Caâu 50 thường thấy trong đề thi đại hcj toán năm 2024
- 1. ĐỀ LUYỆN THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MÔN TOÁN NĂM 2024 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT WORD VERSION | 2023 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Đ Ề L U Y Ệ N T H I T U Y Ể N S I N H L Ớ P 1 0 M Ô N T O Á N Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594 Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group vectorstock.com/28062405
- 2. liệu word toán SĐT [zalo]: 521 Website: Môc lôc Trang PHẦN 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG PHẦN 2 MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC KHI GIẢI TOÁN PHẦN 3 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
- 3. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: PHẦN I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG I. RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Kiến thức: • A xác định 0 ⇔ ≥ A • 2 = A A . • Với 0 A ≥ và 0 B ≥ thì 2 A B A B = • Với 0 A < và 0 B ≥ thì 2 A B A B = − • Với 0 A ≥ và 0 B ≥ thì 2 A B A B = • Với 0 A < và 0 B ≥ thì 2 A B A B = − • Với . 0 A B ≥ và 0 B ≠ thì A AB B B = • Với 0 B > thì A A B B B = • Khử căn thức ở mẫu số: [ ][ ] 2 0, 0 C A B C A B A B A B = ≥ ≠ − ± [ ][ ] 2 , 0, C A B C A B A B A B A B = ≥ ≠ − ± II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình [ ] 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ [1] Biệt thức 2 4 b ac ∆ = − • Nếu 0 ∆ < , phương trình vô ngiệm. • Nếu 0 ∆ = , phương trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a = = − • Nếu 0 ∆ > , thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ; 2 2 b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = 2 ' ' . b a c ∆= − với 2. ' b b = • Nếu ' 0 ∆ < , phương trình vô ngiệm. • Nếu ' 0 ∆ = , phương trình có nghiệm kép 1 2 ' . b x x a = = − • Nếu ' 0 ∆ > , phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ' ' ' ' ; b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = • Nếu 1 2 ; x x là hai nghiệm của phương trình [1] thì theo hệ thức Vi-ét: 1 2 1 2 b x x a c x x a + = − = • Cho phương trình bậc hai: [ ] 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ . ∗ Nếu phương trình có 0 a b c + + = thì phương trình có nghiệm 1 1 x = và 2 c x a = ∗ Nếu phương trình có 0 a b c − + = thì phương trình có nghiệm 1 1 x = − và 2 c x a = − .
- 4. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: • Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương trình: 2 0 X SX P − + =với 2 4 0 S P − ≥ • Phương trình quy về phương trình bậc hai: Các phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình bậc cao [bậc ba trở lên], phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bằng phép biến đổi thích hợp có thể đưa được về phương trình bậc hai dạng của phương trình [1]. Giải phương trình bậc hai này rồi suy ra nghiệm của phương trình đã cho. • Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ' ' ' ax by c a x b y c + = + = có thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình này. • Một số hệ phương trình quy về phương trình bậc hai: Có một số hệ phương trình khi giải ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ để quy việc giải hệ phương trình khi đó về giải một phương trình bậc hai. III. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH • Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình, ta thực hiện theo ba bước sau: Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình gồm: ∗ Chọn ẩn [đơn vị, điều kiện của ẩn]. ∗ Biểu thị các đại lượng chưa biết và đã biết theo ẩn. ∗ Lập phương trình hoặc hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán. Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa tìm được. Bước 3: So sánh, đối chiếu kết quả với điều kiện và kết luận. IV. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ • Hàm số [ 0] y ax b a = + ≠ xác định với mọi x∈ . Trên tập số thực hàm số đồng biến khi 0 a > và nghịch biến khi 0 a < . Đồ thị hàm số [ 0] y ax b a = + ≠ là một đường thẳng có hệ số góc bằng a. Xét hai đường thẳng [ ]: [ 0] d y ax b a = + ≠ và [ ] ' : ' '[ ' 0] d y a x b a = + ≠ có mối tương giao: [ ] [ ] / / ' ' d d a a ⇔ = và '. b b ≠ [ ] [ ] ' ' d d a a ≡ ⇔ = và ' b b = . [ ] d cắt [ ] ' ' d a a ⇔ ≠ . • Hàm số [ ] 2 0 y ax a = ≠ xác định với mọi . x∈ ∗ Với 0 a > hàm số đồng biến khi 0 x > và nghịch biến khi 0 x < . ∗ Với 0 a < hàm số đồng biến khi 0 x < và nghịch biến khi 0. x > • Hàm số [ ] 2 0 y ax a = ≠ là một parabol đi qua gốc tọa độ và nhận trụcOy làm trục đối xứng.
- 5. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: • Cho đường thẳng [ ]: [ 0] d y mx n m = + ≠ và parabol [ ] [ ] 2 : 0 P y ax a = ≠ Xét phương trình hoành độ giao điểm của [ ] d và [ ] P : [ ] 2 2 0 * ax mx n ax mx n = + ⇔ − − = [ ] d không có điểm chung với [ ] P ⇔ phương trình [*] vô nghiệm. [ ] d tiếp xúc với [ ] P ⇔ phương trình [*] có nghiệm kép. [ ] d cắt[ ] P ⇔ phương trình [*] có hai nghiệm phân biệt. V. HÌNH HỌC 1. Hệ thức cơ bản trong tam giác vuông Một tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH [hình 1] Ta có: • 2 . AB BH BC = và 2 . AC CH BC = • 2 . AH HB HC = • . .AC AH BC AB = • 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + • sin ; cos ;tan ;cot AC AB AC AB B B B B BC BC AB AC = = = = • α là góc nhọn thì 2 2 sin cos 1 α α + = • , α β là hai góc nhọn và 90 α β + = ° thì sin cos ;tan cot . α β α β = = 2. Đường tròn • Đường tròn và dây cung: [hình 2] -Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính -Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. -Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. • Tiếp tuyến của đường tròn [hình 3] - AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn [O] tại B và C AB AC = AO là phân giác BAC OA là phân giác BOC
- 6. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: • Vị trí tương đối của hai đường tròn [hình 4] - Hai đường tròn [ ] ; O R và [ ] ', O r với R r ≥ Cắt nhau ' R r OO R r ⇔ − < < + Tiếp xúc ngoài ' OO R r ⇔ =+ Tiếp xúc trong ' OO R r ⇔ =− 3. Các loại góc liên quan đến đường tròn Tên góc Định nghĩa Hình vẽ Công thức tính số đo Góc ở tâm Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm sđ AOB = sđ AmB Góc nội tiếp Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó sđ 1 2 BAC = sđ BC Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung sđ 1 2 BAx = sđ AB Góc có đỉnh ở bên trong đường sđ 2 sd BnC sd AmD BEC + =
- 7. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn sđ 2 sd BC sd AD BEC − = 4. Công thức tính trong đường tròn Hình vẽ Công thức tính Độ dài đường tròn 2 C R π = hay C d π = Độ dài cung tròn 180 Rn l π = Diện tích hình tròn 2 S R π = Diện tích hình quạt 2 360 quat R n S π = hay 2 quat lR S = 5. Chứng minh một tứ giác nội tiếp • Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn [gọi tắt là tứ giác nội tiếp]. • Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. • Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α thì nội tiếp đường tròn. • Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm [mà ta có thể xác định được] thì nội tiếp đường tròn. Điểm đó gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- 8. liệu word toán SĐT [zalo]: 6 Website: • Chứng minh bằng phương pháp phản chứng. VI. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ • 0 a b a b > ⇔ − > • , a b b c a c > > ⇒ > • a b a c b c > ⇔ + > + • a b a c b c > ⇔ − > − • 0 a b a b > > ⇒ > • , 0 a b c ac bc > > ⇒ > • , 0 a b c ac bc > < ⇒ < • 0, 0 a b c d ac bd > > > > ⇒ > • [ ] 0 * n n a b a b n > > ⇒ > ∈ • Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a và b ta có 2 a b ab + ≥ . Dấu đẳng thức xảy ra khi a b = . • Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất: ∗ Để chứng tỏ max [ ] , f x m = ta chứng minh [ ] f x m x ≤ ∀ thuộc tập xác định của [ ] f x đồng thời chỉ ra có ít nhất một giá trị 0 x x = thuộc tập xác định đó sao cho [ ] 0 f x m = . ∗ Để chứng tỏ min [ ] , f x m = ta chứng minh [ ] f x m x ≥ ∀ thuộc tập xác định của [ ] f x đồng thời chỉ ra có ít nhất một giá trị 0 x x = thuộc tập xác định đó sao cho [ ] 0 f x m = .
- 9. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: PHẦN II. MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI KHI GIẢI TOÁN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC I. 5 LỖI THƯỜNG GẶP KHI LÀM BÀI CẦN TRÁNH 1. Kĩ năng trình bày • Một số lỗi trình bày thường gặp: Viết chữ xấu, cẩu thả, viết không rõ ràng dễ gây nhầm lẫn các con số, ký hiệu… Trình bày bài lộn xộn, không mạch lạc, ý tưởng không rõ ràng gây khó hiểu cho giám khảo. • Cách khắc phục: Viết rõ ràng, cẩn thận và sạch sẽ, tránh tẩy xóa. Giải nháp ngoài các bước chính và sắp xếp các bước thực hiện cẩn thận. Trình bày các nội dụng rõ ràng, vẽ hình rõ ràng. 2. Không đọc kĩ đề • Nhiều học sinh đọc thấy đề cảm thấy đề dễ dàng nên không đọc lại đề kỹ và dẫn đến nhầm lẫn các giả thiết, không nắm đầy đủ các yêu cầu của đề bài, chưa hết ý hay thiếu kết luận dẫn đến việc bị trừ điểm thành phần 0,25 hoặc sai đề, lạc hướng. • Cách khắc phục: Hãy ghi nhớ, cho dù bạn có kiến thức tốt và đề thi có dễ dàng so với bạn thì hãy đọc kỹ đề, làm cẩn thận nhằm: Xác định chính xác giả thiết của đề bài, đặt các điều kiện cần thiết. Thực hiện đầy đủ các yêu cầu của đề bài. Nên làm phần kết luận cho từng câu để có thể kiểm tra lại xem mình đã thực hiện hết các yêu cầu của câu hỏi chưa. So sánh các nghiệm với các điều kiện đặt ra. 3. Chép dữ kiện của đề bài vào giấy thi sai • Đôi khi những lỗi do chủ quan như việc chép lại đề bài vào giấy thi bị sai cũng khiến cho bạn có một bài làm sai lệch và không đúng với đề thi và chắc chắn rằng điểm thi của bạn sẽ bị mất trắng. • Cách khắc phục: Dành lại chút thời gian và rà soát lại đề thi đã chép trong tờ giấy thi trước khi sử dụng chúng. Không quên kiểm tra lại kết quả các bước quan trọng nếu như kết quả đó được sử dụng cho nhiều phần khác của bài làm. 4. Lỗi gạch xóa thiếu khoa học • Lỗi thường gặp: Làm quá sát câu sau với câu trước. Gạch bỏ và xóa một cách cẩu thả. Viết chen phần sửa với phần gạch bỏ dẫn tới dễ bị chấm sót. Không đánh số thứ tự câu khi làm bài.
