Các dạng bài tập tính khoảng cách trong không gian

Tổng hợp 40 bài toán thực tế luyện thi THPT Quốc gia 2017

Giáo viên: Đỗ Viết Tuân

Lớp 12 1223 lượt xem

Cho mặt phẳng $[P]:Ax+By+Cz+D=0$ và điểm ${{M}_{o}}[{{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}}]$ khi đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [P] được tính theo công thức:

2] Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho mặt phẳng $[P]:Ax+By+Cz+D=0$

Mặt phẳng $[Q]//[P]$ và có phương trình $[Q]:Ax+By+Cz+E=0$

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng [P] và [Q] bằng khoảng cách từ điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng [P] đến mặt phẳng [Q]. Ta thấy điểm $H\left[ 0;0;\frac{-D}{C} \right]\in [P]$ suy ra:

$d\left[ [P];[Q] \right]=d\left[ H;[Q] \right]=\frac{\left| C.\frac{-D}{C}+E \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=\frac{\left| D-E \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

3] Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Công thức khoảng cách từ điểm ${{M}_{1}}$ đến đường thẳng $\Delta $ [đi qua điểm ${{M}_{o}}$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$] là $d\left[ {{M}_{1}};\Delta \right]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{0}}};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$

Ngoài ra ta còn có thể tìm hình chiếu của điểm ${{M}_{1}}$ trên đường thẳng $\Delta $ và khi đó $d\left[ {{M}_{1}};\Delta \right]={{M}_{1}}H.$

4] Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}$ [đi qua điểm ${{M}_{1}}$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$] và đường thẳng ${{d}_{2}}$ [đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$] là:

Ngoài cách làm trên ta có thể tính $d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]$ như sau:

Gọi [P] là mặt phẳng chứa ${{d}_{2}}$ và song song với ${{d}_{1}}.$ Khi đó [P] xác định, đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].$ Khi đó $d\left[ {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right]=d\left[ {{d}_{1}};[P] \right]=d\left[ {{M}_{1}};[P] \right].$

Bài tập trắc nghiệm khoảng cách trong không gian oxyz có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có: $[ABC]:\frac{x}{2}-\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1$ hay $[ABC]:2x-6y+2z-6=0$

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $[ABC]$ là: $d:\frac{\left| 3.0-6.0+2.0-6 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{[-6]}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{6}{7}$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [P] là $d=\frac{\left| 6.1+3.2+2.3-6 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+9+4}}=\frac{12}{7}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có: $\frac{AM}{BM}=\frac{d[A;[P]]}{d[B;[P]}=\frac{\left| 1-6+4-3 \right|}{\left| 3+2+10-3 \right|}=\frac{1}{3}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Gọi $M[0;0;t]\,\,\,[t>0]$ thuộc tia Oz [phần có cao độ lớn hơn 0] ta có:

$d[M;[P]]=\frac{\left| t+6 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=3\Leftrightarrow \left| t+6 \right|=9\xrightarrow{t>0}t=3.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Gọi $M[0;t;0]\,[t>0]$ [Do M thuộc tia Oy]

Lại có $d[M;[P]]=\frac{\left| 2t+3 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=3\Leftrightarrow \left| 2t+3 \right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=3 \\ & t=-6\,[l] \\ \end{align} \right.$

Vậy $M[0;3;0].$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Lấy điểm $A[0;0;-3]\in [P]\Rightarrow d\left[ [P];[Q] \right]=d\left[ A;[Q] \right]=\frac{\left| 0+2.0-2[-3]-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{[-2]}^{2}}}}=3.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Do $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=4-2-2=0\Rightarrow \Delta //[P]$

Lấy điểm $A[1;-2;1]\in \Delta $ ta có: $d\left[ \Delta ;[P] \right]=d\left[ A;[P] \right]=\frac{\left| 2+4-1+1 \right|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{6}{3}=2.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Lấy điểm $A[0;0;-3]\in [P]\Rightarrow d\left[ [P];[Q] \right]=d\left[ A;[Q] \right]=\frac{\left| 0+2.0-2[-3]+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{[-2]}^{2}}}}=3.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có phương trình mặt phằng [Q] có dạng: $x-2y+2z+D=0$

Khi đó $d\left[ [P];[Q] \right]=\frac{\left| D+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{[-2]}^{2}}+{{2}^{2}}}}=2\Rightarrow \left| D+1 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & D=5 \\ & D=-7 \\ \end{align} \right.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right]=[-7;2;4]$ suy ra $[P]:7x-2y-4z+D=0$

Mặt khác $d\left[ A;[P] \right]=d\left[ C;[P] \right]\Leftrightarrow \left| D-2 \right|=\left| D-1 \right|\Leftrightarrow D=\frac{3}{2}.$

Vậy $[P]:14x-4y-8z+3=0.$

Lời giải chi tiết

a] Ta có: $A[-2;1;-1]\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}=[4;2;2];\overrightarrow{{{u}_{d}}}=[1;2;-2]\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=[-8;10;6]$

Do đó $d[M;d]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{64+100+36}}{\sqrt{9}}=\frac{10\sqrt{2}}{3}.$

b] Ta có: $A[3;3;1]\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}[-2;-3;-1];\overrightarrow{{{u}_{d}}}[1;2;1]\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=[-1;1;-1]$

Do đó $d[M;d]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Lời giải chi tiết

a]Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A[2;0;4]$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=[-3;2;-2]$

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B[1;2;-1]$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=[3;1;2]$

Gọi [P] là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=[6;0;-9]=3[2;0;-3]$

Suy ra $[P]:2x-3z+8=0\Rightarrow d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=d[{{d}_{2}};[P]]=d[B;[P]]=\frac{\left| 13 \right|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}.$

Cách 2: Ta có: $d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| [6;0;-9].[-1;2;-5] \right|}{\sqrt{36+81}}=\sqrt{13}.$

b] Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A[1;0;-1]$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=[1;-2;2]$

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B[2;3;1]$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=[2;-4;-5]$

Gọi [P] là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=[18;9;0]=9[2;1;0]$

Suy ra $[P]:2x+y-2=0\Rightarrow d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=d[{{d}_{2}};[P]]=d[B;[P]]=\sqrt{5}$

Cách 2: Ta có: $d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| 9[2;1;0].[1;3;2] \right|}{9\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có: $A[1;-1;2]\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}=[-4;2;0];\overrightarrow{{{u}_{d}}}=[2;1;1]\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=[2;4;-8]$

Do đó $d[M;d]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{4+16+64}}{\sqrt{6}}=\sqrt{14}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A[1;2;3]$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=[1;2;3]$

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B[1;0;1]$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=[-1;1;1]$

Gọi [P] là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=[-1;-4;3]=-[1;4;-3]$

Suy ra $[P]:x+4y-3z=0\Rightarrow d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=d\left[ {{d}_{2}}[P] \right]=d[B;[P]]=\frac{\left| -2 \right|}{\sqrt{1+16+9}}=\frac{2}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}.$

Cách 2: Ta có: $d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| [-1;-4;3].[0;-2;-2] \right|}{\sqrt{1+16+9}}=\frac{\left| 2 \right|}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Gọi $A[t;0;0]$ suy ra $d[A;[P]]=\frac{2\left| t \right|}{3};d[A;d]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$ trong đó $M[1;0;-2]$

Suy ra $d[A;d]=\frac{\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{16+{{[2t-4]}^{2}}+{{[2-2t]}^{2}}}}{3}=\frac{2\left| t \right|}{3}$

$\Leftrightarrow 36-24t+4{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow t=3.$ ..