dễ dàng gì. vậy phải làm như thế nào ?
với sự hỗ trợ của máy tính casio, ta có thể xử lý dạng bài toán này một cách khá dễ dàng, đây là một phần trong đề cương ôn thi học sinh giỏi toán trên máy tính cầm tay. tuy nhiên không phải bài toán nào cũng sử dụng cách này được vì có nhiều hạn chế nhất định.
xét các ví dụ sau:
ví dụ 1:
chu dãy số sau: [tex]\left\{\begin{matrix} u_1=1;u_2=2\\ u_{n+1}=u_n+u_{u-1}-3 \end{matrix}\right.,n\geq 2[/tex]
tính số hạng thứ 20 của dãy số.
giải:
dãy số trên được cho bởi công thức truy hồi, để tìm được công thức tổng quát của dãy số thì không dễ.
hãy làm theo cách sau:
lưu vào máy: [tex]D\leftarrow 2; A\leftarrow 1;B\leftarrow 2.[/tex] với D là biến đếm, A, B lưu số hạng thứ nhất và thứ 2.
nhập vào máy tính:
[tex]D=D+1:A=B+A-3:X=A: D=D+1:B=A+B-3:X=B[/tex]
nhấn CALC, rồi nhấn dấu bằng cho đến khi D=20, nhấn thêm 1 lần dấu bằng ta thu được X=-9346.
vậy thì số hạng thứ 20 là -9346.
ví dụ 2:
cho dãy số [tex]\left\{\begin{matrix} u_1=3;u_2=5\\ u_{n+1}=3u_n-2u_{n-1}-2 \end{matrix}\right.,n\geq 2[/tex].
tính tổng [tex]S=u_1+u_2+...+u_{33}[/tex] [đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay Quãng Ngãi, 2008-2009].
giải:
lưu vào máy: [tex]D\leftarrow 2; A\leftarrow 3;B\leftarrow 5; X \leftarrow 8 [/tex] với D là biến đếm, A, B lưu số hạng thứ nhất và thứ 2, X là tổng của các số hạng.
nhập vào máy tính:
[tex]D=D+1:A=B+A-3:X=X+A: D=D+1:B=A+B-3:X=X+B[/tex]
nhấn CALC, rồi nhấn dấu bằng cho đến khi D=33, nhấn bằng tiếp ta thu được giá trị [tex]u_{33}=67[/tex], nhấn bằng thêm một lần nữa thu được giá trị S là [tex]S=X=1155[/tex]
vậy tổng cần tín là S=1155.
ví dụ 3:
xét với dãy truy hồi có phụ thuộc vào 3 số hạng liền trước.
cho dãy số: [tex]\left\{\begin{matrix} u_1=1;u_2=3;u_3=7\\ u_{n+1}=u_{n}-u_{n-1}-3u_{n-2} \end{matrix}\right.,n\geq 3[/tex].
tính số hạng thứ 15 của dãy số.
giải:
cũng giống như với 2 số hạng liền trước, ở bào này ta dùng thêm 1 biến C để lưu giá trị của [tex]u_3[/tex].
lưu vào máy: [tex]D\leftarrow 3; A\leftarrow 1;B\leftarrow 3; C \leftarrow 7 [/tex]
nhập vào náy tính:
[tex]D=D+1:A=C-B-3A:X=A: D=D+1:B=A-C-3B:X=B: D=D+1:C=B-A-3C:X=C[/tex]
nhấn CALC. rồi nhấn dấu bằng đến khi D=15, nhấn tiếp 2 lần dấu bằng thu được kết quả X=4321.
vậy số hạng thứ 15 là 4321.