- 10. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: Bỏ trống nhiều chỗ trên giấy thi, làm một câu kéo dài nhiều nơi trong bài làm. Những điều này có thể gây mấy tính thẩm mỹ của bài thi, mất cảm tình của giám khảo, dễ dẫn tới bị chấm sai, chấm sót và cộng điểm thiếu. • Cách khắc phục: Hãy cố gắng tránh gạch xóa trong bài, nếu muốn xóa thì không dùng bút xóa hay gạch bỏ cẩu thả. Hãy dùng thước gạch chéo phần cần bỏ và viết lại phần đúng vào phía dưới bài thi. Không nên viết kế bên và chèn lên trên phần vừa gạch bỏ. Tránh bỏ trống giấy thi quá nhiều [làm từ câu dễ đến khó để tránh việc bỏ đoạn trắng]. 5. Sử dụng ký hiệu tùy tiện, không giới thiệu • Lỗi thường gặp: Sử dụng các ký hiệu mà không phải giải thích trước là ký hiệu gì. Làm bài quá vắn tắt, không giải thích, thiếu lập luận. Làm bài quá dài dòng, viết cả những biến đổi lặt vặt vào bài dẫn tới bài làm bị rối và phức tạp. • Cách khắc phục: Cần đảm bảo yêu cầu là một bài làm toán cũng cần có những lời giải ngắn, đơn giản, dễ hiểu để người đọc có thể hiểu là bạn đang làm như thế nào. Chọn phương pháp giải đơn giản hơn tránh phức tạp và cầu kỳ, mất thời gian. Nên đặt ký hiệu và diễn giải ký hiệu đó ở lần đầu tiên sử dụng. II. MỘT SỐ LỖI SAI TRONG CÁC DẠNG BÀI CẦN TRÁNH DẠNG 1: Tìm x để biểu thức P a ≥ hoặc , , . P a P a P a ≤ > < Ví dụ 1: Cho 2 1 1 x P x − = − với 0, 1. x x ≥ ≠ Tìm x để biểu thức 1. P ≥ • Sai sót 1: 2 1 1 2 1 1 0 0. 1 x x x x x x − ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≥ ⇔ ≥ − • Sai sót 2: 2 1 2 1 1 1 0 1 1 x x x x x − − − + ≥ ⇔ ≥ − − [ ] 0 1 do 0 1. 1 x x x x x ⇔ ≥ ⇔ > ≥ ⇔ > − • Cách giải đúng: 2 1 2 1 1 1 0 1 1 x x x x x − − − + > ⇔ ≥ − − [ ] 0 0 0 1. 1 1 0 0 x x x x x x do x = = ⇔ ≥ ⇔ ⇔ > − − > >
- 11. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: Ví dụ 2: Cho 1 1 x A x − = + với 0, 4. x x ≥ ≠ Tìm x để biểu thức 2 3 A ≤ • Sai sót 1: 2 4 1 4 3 9 9 1 x A A x − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + [ ] [ ] 13 169 9 1 4 1 0 . 5 25 x x x x ⇔ − ≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤ • Sai sót 2: 2 4 1 4 3 9 9 1 x A A x − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + [ ] [ ] 13 169 9 1 4 1 0 . 5 25 x x x x ⇔ − ≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤ Mà 169 0, 4 0 ; 4. 25 x x x x ≥ ≠ ⇒ ≤ ≤ ≠ • Cách giải đúng: Điều kiện để A có nghĩa: 1 0 1 0 1 1 x x x x − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ + [vì 1 0 x x + > ∀ ∈ĐKXĐ] [1] 2 4 1 4 3 9 9 1 x A A x − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + [ ] [ ] 13 169 9 1 4 1 0 5 25 x x x x ⇔ − ≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤ [2] Mà 0, 4 x x ≥ ≠ [3] Từ [ ] [ ] [ ] 169 1 , 2 , 3 1 ; 4 25 x x ⇒ ≤ ≤ ≠ DẠNG 2: Tìm giá trị của tham số để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm. Ví dụ: Biết A x x = + với 0, 1 x x ≥ ≠ . Tìm m để A m = có nghiệm x. • Sai sót: 1 1 4 4 x x m x x m + = ⇔ + + − = 2 1 1 2 4 x m ⇔ + − = Vì 2 2 1 1 1 1 1 0 2 2 4 4 4 x x m + ≥ ⇒ + − ≥ − ⇒ ≥ − • Cách giải đúng: 1 1 4 4 x x m x x m + = ⇔ + + − = 2 1 1 2 4 x m ⇔ + − =
- 12. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: Vì 2 2 1 1 1 1 0 0 0 2 4 2 4 x x x m ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + − ≥ ⇒ ≥ Vì 1 1 2 2 x x x x m ≠ ⇒ ≠ ⇒ + ≠ ⇒ ≠ Vậy 0; 2. m m ≥ ≠ DẠNG 3: Quan hệ giữa đường thẳng và parabol. Ví dụ: Cho đường thẳng [ ] 2 : 2 1 d y x m = + − và parabol[ ] 2 : y x P = [với m là tham số] trong mặt phẳng tọa độ Oxy.[ ] P a] Tìm m để[ ] d cắt [P] tại hai điểm phân biệt A, B. b] Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Tìm m để độ dài đoạn HK bằng 3 [đơn vị độ dài]. Giải: Dễ dàng tìm được 0 m ≠ thì[ ] d cắt[ ] P tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi 1 2 ; x x lần lượt là hoành độ của A,B • Sai sót 1: HK HO OK = + 1 2 1 2 ; HO x OK x HK x x = = ⇒ = + • Sai sót 2: 2 ' m ∆= ⇒ Phương trình có hai nghiệm: 1 2 1 1 x m x m = − = + 2 1 3 1 1 2 3 . 2 HK x x m m m m ⇒ = − = + − + = = ⇒ = • Cách giải đúng: a] Cách 1: 2 ' m ∆= ⇒ Không mất tính tổng quát ta giả sử phương trình có hai nghiệm: 1 2 1 1 x m x m = − = + 2 1 3 1 1 2 3 . 2 HK x x m m m m ⇒ = − = + − + = = ⇒ =± b] Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét: 1 2 2 1 2 2 . 1 x x x x m + = = − + [ ] 2 2 1 2 1 1 2 3 3 4 9 . 2 HK x x x x x x m ⇒ = − =⇒ + − =⇒ = ± Ví dụ 2: Biết 3 1 x x A x + = − với 1 0; 9 x x ≥ ≠ . Tìm m để A m = có nghiệm x. Giải:
- 13. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: [ ] 1 3 0 3 1 x x m x m x m x + = ⇔ + − + = − [1] Đặt 1 0; 3 t x t t = ≥ ≠ [ ] [ ] 2 1 1 3 0 t m t m ⇔ + − + =[2] [ ] 2 1 3 4 m m ∆= − − • Sai sót 1: [1] có nghiệm khi [2] có nghiệm [ ] 2 1 3 4 0 m m ⇒ ∆= − − ≥ [ ][ ] 1 1 9 1 0 9 1 m m m m ≤ ⇒ − − ≥ ⇔ ≥ • Sai sót 2: [1] có nghiệm khi [2] có nghiệm không âm. [ ] 2 1 2 1 2 1 3 4 0 3 1 0 0 m m b t t m a c t t m a ∆= − − ≥ ⇒ + = − = − > = = > [ ][ ] 1 1 9 1 0 9 1 1 3 0 m m m m m m ≤ − − ≥ ⇔ ≥ ⇒ > > 1. m ⇔ ≥ • Cách giải đúng: Vì 1 0 a = ≠ ⇒ [2] luôn là phương trình bậc 2. [ ] [ ][ ] 2 1 3 4 1 9 1 m m m m ∆= − − = − − [1] có nghiệm khi [2] có ít nhất một nghiệm 1 0; 3 t t ≥ ≠ TH1: Phương trình [2] có nghiệm 0 0. t m = ⇔ = TH2: Phương trình [2] có nghiệm kép 1 0; 3 t t ≥ ≠
- 14. liệu word toán SĐT [zalo]: 6 Website: [ ][ ] 1 0 1 9 1 0 9 1 m m m m = ∆= ⇔ − − = ⇔ = Với 1 9 m = phương trình [2] có nghiệm 1 3 t = − [Không TMĐK] Với 1 m = phương trình [2] có nghiệm 1 t = [TMĐK]. TH3: Phương trình [2] có hai nghiệm phân biệt trái dấu trong đó nghiệm dương 2 1 . 3 t ≠ [ ] 2 1 3 4 0 m m ⇒ ∆= − − > [ ][ ] 1 1 9 1 0 9 1 m m m m < ⇔ − − > ⇔ > Tìm nghiệm t theo m rồi đặt điều kiện để nghiệm dương 2 1 . 3 t ≠ DẠNG 4: Tìm m thỏa mãn số nghiệm của phương trình. Ví dụ 1: Cho phương trình 2 2 2 3 0 x mx m m − + − + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x và tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 2 . A x x = + • Sai sót 1: Phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x [ ] 2 2 ' 0 3 0 m m m ⇒ ∆ > ⇔ − − + > 2 2 3 0 3 m m m m ⇔ − + − > ⇔ > • Sai sót 2: Phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x [ ] 2 2 ' 0 3 0 m m m ⇒ ∆ ≥ ⇔ − − + ≥ 2 2 3 0 3 m m m m ⇔ − + − ≥ ⇔ ≥ Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 2 1 2 2 3 x x m x x m m + = = − + [ ] 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A x x x x x x = + = + − [ ] [ ] 2 2 2 1 13 2 2 3 2 2 4 m m m m = − − + = + − Vì 2 2 1 1 13 13 0 2 2 2 4 2 m m + ≥ ⇒ + − ≥ − Vậy min 13 1 2 2 A m = − ⇔ = − • Cách giải đúng:
- 15. liệu word toán SĐT [zalo]: 7 Website: Phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x [ ] 2 2 ' 0 3 0 m m m ⇒ ∆ ≥ ⇔ − − + ≥ 2 2 3 0 3 m m m m ⇔ − + − ≥ ⇔ ≥ Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 2 1 2 2 3 x x m x x m m + = = − + [ ] 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A x x x x x x = + = + − [ ] [ ] 2 2 2 1 13 2 2 3 2 2 4 m m m m = − − + = + − Vì 2 1 49 3 2 4 m m ≥ ⇒ + ≥ 2 1 13 2 18 2 4 m ⇒ + − ≥ Vậy min 18 3. A m = ⇔ =
- 16. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 1 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2006-2007 Câu I. Cho biểu thức: [ ][ ] 3 2 1 1 : . 1 1 1 2 1 a a a a P a a a a a + + + = − + − + − + − 1. Rút gọn P . 2. Tìm a để 1 1 1. 8 a P + − ≥ Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B cách nhau 80km; sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách B 72km. Thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ca nô ngược dòng 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Câu III. Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số 2 3 y x = + và 2 y x = . Gọi D và C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. Câu IV. Cho đường tròn [ ] O đường kính AB = 2R , C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN . 1. Chứng mình tứ giác BCHK nội tiếp. 2. Tính tích AH.AK theo R. 3. Xác định vị trí của điểm K để tổng [ ] KM KN KB + + đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó? Câu V. Cho hai số dương , x y thỏa mãn điều kiện 2 x y + = .Chứng minh: [ ] 2 2 2 2 2. x y x y + ≤
- 17. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1.Rút gọn biểu thức P ĐKXĐ : 0 a > và 1. a ≠ [ ][ ] 3 2 1 1 : 1 1 1 2 1 a a a a P a a a a a + + + ⇒ − + − + − + − [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] 2 1 1 1 1 : 2 1 1 1 1 1 + + + − + + − + − − + + − a a a a a a a a a a a a [ ][ ] [ ][ ] 1 1 1 2 1 : 1 1 1 2 1 1 a a a a a a a a a a a + − + = − = ⋅ − − − + − 1 2 a a + = 2.Ta có: 1 1 1 8 a P + − ≥ 2 1 1 8 1 a a a + ⇔ − ≥ + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 8 1 16 0 8 1 8 1 8 1 a a a a a a + + ⇔ − − ≥ + + + [ ] 16 2 1 8 8 0 8 1 − − − − − ⇔ ≥ + a a a a a [ ] 6 9 0 8 1 a a a − + − ⇔ ≥ + [ ] [ ] 2 3 0 8 1 a a − − ⇔ ≥ + Vì [ ] 2 3 0 a − ≥ và [ ] 8 1 0 a + > a ∀ ∈ĐKXĐ nên để [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 3 3 0 0 8 1 8 1 a a a a − − − ≥ ⇔ ≤ + + [ ] 2 3 0 3 9 a a a ⇒ − = ⇔ = ⇔ = [TMĐK] Vậy với 9 a = thì 1 1 1 8 a P + − ≥
- 18. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: Câu II. Đổi 15 phút 1 4 = giờ. Gọi vận tốc riêng của ca nô là [ ] 4, km/h > x x Vận tốc ca nô khi xuôi dòng [ ] 4 km/h + x . Nên thời gian ca nô xuôi dòng quãng đường 80km là: 80 4 x + [giờ] Vận tốc ca nô khi ngược dòng [ ] 4 km/h − x . Nên thời gian ca nô ngược dòng quãng đường 72km là: 72 4 x − [giờ] Ta có phương trình: 72 1 80 4 4 4 x x − = − + [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] 288 4 4 4 320 4 0 4 4 4 x x x x x x + − − + − − ⇔ = − + [ ][ ] 2 288 1152 16 320 1280 0 4 4 4 x x x x x + − + − + ⇔ = − + 2 32 2448 0 x x ⇒ + − = 2 32 2448 0 x x ⇔ + − = [ ] [ ] 68 36 = − ⇔ = Không TMĐ TMĐK x K x Vậy vận tốc riêng của ca nô là 36 km/h. Câu III. + Hoành độ giao điểm A và B của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: 2 2 3 x x = + 2 2 3 0 x x ⇔ − − = [ ][ ] 3 1 0 x x ⇔ − + = 3 1 x x = ⇔ = − Với 3 9; x y = ⇒ = với 1 1. x y =− ⇒ = Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm số là [ ] 3;9 A và [ ] 1;1 B − + D là hình chiếu của A lên trục hoành nên toạ độ điểm [ ] 3;0 D . C là hình chiếu của B lên trục hoành nên toạ độ điểm [ ] 1;0 C − Vì AD Ox ⊥ và BC Ox ⊥ nên tứ giác ABCD là hình thang vuông.
- 19. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: [ ] [ ] . : 2 ABCD S AD BC OD OC = + + Thay số tìm độ dài các đoạn thẳng: 9 AD = , 1 BC = , 3 OD = , 1 OC = . [ ] [ ] 9 1 . 3 1 : 2 ABCD S = + + 20 ABCD S = [đơn vị diện tích] Câu IV. 1. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp . MN AC ⊥ 90 HCB ⇒ =° 90 AKB = °[góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] Xét tứ giác BCHK có: 90 90 180 HCB AKB + = °+ ° = ° mà hai góc ở vị trí đối nhau. ⇒Tứ giác BCHK nội tiếp. 2. Tính AH.AK theo R. Xét tam giác ACH △ và AKB △ có: [ ] 90 . = = ° ⇒ chung ACH AKB ACH AKB g g CAH △ △ ∽ . . ⇒ = ⇒ = AC AH AH AK AC AB AK AB Mà 1 4 AC R = và 2 2 . . 2 = ⇒ = R AB R AH AK 3. Xác định vị trí của K để [ ]max KM KN KB + +
- 20. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: * Chứng minh BMN △ đều: AOM △ cân tại M [MC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến] Mà = = ⇒ OA OM R AOM △ đều 60 MOA ⇒ =° MBN △ cân tại B vì MC CN BC MN = ⊥ Mặt khác : 1 30 2 MBA MOA = = ° [góc nội tiếp chắn cung MA] 60 MBN ⇒ = ° MBN △ cân tại B lại có 60 MBN = ° nên MBN △ là tam giác đều * Chứng minh KM KB KN + = Trên cạnh NK lấy điểm D sao cho . = KD KB ⇒ KDB △ là tam giác cân mà 1 2 NKB = sđ 60 NB = ° ⇒ KDB △ là tam giác đều ⇒ KB BD = Ta có: DNB KMB = [góc nội tiếp chắn cung KB ] 120 BDN = ° [kề bù với KBD trong KDB △ đều] 120 MKB = ° [góc nội tiếp chắn cung 240°] MBK DBN ⇒ =[tổng các góc trong tam giác bằng 180°] Xét BDN △ và BKM △ có: [ ] [ ] [ ] . . = = ⇒ = = BK BD cmt BDN BKM cmt BDN BKM c g c MB MN △ △ ND MK ⇒ =[2 cạnh tương ứng] 2 KM KN KB KN ⇒ + + = [ ]max 4 KM KN KB R ⇒ + + =khi KN là đường kính ⇒K, O, N thẳng hàng ⇒K là điểm chính giữa cung BM Vậy với K là điểm chính giữa cung BM thì [ ] KM KN KB + + đạt giá trị max 4R . Câu V. Ta có: [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x y x y xy xy x y + = + Áp dụng BĐT Cô-si cho cặp số xy và [ ] 2 2 x y + không âm ta có: [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x xy y xy x y + + + ≤
- 21. liệu word toán SĐT [zalo]: 6 Website: [ ] 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 x xy y x y x y xy + + ⇔ + ≤ [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x y x y x y xy + ⇔ + ≤ Mà [ ] 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy + = ⇒ + ≤ Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số , x y không âm ta có : [ ] 2 2 2 2 x y xy + ≤ = [ ] 2 2 2 2 2 x y x y ⇒ + ≤ [ĐPCM] Vậy với , x y dương thỏa mãn 2 x y + =thì [ ] 2 2 2 2 2. x y x y + ≤
- 22. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 2 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2007-2008 Câu I. Cho biểu thức: 3 6 4 1 1 1 x x P x x x − = + − − − + với 0 x ≥ và 1. ≠ x 1.Rút gọn biểu thức P . 2.Tìm x để 1 . 2 < P Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc lên 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B. Câu III. Cho phương trình 2 0 x bx c + + =. 1. Giải phương trình khi 3 b = − và 2 c = . 2. Tìm , b c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1. Câu IV. Cho đường tròn [ ] ; O R tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B [ E nằm giữa B và H ]. 1. Chứng minh ABE EAH = và ∆ ∆ ABH EAH ∽ . 2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H để 3. = AB R Câu V. Cho đường thẳng [ ] 1 2 y m x = − + . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.
- 23. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1. Rút gọn P ĐKXĐ: 0 x ≥ và 1 x ≠ 3 6 4 1 1 1 x x P x x x − ⇒= + − − − + [ ][ ] 3 6 4 1 1 1 1 − = + − − + − + x x x x x x [ ] [ ] [ ][ ] 1 3 1 6 4 1 1 x x x x x x + + − − + = − + [ ][ ] [ ][ ] 3 3 6 4 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x + + − − + − + = − + − + [ ] [ ][ ] 2 1 1 1 1 1 x x x x x − − = + − + 2. Tìm x để 1 2 P < 1 1 1 2 2 1 x P x − < ⇔ < + 1 1 0 2 1 x x − ⇔ − < + [ ] 2 2 1 0 2 1 x x x − − − ⇔ < + [ ] 3 0 2 1 x x − ⇔ < + Vì [ ] 2 1 0 x + > x ∀ ∈ ĐKXĐ Nên 1 3 0 3 9 2 P x x x < ⇒ − < ⇔ < ⇔ < Kết hợp ĐKXĐ ⇒ 0 9 ≤ < x và 1 x ≠ Vậy 0 9 ≤ < x và 1 x ≠ thì 1 2 P < . Câu II. Đổi 30 phút 1 2 = giờ
- 24. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là [ ] 0;km/h > x x Thời gian đi quãng đường AB dài 24 km là 24 x [giờ] Vận tốc lúc về là [ ] 4 km/h + x nên thời gian đi quãng đường BA là: 24 4 x + [giờ] Ta có phương trình: 24 24 1 4 2 x x − = + [ ] [ ] [ ] 48 4 48 4 0 2 4 x x x x x x + − − + ⇔ = + 2 4 192 0 x x ⇒ + − = [ ][ ] 12 16 0 x x ⇔ − + = [ ] [ ] 12 12 0 16 0 16 = − = ⇔ ⇔ + = = − TMĐK Không TMĐK x x x x Vậy vận tốc của xe đạp lúc đi là 12 km/h. Câu III. 1. Giải phương trình: Thay 3 b = − và 2 c = vào phương trình 2 0 x bx c + + = ta có: 2 3 2 0 x x − + = [ ] 2 3 4.1.2 1 0 ∆ = − − = > ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1 3 1 2 2 x + = = và 2 3 1 1 2 x − = = Vậy { } 1; 2 S = . * Lưu ý: - PT bậc 2 giải theo biệt thức ∆ là phương pháp cơ bản áp dụng cho mọi trường hợp. - Trong PT 2 3 2 0 x x − + = có đặc điểm : [ ] 1 3 2 0 a b c + + = + − + = Theo hệ thức Vi-et: 1 1 x ⇒ = và 2 2 c x a = = - Dùng phương pháp phân tích đa thức nhân tử : 2 3 2 0 x x − + = [ ][ ] 1 2 0 x x ⇔ − − = 1 2 x x = ⇔ = 2. Phương trình: 2 0 ax bx c + + =
- 25. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: Ta có: 2 2 4 4 ∆ = − = − b ac b c Để phương trình có hai nghiệm phân biệt : 2 0 4 0 ∆ > ⇔ − > b c Với 2 4 b c > thì 1 2 c x x a = [theo hệ thức Vi-ét] Ta có: 2 2 2 4 4 2 1 1 1 b b c b b c c c a > > > ⇔ ⇔ < − = = = Vậy với 2 b > hoặc 2 b < − và 1 c = thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1. Câu IV. 1. Chứng minh : ABE EAH = 1 2 ABE = sđ EA [t/c góc nội tiếp] 1 2 HAE = sđ EA [t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung] ABE HAE ⇒ = Xét ∆ABH và ∆EAH có: [ ] [ ] 90 . = ° ⇒ ∆ ∆ = AHB ABH EAH g g ABE HAE cmt ∽ 2. Xét [ ] . . ∆ = ∆ HEC HEA c g c ACE CAE ⇒ =mà [ ] CAE ABE cmt = ACE ABE ⇒ = Mặt khác: 90 ABE CAK + =° 90 ACE CAK ⇒ + =° ⇒ ∆ACK vuông tại K Xét tứ giác AHEK có: 90 EHA AKE = = ° 180 EHA AKE ⇒ + = ° mà 2 góc ở vị trí đối nhau ⇒Tứ giác AHEK nội tiếp. 3. Hạ 3 2 2 ⊥ ⇒ = = = AB R OI AB AI IB Xét ∆AOI vuông tại I có 3 cos 2 AI OAI OA = = 30 60 OAI BAH ⇒ = ° ⇒ = °
- 26. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: ∆AHB vuông tại H có : 1 60 cos 2 AH BAH BAH AB = ° ⇒ = = 1 3 2 2 3 AH R AH R ⇒ = ⇒ = Vậy cần lấy điểm H sao cho độ dài 3 2 R AH = thì 3 AB R = Câu V. * Xét 1 2 m y = ⇒ = ⇒Khoảng cách từ O đến đường thẳng là 2. * Xét 1 m ≠ Gọi [ ] : d y ax b ′ = + là đường thẳng đi qua O và vuông góc với d Vì [ ] 1 1 1 1 1 1 − ′ ⊥ ⇒ − =− ⇔ = = − − d d a m a m m Vì [ ] 0; 0 0 .0 0 O d a b b ′ ∈ ⇒ = + ⇒ = [ ] 1 : 1 d y x m ′ ⇒ = − Ta có [ ] [ ] d d ′ ∩ tại H nên hoành độ điểm H là nghiệm của phương trình: [ ] 1 1 2 1 H H m x x m − + = − [ ] [ ] [ ] 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 H H H m m x m x x m m m − + − − ⇔ − − =− ⇔ =− ⇔ = − − − + [ ] [ ] [ ] 2 2 2 1 1 2 . 1 1 1 1 1 H m y m m m − ⇒ = = − − + − + 2 2 H H OH x y = + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 m m OH m m m − + − + = = − + − + − + Vì [ ] 2 1 1 1 2 m OH − + ≥ ⇒ ≤ . Dấu" " = xảy ra khi 1 m = [loại vì 1 m ≠ ] 2 OH ⇒ < với mọi 1 m ≠ Kết hợp 2 trường hợp ta có 1 m = thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng [ ] 1 2 y m x = − + là lớn nhất.
- 27. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 3 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2008-2009 Câu I. Cho biểu thức: 1 : 1 x x P x x x x = + + + 1. Rút gọn P . 2. Tìm giá trị của P khi 4. = x 3. Tìm x để 13 . 3 = P Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Câu III. Cho parabol [ ] 2 1 : 4 P y x = và đường thẳng [ ]: 1 d y mx = + 1. Chứng minh với mọi giá trị của m đường thẳng [ ] d luôn cắt parabol [ ] P tại hai điểm phân biệt. 2. Gọi A, B là hai giao điểm của [ ] d và [ ] P . Tính diện tích tam giác OAB theo m [O là gốc tọa độ]. Câu IV. Cho đường tròn [ ] O có đường kính 2 AB R = và E là điểm bất kì trên đường tròn đó [E khác A và B]. Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn [ ] O tại điểm thứ hai là K. 1. Chứng minh . ∆ ∆ KAF KEA ∽ 2. Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn [ ] I bán kính IE tiếp xúc với đường tròn [ ] O tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F. 3. Chứng minh / / MN AB , trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường tròn [ ]. I 4. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn [ ] O , với P là giao điểm của NF và AK ; Q là giao điểm của MF và BK. Câu V. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết: [ ] [ ] [ ] [ ] 4 4 2 2 1 3 6 1 3 A x x x x = − + − + − −
- 28. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1. Rút gọn biểu thức P ĐKXĐ: 0 x > 1 : 1 x x P x x x x ⇒ = + + + [ ] [ ] 1 1 1 x x x x x x x + + + = ⋅ + 1 x x x + + = 2. Khi 4 x = [TM ĐKXĐ] thì 4 4 1 7 2 4 P + + = = 3. Tìm x để 13 3 P = 13 1 13 3 3 x x P x + + = ⇔ = 3 3 3 13 0 3 x x x x + + − ⇔ = 3 10 3 0 x x ⇒ − + = [ ][ ] 3 1 3 0 x x ⇔ − − = [ ] [ ] 1 3 1 0 9 3 0 9 = − = ⇔ ⇔ − = = TM ĐKXĐ TM ĐKXĐ x x x x Vậy với 1 9 x = hoặc 9 x = thì 13 . 3 = P Câu II. Gọi số chi tiết máy tháng thứ nhất tổ một sản xuất được là x [ * 900; x x N < ∈ , đơn vị: chi tiết máy] Tháng thứ nhất tổ hai sản xuất được là : 900 x − [chi tiết máy] Tháng thứ hai tổ một sản xuất được : 115 100 x [chi tiết máy] Tháng thứ hai tổ hai sản xuất được : [ ] 110 900 100 x − [chi tiết máy] Ta có phương trình: [ ] 110 900 115 1010 100 100 x x − + =
- 29. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: [ ] 115 110 900 101000 0 100 x x + − − ⇔ = [ ] 5 2000 0 400 ⇔ − = ⇔ = x x TMĐK Tháng thứ nhất tổ hai sản xuất được số chi tiết máy là : 900 400 500 − = [chi tiết máy] Vậy số chi tiết máy tổ một và tổ hai sản xuất được trong tháng thứ nhất lần lượt là: 400 và 500. Câu III. 1. Chứng minh parabol [ ] 2 1 : 4 P y x = luôn cắt đường thẳng [ ]: 1 d y mx = + tại hai điểm phân biệt: Hoành độ giao điểm của đường thẳng [ ] d và parabol [ ] P là nghiệm của phương trình: 2 1 1 4 x mx = + 2 1 1 0 4 x mx ⇔ − − = 2 4 4 0 x mx ⇔ − − = Ta có: [ ] [ ] [ ] 2 2 2 4 4.1. 4 16 16 16 1 ∆ = − − − = + = + m m m Vì 0 ∆ > m ∀ nên phương trình 2 4 4 0 x mx − − =luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy đường thẳng [ ] d luôn cắt parabol [ ] P tại 2 điểm phân biệt. 2. Phương trình hoành độ giao điểm A và B của [ ] d và [ ] P luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi . m Theo hệ thức Vi-ét: 1 2 4 0 c x x a = = − < ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu. ⇒Hai điểm A và B nằm ở hai phía với trục tung. Giải phương trình hoành độ giao điểm A và B của [ ] d và [ ] P từ phần 1 ta có : 2 2 2 2 4 4 1 4 4 1 2 2 1 ; 2 2 1 2 2 + + − + = = + + = = − + A B m m m m x m m x m m gV ⇒ < B A x x Đường thẳng [ ]: 1 d y mx Oy = + ∩ tại [ ] 0;1 I OAB OBI OAI S S S = + 1 1 . . 2 2 B A x OI x OI = + [ ] 1 2 B A x x = + 2 2 1 1 m m m m = − + + + +
- 30. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: 2 2 1 1 m m m m = + − + + + [vì 2 1 m m + > ] 2 2 1 m = + [đơn vị diện tích] Câu IV. 1. Chứng minh ∆ ∆ KAF KEA ∽ KAB KEB = [góc nội tiếp cùng chắn KB ] Mà EK là phân giác AEB AEK KEB KAB AEK ⇒ = ⇒ = Xét ∆KAF và ∆KEA có: [ ] [ ] . = ⇒ ∆ ∆ KAB AEK cmt KAF AEK g g AKF chung ∽ 2. * Đường tròn [ ] ; I IE và đường tròn [ ] ; O OE , , I O E thẳng hàng IE IO OE ⇔ + = IO OE IE ⇒ = − Vậy [ ] ; I IE và [ ] ; O OE tiếp xúc trong tại E. * Chứng minh [ ] ; I IE tiếp xúc với AB tại F. Dễ dàng chứng minh: ∆EIF cân tại I [ I ∈ trung trực của EF ] ∆EOK cân tại [ ] ⇒ = = O EFI EKO OEF Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị / / IF OK ⇒ [dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //] Có: [ ] = = ⇒ = AK KB AEK KEB AK KB ⇒ ∆AKB cân tại K ⇒ ⊥ OK AB Vì / / ⊥ ⇒ ⊥ OK AB IF AB OK IF [ ] ; I IE ⇒ tiếp xúc với AB tại F. 3. 90 AEB = °[góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ] 90 MEN = ° mà MEN là góc nội tiếp đường tròn [ ] ; I IE MN ⇒ là đường kính [ ] ; I IE ⇒ ∆EIN cân tại I Lại có: ∆EOB cân tại O INE OBE ⇒ = mà 2 góc này vị trí đồng vị / / MN AB ⇒ [dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //]
- 31. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: 4. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi ∆KPQ theo R khi E chuyển động trên [ ] O MFE MNE = [góc nội tiếp [ ] I cùng chắn cung ME] AKE ABE = [góc nội tiếp [ ] O cùng chắn cung AE] Mà [ ] = ⇒ = MNE ABE cmt MFE AKE , hai góc này lại ở vị trí đồng vị / / MQ AK ⇒ [dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //] Chứng minh tương tự : / / NP BK Tứ giác PFQK có: / / MQ AK / / NP BK Suy ra tứ giác PFQK là hình bình hành Lại có 90 PKQ = ° [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] ⇒Tứ giác PFQK là hình chữ nhật Ta có: MFA QFB = [đối đỉnh] KAB KBA = [ ∆AKB cân] mà = ⇒ ∆ MFA KAB FQB vuông cân tại Q. Chu vi ∆ = + + KPQ KP PQ KQ Mà PK FQ = [PFQK là hình chữ nhật] và FQ QB = [ ∆BFQ cân tại Q] KPQ P QB QK FK KB FK ⇒ = + + = + Mặt khác : ∆AKB cân tại K⇒K là điểm chính giữa cung AB FK KO ≥ [quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên] KB FK FB KO ⇒ + ≥ + Dấu " " = xảy ra KB FK KB KO ⇔ + = + FK KO ⇔ = ⇔ KE là đường kính [ ] O ⇒E là điểm chín giữa cung AB Ta có: KO R FK R = ⇒ = Áp dụng định lý Pi-ta-go trong ∆KOB vuông cân tại O tính được 2 BK R = ⇒Chu vi ∆KPQ nhỏ nhất [ ] 2 2 1 R R R =+ = + Câu V. [ ] [ ] [ ] [ ] 4 4 2 2 1 3 6 1 3 A x x x x = − + − + − − Đặt 2 x a − = 1 1; 3 1 ⇒ − = + − = − x a x a
- 32. liệu word toán SĐT [zalo]: 6 Website: [ ] [ ] [ ] [ ] 4 4 2 2 1 1 6 1 1 A a a a a = + + − + + − [ ] [ ] [ ] 2 4 2 3 2 4 2 3 2 2 4 1 4 2 4 4 1 4 2 4 6 1 a a a a a a a a a a a = + + + + + + + + − + − + − 4 3 2 4 2 3 2 4 2 4 6 4 1 6 4 6 4 1 6 12 6 a a a a a a a a a a a = + + + + + − − + − + + − + [ ] 4 4 8 8 8 1 a a = + = + Vì [ ] [ ] 4 4 1 1 8 1 8 + ≥ ∀ ⇔ + ≥ a a a Dấu " " = xảy ra khi [ ] 4 4 0 2 0 2 a x x = ⇒ − = ⇔ = . Vậy Min 8 A = khi 2. = x
- 33. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 4 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2009-2010 Câu I. Cho biểu thức: 1 1 4 2 2 = + + − − + x A x x x với 0 x ≥ và 4. ≠ x 1. Rút gọn A. 2. Tính giá trị của A khi 25. = x 2. Tìm x để 1 . 3 = − A Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo? Câu III. Cho phương trình [ẩn x]: [ ] 2 2 2 1 2 0 x m x m − + + + = 1. Giải phương trình đã cho khi 1. = m 2. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2 ; x x thỏa mãn 2 2 1 2 10. + = x x Câu IV. Cho [ ] ; O R và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn [B, C là các tiếp điểm]. 1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2. Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và 2 . . = OE OA R 3. Trên cung nhỏ BC của [ ] ; O R lấy điểm K bất kì [K khác B và C ]. Tiếp tuyến tại K của [ ] ; O R cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4. Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh . + ≥ PM QN MN Câu V. Cho phương trình [ ] 2 2 3 2 1 1 1 2 2 1 . 4 4 2 − + + + = + + + x x x x x x
- 34. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1. Rút gọn biểu thức A. ĐKXĐ: 0 x ≥ và 4 x ≠ 1 1 4 2 2 ⇒ = + + − − + x A x x x [ ][ ] 2 2 2 2 x x x x x + + + − = − + [ ][ ] 2 2 2 x x x x + = − + [ ] [ ][ ] 2 2 2 x x x x + = − + . 2 = − x x 2. Tính giá trị biểu thức A khi 25 x = Thay 25 x = [TM ĐKXĐ] vào biểu thức A ta có: 25 5 . 3 2 25 2 = = = − − x A x 3. Tìm giá trị của x để 1 3 A = − 1 1 3 3 2 x A x = − ⇒ = − − [ ] 3 2 0 3 2 x x x + − ⇔ = − [ ] 4 2 0 3 2 x x − ⇔ = − 4 2 x ⇒ = 1 2 x ⇔ = 1 4 x ⇔ = [TM ĐKXĐ] Vậy với 1 4 x = thì 1 . 3 = − A Câu II. Gọi số áo tổ hai may được trong 1 ngày là x [ * x N ∈ , đơn vị: chiếc áo].
- 35. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: Số áo tổ một may được trong 1 ngày là 10 x + [chiếc áo]. Trong 3 ngày, tổ một may được [ ] 3 10 x + [chiếc áo]. Trong 5 ngày, tổ hai may được 5x [chiếc áo]. Ta có phương trình : [ ] 3 10 5 1310 x x + + = 8 30 1310 x ⇔ + = 160 x ⇔ = [TMĐK]. Trong 1 ngày tổ một may được : 160 10 170 + = [chiếc áo]. Vậy 1 ngày, tổ hai may được 160 chiếc áo và tổ một may được 170 chiếc áo. Câu III. 1. Khi 2 1 4 3 0 m x x = ⇒ − + = Ta có: [ ] 1 4 3 0 a b c + + = + − + = 1 2 1; 3 ⇒ = = = c x x a Vậy với 1 m = thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là 1 1 x = và 2 3. = x 2. Để phương trình [ ] 2 2 2 1 2 0 x m x m − + + + = có 2 nghiệm phân biệt thì ' 0 ∆ > [ ] [ ] 2 2 ' 1 2 ∆ = − + − + m m 2 2 2 1 2 m m m = + + − − 2 1 0 m = − > 1 2 m ⇒ > Ta có: [ ] 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x + = + − Theo hệ thức Vi-et: [ ] 2 1 2 1 2 2 1 ; 2 + = − = + = = + b c x x m x x m a a [ ] [ ] 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 x x m m ⇒ + = + − + [ ] 2 2 4 2 1 2 4 m m m = + + − − 2 2 8 m m = + Theo đề bài: 2 2 1 2 10 x x + = 2 2 8 10 m m ⇒ + = [ ] 2 2 4 5 0 m m ⇔ + − = [ ][ ] 2 5 1 0 m m ⇔ + − =
- 36. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: [ ] [ ] 5 1 = − ⇔ = Không TMĐ TMĐK m K m Vậy với 1 m = thì phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2 ; x x thỏa mãn 2 2 1 2 10. + = x x Câu IV. 1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. Xét tứ giác ABOC có: 90 ABO = ° [tính chất tiếp tuyến] 90 ACO = ° [tính chất tiếp tuyến] 90 90 180 ABO ACO ⇒ + = °+ ° = ° Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ABOC nội tiếp. 2. AB AC = [tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm] ⇒ ∆ABC cân tại A. Mà AO là tia phân giác BAC [t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm] Nên AO là đường cao của ∆ABC hay . ⊥ AO BC Xét ∆ABO vuông ở B có BE là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông 2 . OB OE OA ⇒ = , mà 2 . . = ⇒ = OB R R OE OA 3. PK PB = [tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm]. KQ QC = [tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm]. Xét chu vi ∆ = + + APQ AP AQ QP AP AQ PK KQ = + + + AP PK AQ QC = + + + AB AC = + 2AB = Mà [ ] O cố định, điểm A cố định nên AB không thay đổi. 4. 2 . . 4 ∆ ⇒ = ⇒ = = MP OM MN OMP QNO MP QN ON OM ON QN ∽ 2 4 . MN MP QN ⇒ = 2 . MN MP QN MP NQ = ≤ + [Theo bất đẳng thức Cô-si] Hay MP NQ MN + ≥ [ đpcm]. Câu V. Ta có: [ ] 2 2 3 2 1 1 1 2 2 1 . 4 4 2 − + + + = + + + x x x x x x
- 37. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: [ ] 2 2 3 2 1 1 2 2 2 1 4 4 x x x x x x ⇔ − + + + = + + + [ ] [ ] 2 2 2 1 4 1 4 2 1 2 1 4 x x x x x x ⇔ − + + + = + + + [ ][ ] 2 2 2 4 1 2 4 4 1 2 1 1 x x x x x ⇔ − + + + = + + [ ][ ] [ ] [ ][ ] 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 x x x x x ⇔ + − + + = + + [ ][ ] [ ][ ] 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 x x x x x ⇔ + − + + = + + Ta thấy vế trái của phương trình luôn 0 ≥ với mọi x mà 2 1 0 + > ∀ x x 1 2 1 0 2 x x ⇒ + ≥ ⇔ ≥ − PT: [ ][ ] [ ] [ ][ ] 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 x x x x x + − + + = + + [ ][ ] [ ][ ] 2 2 1 2 1 2 2 1 1 x x x x ⇔ + − + = + + [ ] [ ][ ] 2 2 2 1 2 1 1 x x x ⇔ + = + + [ ][ ] 2 2 1 2 1 1 x x x ⇔ + = + + [ ][ ] 2 2 1 1 1 0 x x ⇔ + + − = [ ] 2 2 1 0 x x ⇔ + = 0 0 1 2 1 0 2 x x x x = = ⇔ ⇔ + = = − Thử lại , ta thấy 0 x = và 1 2 x = − thỏa mãn Kết luận: PT có 2 nghiệm 0 x = ; 1 . 2 = − x
- 38. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 5 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2010-2011 Câu I. Cho biểu thức: 2 3 9 9 3 3 x x x A x x x + = + − − + − với 0 x ≥ và 9. ≠ x 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm giá trị của x để 1 . 3 = A 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Câu III. Cho parabol [ ] 2 : P y x = − và đường thẳng [ ]: 1. = − d y mx 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng [ ] d luôn cắt parabol [ ] P tại hai điểm phân biệt. 2. Gọi 1 2 , x x lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng [ ] d và parabol [ ] P . Tìm giá trị của m để : 2 2 1 2 2 1 1 2 3. + − = x x x x x x Câu IV. Cho đường tròn [ ] O có đường kính 2 AB R = và điểm C thuộc đường tròn đó [C khác A, B]. Lấy điểm D thuộc dây BC [D khác B, C]. Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt BE tại điểm F. 1. Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh . . DA DE DB DC = . 3. Chứng minh CFD OCB = . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn [ ] O . 4. Cho biết DF R = , chứng minh tan 2. = AFB Câu V. Giải phương trình: [ ] 2 2 4 7 4 7. + + = + + x x x x
- 39. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1. Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: 0 x ≥ và 9. ≠ x 2 3 9 9 3 3 x x x A x x x + ⇒ = + − − + − [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] 3 2 3 3 9 3 2 6 3 9 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x x − + + − − − + + − − = + − + − [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] 3 3 3 9 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x − − = = + − + − + 2. Tìm x để 1 . 3 = A Ta có [ ] 1 3 1 3 3 3 A x = ⇔ = + [ ] 3 1 0 3 3 x ⇔ − = + [ ] 9 3 0 3 3 x x − − ⇔ = + 6 x ⇒ = 36 x ⇔ = [TM ĐKXĐ] 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Vì 3 3 + ≥ ∀ ∈ x x ĐKXĐ [ ] 3 1 3 x ⇔ ≤ + Dấu " " = xảy ra 0 0 x x ⇔ = ⇔ = Vậy max 1 A = khi 0 x = . Câu II. Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x [ 0 x > , đơn vị: m] ⇒ Chiều dài hình chữ nhật là 7 x + [m]. Vì đường chéo là 13m nên ta có phương trình: [ ] 2 2 2 7 13 x x + + =
- 40. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: 2 2 14 49 169 x x x ⇔ + + + = 2 7 60 0 x x ⇔ + − = [ ][ ] 12 5 0 x x ⇔ + − = [ ] [ ] 12 5 = − ⇔ = x Không TMĐK x TMĐK Chiều dài của hình chữ nhật là 5 7 12 + = [m] Vậy chiều rộng và chiều dài hình chữ nhật đó lần lượt là 5m và 12m. Câu III. 1. Chứng minh [ ] d luôn cắt [ ] P tại 2 điểm phân biệt với mọi m. Hoành độ giao điểm của [ ] d và [ ] P là nghiệm của phương trình: 2 1 mx x − = − 2 1 0 x mx ⇔ + − = Ta có: 2 4 0 ∆ = + > ∀ m m ⇒ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy [ ] P luôn cắt [ ] d tại 2 điểm phân biệt. 2. Vì 1 2 ; x x là nghiệm của phương trình 2 1 0 x mx + − = Theo hệ thức Vi-ét: 1 2 1 2 . 1 − + = = − = = − b x x m a c x x a Ta có: 2 2 1 2 2 1 1 2 3 x x x x x x + − = [ ] 1 2 1 2 1 3 x x x x ⇔ + − = [ ] 1. 1 3 m ⇔ − − − = 1 3 m ⇔ + = 2 m ⇔ = Vậy với 2 m = thì [ ] P cắt [ ] d tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn : 2 2 1 2 2 1 1 2 3. + − = x x x x x x Câu IV. 1. Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. 90 ACB AEB = = ° [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] Tứ giác FCDE có: 180 FCD FED + = ° Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên ⇒Tứ giác FCDE là tứ giác nội tiếp.
- 41. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: 2. Chứng minh . . . = DA DE DB DC Xét ∆ACD và ∆BED có: [ ] [ ] . . 90 ∆ ∆ = = ° = ACD BED g g đ đ ACD BED ADC BDE ∽ . . AD BD AD ED CD BD CD ED ⇒ = ⇒ = [đpcm] 3 . * Chứng minh CFD OCB = Vì tứ giác FCDE là tứ giác nội tiếp [ ] I nên CFD CEA = [góc nội tiếp [ ] I cùng chắn cung CD] Mà CED CBA = [góc nội tiếp [ ] O cùng chắn cung CA] CFD CBA ⇒ = Lại có ∆OCB cân tại O nên CBA OCB = [ ] 1 ⇒ = CFD OCB ∆ICF cân tại I : [ ] 2 = CFD ICF Từ [ ] 1 và [ ] 2 ICF OCB ⇒ = * Chứng minh IC là tiếp tuyến [ ] O : Ta có: 90 ICF ICB + = ° [vì DIC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] 90 OCB BCI ⇒ + = ° ⇒ ⊥ ⇒ OC CI IC là tiếp tuyến của [ ] O 4. Ta có 2 tam giác vuông [ ] . ∆ICO FEA g g ∽ 1 2 CAE COE COI = = [góc nội tiếp chắn CE ] CIO AFB ⇒ = Mà tan 2 2 CO R CIO R CI = = = tan tan 2 AFB CIO ⇒ = = Câu V. Ta có: [ ] 2 2 4 7 4 7 x x x x + + = + + Đặt [ ] 2 7 0 + = > x t t
- 42. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: Phương trình đã cho trở thành: [ ] 2 4 4 t x x t + = + [ ] 2 4 4 0 t x t x ⇔ − + + = [ ][ ] 4 0 t x t ⇔ − − = 4 t x t = ⇔ = Với 2 2 : 7 7 0 = + = ⇔ = t x x x [vô lí] Với 2 2 4: 7 16 9 3 = + = ⇔ = ⇔ = ± t x x x Vậy 3. = ± x
- 43. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 6 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2011-2012 Câu I. Cho biểu thức: 10 5 25 5 5 x x A x x x = − − − − + với 0 x ≥ và 25. ≠ x 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm giá trị của A khi 9. = x 2. Tìm x để 1 . 3 < A Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Câu III. Cho parabol [ ] 2 : P y x = và đường thẳng [ ] 2 : 2 9. = − + d y x m 1. Tìm tọa độ các giao điểm của parabol [ ] P với đường thẳng [ ] d khi 1. = m 2. Tìm m để đường thẳng [ ] d cắt parabol [ ] P tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Câu IV. Cho đường tròn [ ] O , đường kính 2 AB R = . Gọi 1 d và 2 d là hai tiếp tuyến của đường tròn [ ] O [E không trùng với A và B]. Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng 1 d và 2 d lần lượt tại M, N. 1. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh ENI EBI = và 90 . = ° MIN 3. Chứng minh . . AM BN AI BI = . 4. Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn [ ] O . Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. Câu V. Với 0 x > , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 1 4 3 2011. 4 = − + + M x x x
- 44. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1. Rút gọn A. ĐKXĐ: 0 x ≥ và 25. ≠ x 10 5 25 5 5 x x A x x x ⇒ = − − − − + [ ] [ ] [ ][ ] 5 10 5 5 5 5 x x x x x x + − − − = + − [ ][ ] 5 10 5 25 5 5 x x x x x x + − − + = + − [ ][ ] 10 25 5 5 5 5 x x x x x x − + − = + + − 2. Thay 9 x = [TMĐK] vào A ta có: 9 5 2 1 . 8 4 9 5 − − − = = = + A 3. Tìm x để 1 3 A < 1 5 1 3 3 5 x A x − < ⇔ < + 5 1 0 3 5 x x − ⇔ − < + [ ] 3 15 5 0 3 5 x x x − − − ⇔ < + [ ] 0 2 20 3 5 x x < − ⇔ + Vì 5 0 + > ∀ ∈ x x ĐKXĐ Nên 1 2 20 0 10 100 3 A x x x < ⇒ − < ⇔ < ⇔ < Kết hợp ĐKXĐ 0 100 x ≤ ≤ và 25. ≠ x Vậy với0 100 x ≤ ≤ và 25 x ≠ thì 1 3 A < . Câu II. Gọi số ngày theo kế hoạch đội xe chở hết hàng là x [ * , 1, ∈ > x N x đơn vị: ngày]. Theo kế hoạch mỗi ngày chở được số tấn hàng là 140 x [tấn].
- 45. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: Thời gian thực tế đội chở hết hàng là 1 x − [ngày]. Theo đề bài ta có: [ ] 140 5 1 140 10 x x + − = + 140 140 5 5 150 x x ⇔ − + − = 2 5 15 140 0 x x ⇔ − − = 2 3 28 0 x x ⇔ − − = [ ][ ] [ ] [ ] 7 7 4 0 4 = ⇔ − + = ⇔ = − x x x x TMĐK Không TMĐK Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày. Câu III. 1. Hoành độ giao điểm của [ ] P và [ ] d là nghiệm của phương trình: 2 2 2 9 x x m = − + [ ] 2 2 2 9 0 1 ⇔ − + − = x x m Với 2 1 2 8 0 m x x = ⇒ − − = [ ][ ] 2 2 4 0 4 x x x x = − ⇔ + − = ⇔ = Với 2 4 x y = − ⇒ = Với 4 16 x y = ⇒ = Vậy tọa độ giao điểm của [ ] P và [ ] d khi 2 m = là [ ] 2;4 − và [ ] 4;16 . 2. Để [ ] d cắt [ ] P tại hai điểm nằm về 2 phía trục tung thì phương trình [1] phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 2 . 9 0 a c m ⇒ = − < 2 9 3 m m ⇔ < ⇔ < 3 3 m ⇔ − < < Vậy với 3 3 m − < < thì [ ] d cắt [ ] P tại hai điểm nằm về hai phía trục tung. * Ghi nhớ kiến thức: Dạng toán tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng dấu −khác dấu −cùng âm − cùng dương. - Để làm dạng toán này trước tiên cần chú ý tới điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 2 ; 0. ⇒ ∆ ≥ x x Hai nghiệm cùng dấu: 1 2 0 0 ∆ ≥ > x x Hai nghiệm cùng [ ] + thêm điều kiện 1 2 0 x x + ≥ Hai nghiệm cùng [ ] − thêm điều kiện 1 2 0 x x + < Hai nghiệm trái dấu : . 0 a c < [không cần thêm điều kiện của ∆ nữa].
- 46. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: Câu IV. 1. Chứng minh AMEI nội tiếp. Xét tứ giác AMEI có: 90 90 180 MAI MEI + = ° + ° = ° mà 2 góc này ở vị trí đối nhau ⇒Tứ giác AMEI nội tiếp. 2. * Chứng minh ENI EBI = . Xét tứ giác ENBI có: 90 90 180 IEN IBN + = ° + ° = °mà 2 góc này ở vị trí đối nhau. ⇒Tứ giác ENBI nội tiếp. ENI EBI ⇒ =[2 góc nội tiếp cùng chắn cung EI ] * Chứng minh 90 MIN = ° Tứ giác ENBI nội tiếp nên EMI EAI = [2 góc nội tiếp cùng chắn cung EI]. Lại có: 90 90 AEB EAI EBI = ° ⇒ + = ° 90 ⇒ + = ° ⇒ ∆ EMI ENI MNI vuông tại I. Vậy 90 MIN = °. 3. Chứng minh . . AM BN AI BI = . Xét ∆AMI và ∆BNI có: 90 MAI NBI = = ° AIM BNI = [cùng phụ với góc BIN ] [ ] . ⇒ ∆ ∆ AMI BIN g g ∽ . . AM BI AM BN AI BI AI BN ⇒ = ⇒ = 4. Ta có hình vẽ Khi E, I, F thẳng hàng 1 2 AEF = sđ 45 AF = ° 45 AMI AEI = = ° [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI ] ⇒ ∆MAI vuông cân tại A. 2 2 2 2 2 2 4 4 2 R R R R AM AI MI AM AI ⇒ = = ⇒ = + = + = [Định lí Pi-ta-go]. Chứng minh tương tự: ∆BIN vuông cân tại B. 2 2 2 2 3 9 9 3 2 4 16 16 2 R R R R BI BN IN BI BN ⇒ = = ⇒ = + = + = 2 1 1 2 3 2 3 . 2 2 2 2 4 MIN R R R S MI NI = = ⋅ ⋅ = [đơn vị diện tích]. Câu V. Ta có: 2 1 4 3 2011 4 M x x x = − + + 2 1 4 4 1 2010 4 x x x x = − + + + + [ ] 2 1 2 1 2010 4 x x x = − + + + Vì [ ] 2 2 1 0 x − ≥
- 47. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: Và 1 0 0 4 x x > ⇒ > Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có: 1 1 1 2 2 1 4 4 2 x x x x + ≥ ⋅ = ⋅ = [ ] 2 1 2 1 2010 0 1 2010 2011 4 M x x x ⇒ = − + + + ≥ + + = 2011 M ⇒ ≥ 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 1 1 2 1 4 4 2 0 0 2 0 = = − = = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ = = − > > > x x x x x x x x x x x x min 2011 M = đạt được khi 1 . 2 = x
- 48. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 7 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2012-2013 Câu I. 1. Cho biểu thức: 4 2 x A x + = + . Tính giá trị của biểu thức A khi 36. = x 2. Rút gọn biểu thức 4 16 : 4 4 2 x x B x x x + = + + − + với 0 x ≥ và 16. ≠ x 3. Với các biểu thức A và B nói trên , hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức [ ] 1 B A− là số nguyên. Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai người cùng làm chung một công việc trong 12 5 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Câu III. 1. Giải hệ phương trình 2 1 2 6 2 1 + = − = x y x y 2. Cho phương trình [ ] 2 2 4 1 3 2 0 x m x m m − − + − = [ẩn x]. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn điều kiện 2 2 1 2 7. + = x x Câu IV. Cho đường tròn [ ] ; O R , đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC [M khác A và C] , BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1. Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh . = ACM ACK 3. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho . = BE AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C. 4. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn [ ] O tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . AP MB R MA = . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK. Câu V. Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện 2 x y ≥ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
- 49. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: 2 2 . + = x y M xy
- 50. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1. Tính giá trị của biểu thức A khi 36. = x ĐKXĐ: 0 x ≥ Thay 36 x = [TMĐK] vào A ta có: 4 36 4 10 5 . 8 4 2 36 2 + + = = = = + + x A x 2. Rút gọn biểu thức B. ĐKXĐ: 0 x ≥ ; 16 x ≠ và 4 x ≠ 4 16 : 4 4 2 x x B x x x + ⇒ = + + − + [ ] [ ] [ ][ ] 4 4 4 2 . 16 4 4 x x x x x x x − + + + = + − + [ ][ ] [ ][ ][ ] 4 4 16 2 16 4 4 x x x x x x x − + + + = + + − 2 . 16 + = − x x 3. Tìm x nguyên để [ ] . 1 B A − là 1 số nguyên. [ ] 2 4 1 . 1 16 2 x x B A x x + + − = − − + 2 4 2 . 16 2 x x x x x + + − − = − + 2 2 . 16 2 x x x + = − + 2 16 x = − Với x Z ∈ , để [ ] . 1 B A Z − ∈ thì [ ] { } 2 16 1; 2 x U − ∈ = ± ± Ta có bảng giá trị: 16 x − -2 -1 1 2 x 14 15 17 18 x Z ∈ TM TM TM TM Vậy với { } 14;15;17;18 x ∈ thì [ ] . 1 B A − là một số nguyên.
- 51. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: Câu II. Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc là x [ 12 5 x > , đơn vị: giờ] Thời gian người thứ hai hoàn thành công việc là 2 x + [giờ] Trong 1 giờ người thứ nhất làm được 1 x [công việc]. Trong 1 giờ người thứ hai làm được 1 2 x + [công việc]. Trong 1 giờ cả hai người cùng làm được 5 12 [công việc]. Ta có phương trình : 1 1 5 2 12 x x + = + [ ] [ ] 12 24 12 5 2 0 12 2 x x x x x + + − + ⇔ = + 2 5 14 24 0 x x ⇒ − − = [ ][ ] 4 5 6 0 x x ⇔ − + = [ ] [ ] 4 6 5 = = ⇔ − TMĐK Không TMĐK x x Người thứ hai hoàn thành công việc trong số giờ là: 4 2 6 + = [giờ]. Vậy người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc trong 4 giờ và 6 giờ. Câu III. 1. Giải hệ phương trình: 2 1 2 6 2 1 x y x y + = − = ĐKXĐ: ; 0 x y ≠ 4 2 10 4 2 5 2 2 6 2 3 1 6 2 1 1 1 x x x y x y y x y x y + = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − = = − = − = [TMĐK] Vậy hệ đã cho có nghiệm [ ] [ ] ; 2;1 x y = . 2. Tìm m để phương trình [ ] 2 2 4 1 3 2 0 x m x m m − − + − = có 2 nghiệm 1 2 ; x x thỏa mãn 2 2 1 2 7. + = x x Ta có: [ ] [ ] 2 2 4 1 4.1. 3 2 ∆ = − − − − m m m
- 52. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: 2 2 16 8 1 12 8 m m m m = − + − + 2 4 1 0 = + > ∀ m m ⇒ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-et: 1 2 2 1 1 4 1 . 3 2 b x x m a c x x m m a − + = = − = = − Ta có: 2 2 1 2 7 x x + = [ ] 2 1 2 1 2 2 7 x x x x ⇔ + − = [ ] [ ] 2 2 4 1 2. 3 2 7 m m m ⇔ − − − = 2 2 16 8 1 6 4 7 0 m m m m ⇔ − + − + − = 2 10 4 6 0 m m ⇔ − − = 2 5 2 3 0 m m ⇔ − − = [ ][ ] 1 1 5 3 0 3 5 = ⇔ − + = ⇒ − = m m m m Vậy 1 m = hoặc 3 5 m − = thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 2 2 1 2 7. + = x x Câu IV. 1. Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp: Xét tứ giác CBKH ta có: 90 BKH = ° 90 HCB = ° [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] 180 BKH HCB ⇒ + = ° Mà hai góc này ở bị trí đối nhau. ⇒Tứ giác CBKH nội tiếp. 2. Chứng minh ACM ACK = Tứ giác CBKH nội tiếp nên = HCK HBK [2 góc nội tiếp cùng chắn cung HK] Tứ giác MCBA nội tiếp [ ] O nên : MCA HBK = [2 góc nội tiếp cùng chắn cung MA] HCK MCA ⇒ =
- 53. liệu word toán SĐT [zalo]: 6 Website: ACM ACK ⇒ =[đpcm] 3. Chứng minh ∆ECM vuông cân tại C. Vì ⊥ CO AB nên CO là đường trung trực của AB CA CB ⇒ = Xét ∆AMC và ∆BEC có: MAC MBC = [hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC] [ ] = MA BE gt [ ] = CA CB cmt [ ] . . ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = AMC BEC c g c MCA ECB [2 góc tương ứng] và CM CE = [2 cạnh tương ứng] Mặt khác : 90 ECB EAC BCA + = =° 90 ⇒ + =° MCA ECA Xét ∆EMC có: 90 = ° ⇒ ∆ = MCE ECM CM CE vuông cân tại C [đpcm]. 4. Chứng minh PB đi qua trung điểm của HK. Theo đề bài: . AP MB AP R BO R MA AM MB BM =⇔ = = Mà 1 2 PAM = sđ AM [t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung] 1 2 MBA = sđ AM [t/c góc nội tiếp chắn cung AM] [ ] . . ⇒ = ⇒ ∆ ∆ PAM MBA PAM OMB c g c ∽ [Hệ quả] 1 PA OB PA PM PM OM ⇒ = =⇒ = Vậy cần lấy điểm P d ∈ sao cho PA PM = [1] Gọi N là giao điểm của PB và HK, Q là giao điểm của BM với d Xét ∆QMA vuông tại M có: = ⇒ ∆ PA PM PMA cân tại P PAM PMA ⇒ = 90 PMA PMQ + = ° 90 PAM PQM + = ° ⇒ = ⇒ ∆ PMQ PQM PMQ cân tại P PM PQ ⇒ =[2] Từ [1] và [2] PM PA PQ ⇒ = = Vì // AQ HK [cùng vuông góc AB] nên:
- 54. liệu word toán SĐT [zalo]: 7 Website: NK BN PA BP = [Định lí Ta-let trong ∆ABP ] BN NH BP PQ = [Định lí Ta-let trong ∆PBQ ] NK NH PA PQ ⇒ = mà [ ] = ⇒= PA PQ cmt NK NH ⇒N là trung điểm của HK. Vậy với P d ∈ mà . AP MB R MA = thì PB đi qua trung điểm của HK. Câu V. Tìm GTNN của 2 2 x y M xy + = Ta có 2 2 3 4 4 x y x y x y x M xy y x y x y + = = + = + + Vì , x y là các số dương nên 4 x y và y x dương. Áp dụng BDT Cô-si cho 2 số dương 4 x y và y x ta có: 2 . 1 4 4 x y x y y y x y x + ≥ = Lại có 3 3 2 3 2 . . 4 4 2 x y x y y y ≥ ⇒ ≥ = 3 5 1 2 2 M ⇒ ≥ + = Dấu " " = xảy ra 4 2 , 0 x y y x x y x y = ⇔ ⇔ = > Vậy giá trị nhỏ nhất của 5 2 M = khi và chỉ khi 2 . = x y
- 55. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 8 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2013-2014 Câu I. Với 0 x > , cho hai biểu thức 2 x A x + = và 1 2 1 x x B x x x − + = + + 1. Tính giá trị biểu thức A khi 64. x = 2. Rút gọn biểu thức B. 3. Tính x để 3 . 2 A B > Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình : Quãng đường từ A đến B dài 90km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B , người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9km/h . Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B. Câu III. 1. Giải hệ phương trình [ ] [ ] [ ] [ ] 3 1 2 2 4 4 1 2 9 x x y x x y + + + = + − + = 2. Cho parabol [ ] 2 1 : 2 P y x = và đường thẳng [ ] 2 1 : 1. 2 d y mx m m = − + + a. Với 1 m = , xác định tọa độ giao điểm A, B của [ ] d và [ ]. P b. Tìm các giá trị của m để [ ] d cắt [ ] P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x sao cho : 1 2 2. x x − = Câu IV. Cho đường tròn [ ] O và điểm A nằm bên ngoài [ ] O . Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn [ ] O . Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn [ ] O tại hai điểm B và C [ AB AC < , d không đi qua tâm O]. 1. Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp. 2. Chứng minh 2 . AN AB AC = . Tính độ dài đoạn thẳng BC khi 4 AB cm = , 6 . AN cm = 3. Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn [ ] O tại điểm thứ hai T. Chứng minh : // MT AC . 4. Hai tiếp tuyến của đường tròn [ ] O tại B và C cắt nhau tại K . Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đầu bài. Câu V. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 6 a b c ab bc ca abc + + + + + = . Chứng minh : 2 2 2 1 1 1 3. a b c + + ≥
- 56. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1. ĐKXĐ: 0 x > Với 64 x = [TMĐK], thay vào A ta có : 2 64 2 8 5 8 4 64 A + + = = = 2. Rút gọn biểu thức B. ĐKXĐ: 0 x > 1 2 1 x x B x x x − + = + + [ ] 1 2 1 1 x x x x x − + = + + [ ][ ] [ ] 1 1 2 1 1 x x x x x − + + + = + [ ] [ ] [ ] 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x + − + + + = = + + + 3. Tìm x để 3 2 A B > ĐKXĐ: 0 x > Ta có: 2 2 1 : 1 A x x x B x x x + + + = = + Để 3 1 3 1 3 0 2 2 2 A x x B x x + + > ⇔ > ⇔ − > [ ] 2 1 3 2 0 0 2 2 x x x x x + − − + ⇔ > ⇔ > Vì 0 2 0 x x > ⇒ > nên để 2 0 2 x x − + > thì 2 0 2 4 x x x − + > ⇔ < ⇔ < Kết hợp với ĐKXĐ: 0 4 x < < Vậy với 0 4 x < < thì 3 . 2 A B > Câu II. Gọi vận tốc của xe máy đi từ A đến B là [ ] 0, km/h . x x > Thời gian xe máy đi từ A đến B là : 90 x [giờ]
- 57. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: Thời gian xe máy nghỉ tại B là: 30 phút 1 2 = giờ. Vận tốc của xe máy đi từ B về A là : [ ] 90 km/h x + . Thời gian xe máy đi từ B về A là: 90 9 x + [giờ]. Vì tổng thời gian xe máy lúc đi từ A đến lúc về A là 5 giờ nên ta có phương trình: 90 1 90 5 2 9 x x + + = + [ ] [ ] [ ] [ ] 180 9 9 180 10 9 0 2 9 x x x x x x x x + + + + − + ⇔ = + [ ] 2 2 180 1620 9 180 10 90 0 2 9 x x x x x x x x + + + + − − ⇔ = + 2 9 279 1620 0 x x ⇒ − + + = [ ][ ] 9 36 5 0 x x ⇔ − + = [ ] [ ] 6 3 5 TMĐK K x x hông TMĐK = − ⇔ = Vậy vận tốc của xe máy khi đi từ A đến B là 36 km/h. Câu III. 1. Giải hệ phương trình: [ ] [ ] [ ] [ ] 3 1 2 2 4 5 4 1 3 2 5 4 1 2 9 x x y x y x y x x y + + + = + = ⇔ − = + − + = 5 4 1 11 11 1 6 4 10 5 4 1 1 x y x x x y x y y + = = = ⇔ ⇔ ⇔ − = + = = − Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [ ] 1; 1 . − 2. Hoành độ giao điểm của [ ] d và [ ] P là nghiệm của phương trình: 2 2 1 1 1 2 2 x mx m m = − + + 2 2 2 2 2 0 x mx m m ⇔ − + − − = [1] a. Với 1 m = : Phương trình [1]: 2 2 3 0 x x ⇔ − − = [ ][ ] 1 3 0 x x ⇔ + − = 1 3 x x = − ⇔ =
- 58. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: Với 1 x = − thì 1 2 y = ; với 3 x = thì 9 . 2 y = Vậy tọa độ giao điểm của [ ] d và [ ] P là 1 9 1; ; 3; . 2 2 A B − b. Để [ ] d và [ ] P cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt thì [ ] [ ] 2 2 0 2 4 2 2 m m m ∆ > ⇒ ∆ = − − − − 2 2 4 4 8 8 m m m = − + + 8 8 0 m = + > 1 m ⇔ > − Với 1 m > − , hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét : 1 2 2 1 2 2 2 2 b x x m a c x x m m a + = − = = = − − Ta có: 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 x x x x x x − = ⇔ + − = [ ] 2 1 2 1 2 4 4 x x x x ⇔ + − = [ ] [ ] 2 2 2 4 2 2 4 m m m ⇔ − − − = 8 8 4 m ⇔ + = 1 2 m ⇔ = − [TMĐK] Vậy với 1 2 m = − thì [ ] d và [ ] P cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 ; x x thỏa mãn 1 2 2 x x − = Câu IV. 1. Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp. Ta có AM OM ⊥ [ AM là tiếp tuyến của [ ] O ] 90 OMA ⇒ =° AN ON ⊥ [AN là tiếp tuyến của [ ] O ] 90 ONA ⇒ =° Xét tứ giác AMON có: 90 90 180 OMA ONA + = °+ ° = ° Mà hai góc này ở vị trí đối nhau ⇒tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp [dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp]. 2. Chứng minh 2 . AN AB AC = . Tính độ dài đoạn thẳng BC khi 4cm; 6cm. AB AN = =
- 59. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: Xét [ ] : O ANB BCN = [góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BN]. Xét ANB ∆ và ACN ∆ : CAN chung [ ] ANB BCN cmt = [ ] . ANB ACN g g ⇒ ∆ ∆ ∽ AN AB AC AN ⇒ = [tính chất hai tam giác đồng dạng]. 2 . AN AB AC ⇒ = [đpcm]. * Tính độ dài đoạn thẳng BC khi 4cm; 6cm. AB AN = = Ta có [ ] 2 . AN AB AC cmt = mà 4cm; 6cm AB AN = = nên : [ ] 2 4. 6 9 cm AC AC = ⇔ = mà AB BC AC + = nên 5cm. BC = 3. Chứng minh // . MT AC Xét [ ] O : I là trung điểm của dây BC OI BC ⇒ ⊥ [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây] Tứ giác OINA nội tiếp vì 90 ANO AIO = = ° mà hai góc cùng nhìn cạnh AO [1] AIN AON ⇒ = [hai góc nội tiếp cùng chắn AN ] AM, AN là hai tiếp tuyến [ ] O cắt nhau tại A. OA ⇒ là phân giác MON [t/c hai tiếp tuyến cắt nhau] 1 2 AON MON ⇒ = Mà 1 2 MTN MON = [góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MN]. MTN AON ⇒ =[2] Từ [1] và [2] ta có: MTN AIN = mà hai góc này ở vị trí đồng vị // MT AC ⇒ [dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song]. 4. Hai tiếp tuyến [ ] O tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề bài. * MN cắt OA tại E. Ta chứng minh được MN OA EM OA ⊥ ⇒ ⊥ Ta chứng minh được [ ] 2 2 2 . . OI OK OE OA OB OM R = = = = Từ đó chứng minh được [ ] . . OEK OIA c g c ∆ ∆ ∽
- 60. liệu word toán SĐT [zalo]: 6 Website: 90 OEK OIA ⇒ = =° EK OA ⇒ ⊥ mà EM OA EM ⊥ ⇒ trùng EK. K thuộc MN cố định [đpcm]. Câu V. Ta có 6 a b c ab ac ca abc + + + + + = 1 1 1 1 1 1 6 bc ac ab a b c ⇔ + + + + + = Mặt khác: 2 2 1 1 2 1 0 1 0 a a a − ≥ ⇔ − + ≥ [1] 2 2 1 1 2 1 0 1 0 b b b − ≥ ⇔ − + ≥ [2] 2 2 1 1 2 1 0 1 0 c c c − ≥ ⇔ − + ≥ [3] 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0 a b a ab b − ≥ ⇔ − + ≥ [4] 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0 b c b bc c − ≥ ⇔ − + ≥ [5] 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0 c a c ac a − ≥ ⇔ − + ≥ [6] Từ [1], [2], [3], [4] , [5], [6] ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 0 a b c bc ac ab a b c + + − + + + + + + ≥ 2 2 2 1 1 1 3 2.6 3 0 a b c ⇔ + + − + ≥ 2 2 2 1 1 1 3 a b c ⇔ + + ≥ Dấu " " = xảy ra khi 1. a b c = = =
- 61. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 9 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2014-2015 Câu I. 1. Tính giá trị biểu thức : 1 1 x A x + = − khi 9. x = 2. Cho biểu thức : 2 1 1 . 2 2 1 x x P x x x x − + = + + + − với 0; 1. x x > ≠ a. Chứng minh : 1 . x P x + = b. Tìm giá trị của x để 2 2 5. P x = + Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình : Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Câu III. 1. Giải hệ phương trình 4 1 5 1 1 2 1 1 x y y x y y + = + − − = − + − 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng [ ]: 6 d y x = − + và parabol [ ] 2 : . P y x = a. Tìm tọa độ các giao điểm của [ ] d và [ ] P . b. Gọi A, B là giao điểm của [ ] d và [ ] P . Tính diện tích tam giác OAB. Câu IV. Cho đường tròn [ ] ; O R đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn [ ] ; O R . [M khác A, M khác B] . Tiếp tuyến của đường tròn [ ] ; O R tại B cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P. 1. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật. 2. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. 3. Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và // . ME NF 4. Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
- 62. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: Câu V. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 2 a b c + + =. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 . Q a bc b ca c ab = + + + + +
- 63. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1. ĐKXĐ: 0 x > và 1. x ≠ Thay 9 x = [TM ĐKXĐ] vào A ta có 9 1 2. 9 1 A + = = − 2. a. Rút gọn biểu thức P. ĐKXĐ: 0 x > và 1 x ≠ 2 1 1 . 2 2 1 x x P x x x x − + ⇒ = + + + − [ ] 2 1 . 1 2 x x x x x x − + + = − + [ ][ ] [ ] 1 2 1 1 . 1 2 x x x x x x x x − + + + = − + b. Ta có: 2 2 2 2 5 2 5 x P x x x + = + ⇔ = + 2 2 2 5 x x x ⇔ + = + và 0 x > 2 3 2 0 x x ⇔ + − = và 0 x > [ ] 1 2 0 2 x x ⇔ + − = và 0 x > 1 1 2 4 x x ⇔ = ⇔ = [TMĐK] Vậy với 1 4 x = thì 2 2 5. P x = + Câu II. Gọi sản phẩm xưởng sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch là x [ 0 x > , đơn vị : sản phẩm]. Số ngày hoàn thành theo kế hoạch: 1100 x [ngày] Số sản phẩm sản xuất trong 1 ngày trên thực tế là : 5 x + [sản phẩm] Số ngày hoàn thành trên thực tế là: 1100 5 x + [sản phẩm] Ta có phương trình : 1100 1100 2 5 x x − = + [ ] [ ] [ ] 1100 5 1100 2 5 0 5 x x x x x x + − − + ⇔ = +
- 64. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: 2 2 10 5500 0 x x ⇒ + − = [ ][ ] 50 55 0 x x ⇔ − + = [ ] [ ] 50 5 5 TMĐK K x hô T K x ng MĐ = = − ⇔ Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất là 50 sản phẩm. Câu III. 1. Giải hệ phương trình: ĐKXĐ: ; 1 x y y ≠ − ≠ Đặt 1 u x y = + và 1 1 v y = ⋅ − Hệ phương trình trở thành: 4 5 8 2 10 2 1 2 1 u v u v u v u v + = + = ⇔ − = − − = − 9 9 1 2 1 1 u u v u v = = ⇔ ⇔ = + = Do đó, hệ đã cho tương đương: [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 x TMĐK x y x y y y TMĐK y = = − + = + ⇔ ⇔ − = = = − Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [ ] [ ] , 1;2 . x y = − 2. a. Hoành độ giao điểm của [ ] d và [ ] P là nghiệm của phương trình: 2 2 6 6 0 x x x x = − + ⇔ + − = [ ][ ] 2 3 0 x x ⇔ − + = 2 3 x x = ⇔ = − Với 2 4; x y = ⇒ = với 3 9. x y =− ⇒ = Vậy tọa độ giao điểm của [ ] d và [ ] P là [ ] [ ] 2;4 ; 3;9 . B A − b. Gọi ; A B ′ ′ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành. Ta có OAB AA B B OAA OBB S S S S ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ ∆ = − − 5; 9; 4 B A A B A B x x AA y BB y ′ ′ ′ ′ ′ ′ = − = = = = = Diện tích hình thang: 9 4 65 . 5 2 2 2 AA B B AA BB S A B ′ ′ ′ ′ + + ′ ′ = = ⋅ = [đvdt]
- 65. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: ' 1 27 . ' 2 2 OAA S A A A O ∆ ′ = = [đvdt] 1 . 4 2 OBB S B B B O ′ ∆ ′ ′ = = [đvdt] 65 27 4 15 2 2 OAB AA B B OAA OBB S S S S ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ ∆ ⇒ = − − = − + = [đvdt] Câu IV. 1. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật. Ta có 90 AMB MBN BNA NAM = = = = ° [4 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]. ⇒AMBN là hình chữ nhật. 2. Ta có ANM ABM = [2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM] ABM MQB = [2 góc cùng phụ với góc QBM ] ANM MQB ⇒ = Mà 180 180 ANM MNP MQB MNP + = ° ⇒ + = °; hai góc này lại ở vị trí đối nhau. ⇒MNPQ là tứ giác nội tiếp. 3. * Chứng minh F là trung điểm của BP. E là trung điểm của BQ, O là trung điểm của AB. OE ⇒ là đường trung bình của ABQ ∆ . // OE AQ ⇒ [tính chất đường trung bình của tam giác] Mà ; OE OF AQ AP ⊥ ⊥ // OF AP ⇒ Lại có O là trung điểm của AB OF ⇒ là đường trung bình của . ABP ∆ F ⇒ là trung điểm của BP. * Chứng minh // ME NF NPB ∆ vuông tại N , có F là trung điểm của cạnh 1 2 BP NF BF FB BP ⇒ = = = [đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền]. Xét ONF ∆ và OBF ∆ có: [ ] . . [ ] ON OB R OF chung ONF OBF c c c FN FB cmt = = ⇒ ∆ = ∆ =
- 66. liệu word toán SĐT [zalo]: 6 Website: 90 ONF OBF ⇒ = =° [2 góc tương ứng] ON NF ⇒ ⊥ Chứng minh tương tự ta có OM ME ⊥ // ME NF ⇒ [cùng vuông góc với MN]. 4. 2 2 2 2 . . MNPQ APQ AMN S S S R PQ AM AN = − = − 2 . AB BP ABP QBA AB BP QB QB BA ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = ∽ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: [ ] 2 2 . 2 2 4 PB BQ PB QB R R + ≥ = = Ta có: 2 2 2 2 . 2 2 2 AM AN MN AM AN R + ≤ == 2 2 2 2 .4 2 6 MNPQ S R R R R ≥ − = 2 3 MNPQ S R ⇒ ≥ Dấu bằng xảy ra khi AM AN = và PQ BP = . Hay MN vuông góc với AB. Vậy để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất thì đường kính MN vuông góc với đường kính AB. Câu V. 2 2 2 Q a bc b ca c ab = + + + + + Ta có: [ ] 2a bc a b c a bc + = + + + [ do 2 a b c + + =] [ ][ ] 2 a ab bc ca a b a c + + + = + + Áp dụng bất đẳng thức cho cặp số [ ] a b + và [ ] a c + không âm ta có: [ ][ ] [ ] [ ] 2 a b a c a b a c + + + + + ≤ [ ] [ ] 2 2 a b a c a bc + + + ⇒ + ≤ [1] Chứng minh tương tự : [ ] [ ] 2 2 a b b c b ca + + + ⇒ + ≤ [2] [ ] [ ] 2 2 a c b c c ab + + + ⇒ + ≤ [3] Cộng [ ] [ ] [ ] 1 2 3 + + ta có: [ ] 2 4 Q a b c ≤ + + = Dấu " " = xảy ra khi 2 . 3 a b c = = =
- 67. liệu word toán SĐT [zalo]: 7 Website: Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức Q là 4 khi 2 . 3 a b c = = =
- 68. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2015-2016 Câu I. Cho hai biểu thức 3 2 x P x + = − và 1 5 2 4 2 x x Q x x − − = + − + với 0 x > và 4. x ≠ 1. Tính giá trị của biểu thức P khi 9. x = 2. Rút gọn biểu thức Q. 3. Tìm giá trị của x để biểu thức P Q đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ . Câu III. 1. Giải hệ phương trình [ ] [ ] 2 1 4 3 1 5 x y x x y x + + + = + − + = − 2. Cho phương trình [ ] 2 5 3 6 0 x m x m − + + + = [x là ẩn số]. a. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m. b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm 1 2 , x x là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5. Câu IV. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO [C khác A, C khác O]. Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì nằm trên cung KB [ M khác K, M khác B] . Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N. 1. Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh . . CACB CH CD = . 3. Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua trung điểm của DH. 4. Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu V. Với hai số thực không âm a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện 2 2 4 a b + = , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 2 ab M a b = + +
- 69. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1. Tính giá trị của biểu thức: Thay 9 x = [TM ĐKXĐ] vào P ta có: 9 3 12. 9 2 P + = = − 2. Rút gọn biểu thức ĐKXĐ: 0 x > và 4. x ≠ [ ][ ] [ ][ ] 1 2 5 2 1 5 2 4 2 2 2 x x x x x Q x x x x − − + − − − ⇒ = + = − + − + [ ][ ] 2 . 2 2 2 x x x x x x + = − − + 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của . P Q Ta có: 3 3 P x x Q x x + = = + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm x và 3 x ta có: 3 2 3 x x + ≥ Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 3 3 x x x = ⇔ = [TMĐK] Vậy giá trị nhỏ nhất của P Q là 2 3 khi 3. x = Câu II. Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là [ ] 2, km/h . x x > Thời gian tàu tuần tra ngược dòng là 60 2 x − [giờ] Thời gian tàu tuần tra xuôi dòng là 48 2 x + [giờ] Ta có phương trình : 60 48 1 2 2 x x − = − + [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] 60 2 48 2 2 2 0 2 2 x x x x x x + − − − − + ⇔ = − + 2 12 220 0 x x ⇒ − − =
- 70. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: [ ][ ] 22 10 0 x x ⇔ − + = [ ] [ ] 22 0 1 TMĐK K x hô T K x ng MĐ = = − ⇔ Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22 km/h. Câu III. 1. Giải hệ phương trình ĐKXĐ: 1 x ≥ − Đặt 1 x y a x b + = + = Hệ phương trình trở thành 2 4 1 3 5 2 a b a a b b + = = ⇔ − = − = Từ đó [ ] [ ] 1 3 2 1 2 x y x TMĐK y TMĐK x + = = ⇔ = − + = Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [ ] [ ] ; 3; 2 . x y = − 2. a. Ta có : [ ] [ ] [ ] 2 2 5 4 3 6 1 m m m ∆ = + − + = − Vì [ ] 2 1 0 0 m m m − ≥ ∀ ⇒ ∆ ≥ ∀ ⇒Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. b. Gọi 2 nghiệm của phương trình là 1 2 ; x x Vì 1 2 ; x x tạo thành 2 cạnh của tam giác vuông với cạnh huyền bằng 5. Nên theo định lý Pi-ta-go, ta có: [ ] [ ] 2 2 2 1 2 5 x x + = [ ] 2 1 2 1 2 2 25 x x x x ⇔ + − = Mà 1 2 ; x x là số đo cạnh nên: 1 2 1 2 . 0 0 x x x x > + > Theo hệ thức Vi-ét: [ ] 1 2 1 2 5 3 6 b x x m a c x x m a + = − = + = = +
- 71. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: Khi đó ta có: [ ] [ ] [ ] 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 0 5 . 3 6 0 2 5 2 3 6 25 2 25 x x m m x x m m m m x x x x x x + = + > > − = + > ⇔ > − + − + = + = + − = [ ] 5 2 2 m m TM m > − ⇔ > − = hoặc [ ] 5 2 6 m m Không TM m > − > − = − Vậy với 2 m = thì phương trình có hai nghiệm 1 2 ; x x tạo thành 2 cạnh của tam giác vuông với cạnh huyền bằng 5. Câu IV. 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp. Chứng minh được 90 AMD = ° Vì 90 ACD AMD = = ° mà hai góc này cùng nhìn cạnh DA [nên M, C thuộc đường tròn đường kính AD]. Vậy tứ giác ACMD nội tiếp. 2. Chứng minh . . CACB CH CD = Xét CAH ∆ và CDB ∆ có: 90 ACH DCB = = ° [1] Mặt khác CAH CDB = [cùng phụ với góc CBM ] [2] Từ [1] và [2] [ ] . CAH CDB g g ⇒ ∆ ∆ ∽ . . CACB CH CD ⇒ = [đpcm] 3. * Chứng minh A, N, D thẳng hàng.
- 72. liệu word toán SĐT [zalo]: 5 Website: Vì AM và DC là đường cao của tam giác ABD nên H là trực tâm ABD ∆ ; AD BH AN BH ⇒ ⊥ ⊥ Nên A, N, D thẳng hàng. * Gọi E là giao điểm của CK và tiếp tuyến tại N. Ta có: , BN DN ON EN ⊥ ⊥ DNE BNO ⇒ =mà , BNO OBN OBN EDN = = DNE EDN DEN ⇒ = ⇒ ∆ cân tại E ED EN ⇒ = [3] Ta có: 90 90 ENH END NDH EHN = ° − = ° − = HEN ⇒ ∆ cân tại E EH EN ⇒ =[4] Từ [3] và [4] ⇒E là trung điểm của HD [đpcm]. 4. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. Gọi I là giao điểm của MN và AB, kẻ IT là tiếp tuyến của nửa đường tròn với T là tiếp điểm . 2 . IN IM IT ⇒ = [5] Mặt khác : EM OM ⊥ [ vì ENO EMO ∆ = ∆ và EN ON ⊥ ] , , , N C O M ⇒ cùng thuộc 1 đường tròn . . IN IM IC IO ⇒ =[6] Từ [5] và [6] 2 . IC IO IT ⇒ = ICT ITO CT IO T K ⇒ ∆ ∆ ⇒ ⊥ ⇒ ≡ ∽ ⇒ I là giao điểm của tiếp tuyến tại K của nửa đường tròn và đường thẳng AB. ⇒ I cố định [đpcm]. Câu V. Ta có: [ ] 2 2 2 4 2 4 a b ab a b + = ⇒ = + − [ ] 2 4 2 2 2 a b M a b a b + − ⇒ = = + − + + Mà [ ] 2 2 2 2 2 a b a b + ≤ + = 2 1 M ⇒ ≤ − . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 2. a b = = Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 2 1 2. a b − ⇔ = =
- 73. liệu word toán SĐT [zalo]: 1 Website: ĐỀ SỐ 11 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2016-2017 Câu I. Cho hai biểu thức 7 8 A x = + và 2 24 9 3 x x B x x − = + − − với 0 x ≥ và 9 x ≠ . 1. Tính giá trị của biểu thức A khi 25 x = . 2. Chứng minh 8 3 x B x + = + . 3. Tìm x để biểu thức . P A B = có giá trị là số nguyên. Câu II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2 720m . Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Câu III. 1. Giải hệ phương trình 3 2 4 1 2 2 1 5 1 2 x x y x x y − = − + + = − + 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng [ ] 2 : 3 1 d y x m = + − và parabol [ ] 2 : P y x = a. Chứng minh rằng [ ] d luôn cắt[ ] P tại hai điểm phân biệt với mọi m. b. Gọi 1 2 , x x là hoành độ giao điểm của [ ] d và[ ] P . Tìm m để [ ][ ] 1 2 1 1 1 x x + + = . Câu IV. Cho đường tròn [O] và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn [O] [B là tiếp điểm] và đường kính BC.Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I [I khác C, I khác O]. Đường thẳng IA cắt [O] tại hai điểm D và E [D nằm giữa A và E].Gọi H là trung điểm của đoạn thằng DE. 1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh AB BD AE BE = . 3. Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO, d cắt BC tại điểm K. Chứng minh: / / HK DC 4. Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật. Câu V. Với hai số thực x, y thỏa mãn 6 6 x x y y − + = + − , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y = + .
- 74. liệu word toán SĐT [zalo]: 2 Website: ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I. 1.Tính giá trị của A khi 25 x = ĐKXĐ: 0 x ≥ Thay 25 x = [TMĐK] vào A ta có: 7 7 13 25 8 A = = + 2.Rút gọn biểu thức B ĐKXĐ: 0 x ≥ và 9 x ≠ [ ][ ] 2 24 3 3 3 x x B x x x − ⇒ = + − − + [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] 3 2 24 3 8 5 24 8 3 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x + + − − + + − + = = = + − + − + − + 3. Tìm x để biểu thức . P A B = có giá trị là số nguyên 7 8 7 . . 8 3 3 x P A B x x x + = = = + + + Vì 7 7 0 3 3 3 3 x x x ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≤ + và 7 0 3 x > + Ta có 7 7 7 0 0 3 3 3 P x < ≤ ⇔ < ≤ + Mà { } 1;2 P Z P ∈ ⇒ ∈ TH1: 1 3 7 16 P x x = ⇔ + = ⇔ = [TMĐK] TH2: 7 1 2 3 2 4 P x x = ⇔ + = ⇔ = [TMĐK] Vậy 1 ;16 4 x ∈ thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu II. Gọi chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là x [x > 0, đơn vị: m]. Chiều rộng mảnh vườn là: 720 x [m] Chiều dài mảnh vườn khi tăng 10m là: 10 x + [m]. Chiều rộng mảnh vườn sau khi giảm 6m là: 720 6 x − [m]. Ta có phương trình: [ ] 720 10 6 720 x x + − =
- 75. liệu word toán SĐT [zalo]: 3 Website: 2 10 1200 0 x x ⇒ + − = [ ][ ] 30 40 0 x x ⇔ − + = [ ] [ ] 30 40 = ⇔ = − TMĐK Không TMĐK x x Vậy mảnh vườn có chiều dài là 30m, chiều rộng là 24m. Câu III. 1.Giải hệ phương trình ĐKXĐ: 1; 2 x y ≠ ≠ − Đặt 1 1 2 x a x b y = − = + Hệ phương trình trở thành 3 2 4 2 2 5 1 a b a a b b −= = ⇔ + = = Từ đó 1 1 2 x a x b y = − = + [ ] [ ] 2 1 = ⇔ = − TMĐK TMĐK x y Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [ ] [ ] , 2; 1 x y = − . 2. a. Hoành độ giao điểm của [d] và [P] là nghiệm của phương trình: 2 2 2 2 3 1 3 1 0 = + − ⇔ − − + = x x m x x m [1] Xét [ ] [ ] 2 2 2 3 4 1 4 5 0, ∆ = − − − + = + > ∀ m m m Vậy phương trình [1] luôn có 2 nghiệm phân biệt với ∀m hay [d] luôn cắt [P] tại hai điểm phân biệt ∀m . b.Tìm m để [ ][ ] 1 2 1 1 1 + + = x x . Ta có 1 2 ; x x là hai nghiệm của phương trình [1] Suy ra 1 2 2 1 2 3 1 + = = − + x x x x m [*] Có: [ ][ ] [ ] 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 + + = ⇔ + + = x x x x x x [**] Thay [*] vào [**] ta có: 2 3 1 0 2 − + = ⇔ = ± m m Vậy 2 = ± m .
- 76. liệu word toán SĐT [zalo]: 4 Website: Câu IV. 1.Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh được 90 = ° ABO Chứng minh được 90 = ° AHO ⇒Tứ giác ABOH nội tiếp Suy ra bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên đường tròn đường kính AO. 2.Chứng minh = AB BD AE BE Ta có = ABD AEB [góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung DB, và góc nội tiếp chắn cung DB ] Xét ∆ABD và ∆AEB có: EAB chung; = ABD AEB ABD AEB ⇒ ∆ ∆ ∽ [g.g] ⇒ = AB BD AE BE [đpcm]. 3.Chứng minh KH // DC Tứ giác ABOH nội tiếp ⇒ = OBH OAH mà = OAH HEK [do EK // AO] ⇒ = HBK HEK Suy ra tứ giác BHKE nội tiếp Chứng minh được = BKH BCD [cùng bằng BEH ] Kết luận HK // DC. 4.Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật