Bài toán thực tế mat cầu nón trụ năm 2024

Đây là một dạng toán mới và khó nên đa số học sinh khi gặp dạng toán này còn lúng túng và không giải được. Học sinh chưa biết phối hợp một cách khéo léo giữa lý thuyết, các bài tập cơ bản để hình thành tư duy để giải quyết các bài toán khó ,nhất là các bài toán thực tế. Đặc biệt dạng toán thực tế nguồn tài liệu còn rất hạn chế.

Từ thực tế trên, sau đây Tôi xin trình bày phương pháp ứng dụng thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế .

III. Các dạng toán và phương pháp giải

1. Kiến thưc cơ bản

Khối nón: Diện tích xung quanh của khôí nón

Diện tích toàn phần của khối trụ

Thể tích của khối trụ

Khối trụ: Diện tích xung quanh

Diện tích toàn phần của khối trụ

Thể tích của khối trụ

Khối cầu: Diện tích của khối cầu

Thể tích của khối cầu

Thể tích chỏm cầu

2. Các dạng toán và phương pháp giải

Vấn đề 1 : Ứng dụng khối nón vào giải bài toán thực tế .

Bài 1: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Vói chiều cao h và bán kính đáy là

. Tìm để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.

Giải

Ta có:

nên độ dài đường sinh là:

Diện tích xung quanh của hình nòn là:

Áp dụng BĐT Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi

.

Bài 2: Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng

, người ta cắt ra hình quạt tâm bán kính [xem hình] để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón [khi đó trùng với ]. Tính chiều cao của chiếc phễu .

Giải

Ta có cung

có độ dài bằng .

Dựa vào đề bài ta thấy có thể tạo thành hình nón đỉnh O, đường sinh

Để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón [khi đó

trùng với ] thì chu vi đường tròn đáy bằng độ dài cung bằng . Khi đó bán kính đáy là .

Xét tam giác

vuông tại có , .

trong đó Vậy .

Bài 3: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính

. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Tính bán kính của hình nón.

Giải

Đặt

. Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là . Ta có

Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là .

Theo giả thiết ta có

Khi đó thể tích khối nón là

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có

Vậy

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi , tức là

Bài 4: Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng

. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón [ Như hình vẽ]. Tính thể tích lớn nhất của hình nón có khi người ta cắt cung tròn của hình quạt.

Giải

Gọi

là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.

Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là

Bán kính của đáy được xác định bởi đẳng thức .

Chiều cao của hình nón là:

.

Thể tích của khối nón: .

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi

.

[Lưu ý bài toán có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài toán sẽ dài hơn]

Bài 5: Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng , chiều cao . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính .

Giải

Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là

Ta có:

Thể tích khối trụ:

Khi đó ta có thể suy ra được với

thì đạt giá trị lớn nhất bằng

Vấn đề 2 : Ứng dụng khối trụ vào giải bài toán thực tế .

Bài 1: Một khối gỗ hình trụ có chiều cao

, người ta xẻ bớt phần vỏ của khối gỗ đó theo bốn mặt phẳng song song với trục để tạo thành một khối gỗ hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất bằng . Tính đường kính của khối gỗ hình trụ đã cho.

Giải

Ta có diện tích mặt của khối gỗ hình hộp nằm ở hai đầu là

.

Mặt này là hình vuông [vì trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp một hình tròn thì hình vuông có diện tích lớn nhất], có cạnh là

.

Đường kính của khối gỗ hình trụ chính là đường chéo của mặt hình vuông.

Do đó đường kính là

.

Bài 2 :Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ [như hình vẽ] có thể tích

nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng [chi phí cho mỗi đơn vị diện tích]. Gọi chiều cao của thùng là và bán kính đáy là . Tính tỉ số sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất?

Giải

Không mất tính tổng quát, giả sử thể tích của hình trụ là

và giá cho mỗi đơn vị diện tích bằng .

Theo bài ta có

.

Diện tích xung quanh của hình trụ là

.

Diện tích mặt đáy

.

Suy ra giá vật liệu để làm hình trụ là

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

nên

Bài 3: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất [với mục đích thu hút khách hàng].

Giải

Xét mặt cắt như hình vẽ

Gọi

lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ nằm trong nửa khối cầu

Ta có

Ta có .

Vậy ta có

; .

Ta có bảng biến thiên

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem là

Bài 4: Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m2, chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m2. Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được. [giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể].

Giải

Gọi chiều cao hình trụ là

.Bán kính đáy hình trụ là

Thể tích khối trụ là :

.

Diện tích mặt xung quanh là :

Diện tích hai đáy là :

Số tiền cần làm một thùng sơn là :

.

Ta có :

khi đó

Bảng biến thiên :

Vậy với số tiền

tỉ đồng thì công ty có thể sản xuất tối đa là : thùng.

Bài 5: Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn chứa nước hình trụ tròn với thể tích là

[như hình vẽ bên]. Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và bề làm bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để bồn chứa nước [làm tròn đến hàng nghìn]. Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông nghìn đồng một , tôn một và nhôm nghìn đồng một .

Giải

Gọi

lần lượt là bán kính đường tròn đáy và đường cao của hình trụ. theo đề ta có .

Khi đó chi phí làm nên bồn chứa nước được xác định theo

hàm số

[nghìn đồng].

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta suy ra chi phí thấp nhất là

nghìn đồng.

Bài 6: Một xưởng làm cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là

lít mỗi chiếc. Tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc thùng để tiết kiệm vật liệu nhất?

Giải

Gọi

lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của thùng.

Gọi

lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của thùng.

. Mà

.

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì

nhỏ nhất .

Bài 7: Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, nhà sản xuất luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là thấp nhất, tức diện tích toàn phần của vỏ lon hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích của lon sữa bằng

thì nhà sản xuất cần phải thiết kế hình trụ có bán kính đáy bằng bao nhiêu để chi phí nguyên liệu thấp nhất ?

Giải

Diện tích toàn phần của vỏ lon là

Theo giả thiết

Từ

và ta có .

Xét hàm số

Ta có

Bảng biến thiên

-

+

Vậy

tại

Vấn đề 3 : Ứng dụng khối cầu vào giải bài toán thực tế .

Bài 1: Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo tra một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là

bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nón. Cho biết chiều cao của mặt nón bằng Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.

Lời giải

Gọi

là bán kính của hình nón. lần lượt là bán kính quả cầu lớn và quả cầu nhỏ.

Thiết diện qua trục của hình nón như sau:

là tam giác đều nên

Gọi

là tâm tam giác ,

Tam giác

có chiều cao là

Gọi

là tâm tam giác ,

Tổng thể tích hai quả cầu là:

.

Bài 2: Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ bên. Các kích thước được ghi [cùng đơn vị

]. Tính thể tích của bồn chứa.

Giải

Gọi

là thể tích hình trụ có đường cao và bán kính đường tròn đáy

là thể tích nửa hình cầu có bán kính

Ta có

và

Do đó

Bài 3: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính

, người thợ thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.

Giải

Giả sử

là chiều cao hình trụ [xem hình vẽ]

Bán kính của khối trụ là

.

Thể tích khối trụ là: .

Xét hàm số

,

có

. Bảng biến thiên:

Bài 4: Một khối cầu bằng thủy tinh có bán kính 4

, người ta muốn cắt bỏ một chỏm cầu có diện tích mặt cắt là để lấy phần còn lại làm bể nuôi cá. Hỏi thể tích nước tối đa mà bể cá này có thể chứa là bao nhiêu?

Giải

Gọi

lần lượt là thể tích tối đa của bể nuôi cá có thể chứa, thể tích khối cầu bằng thủy tinh và thể tích chỏm cầu bị cắt bỏ.

Khi đó:

Ta có:

Khi đó:

Vậy thể tích nước tối đa mà bể cá này có thể chứa là:

Bài 5: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính

, đặt trong một khung hình hộp chữ nhật [hình 1]. Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi [hình 2].Tính bán kính của viên bi [ lấy số gần đúng] . [Cho biết thể tích khối chỏm cầu là

Giải

Gọi x là bán kính viên bi hình cầu. Điều kiện:

Thể tích viên bi là

Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào

Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có

thể tích là:

Ta có phương trình:

Giải phương trình ta có các nghiệm:

[loại]; [thỏa mãn],

và

[loại].

Vậy bán kính viên bi là:

[cm].

PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cối xay gió của Đôn ki hô tê [từ tác phẩm của Xéc van téc]. Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón. Chiều cao của hình nón là 40 cm và thể tích của nó là 18000 cm3. Tính bán kính của đáy hình nón [làm tròn đến kết quả chữ số thập phân thứ hai].

Bài 2: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính diện tích đáy của cái lọ hình trụ.

Bài 3: Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài

, đường kính trong của ống [không kể lớp bê tông] bằng ; độ dày của lớp bê tông bằng . Biết rằng cứ một khối bê tông phải dùng bao xi măng. Tính số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước [ lấy số gần đúng ].

Bài 4: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao

, đường kính đáy , lượng nước trong cốc cao . Thả vào cốc nước viên bi có cùng đường kính . Hỏi nước dâng cao cách miệng cốc bao nhiêu xăng-ti-mét?

Bài 5: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là

, có bán kính đáy , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn [theo đơn vị ]

Bài 6: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó 2016 quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao hình trụ bằng 2016 lần đường kính của quả banh. Gọi V1 là tổng thể tích của 2016 quả banh và V2 là thể tích của khối trụ. Tính tỉ số

?

Bài 7: Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm O, đường kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa được trong hình trụ. Tính bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước nhất.

Bài 8: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là

, có bán kính đáy , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn [theo đơn vị ]

Bài 9: Một khúc gỗ hình trụ có chiều cao

, đường kính đáy . Người ta cưa 4 tấm bìa để được một khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ. Tính tổng thể tích của 4 tấm bìa bị cưa, xem mạch cưa không đáng kể.

Bài 10: Một hãng dược phẩm cần một số lọ đựng thuốc dạng hình trụ với dung tích

. Tính bán kính đáy của lọ để ít tốn nguyên liệu sản xuất lọ nhất

Bài 11: Cần xẻ một khúc gỗ hình trụ có đường kính

và chiều dài thành một cái xà hình hộp chữ nhật có cùng chiều dài. Tính lượng gỗ tối thiểu bị bỏ đi [ lấy giá trị gần đúng]

Bài 12: Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là

, đường kính đáy là , lượng nước ban đầu trong cốc cao . Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là . Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu ? [Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số].

PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN

Quá trình vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này của bản thân tôi đã và đang đạt được một số kết quả hết sức khả quan, tích cực. Qua những lần kiểm tra – đánh giá, tôi thấy được tỉ lệ số học sinh giải các bài toán khó ngày càng tăng. Từ những học sinh khi gặp những bài toán thực tế là bỏ qua không đọc đề thì đã dần làm được một số bài. Với sáng kiến này của Tôi đã giúp các em học sinh có thêm những kiến thức kĩ năng khi giải các bài toán thực tế trong ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu. Đồng thời giúp các em hứng thú hơn trong giải các bài toán thực tế và việc vận dụng toán học vào thực tế. Các em không còn quá lúng túng, e dè, lo ngại khi giải bài toán về khối nón, khối trụ, khối cầu liên quan tới bài toán thực. Đặc biệt nó sẽ giúp ích cho các em tự tin hơn có thêm kỹ năng giải toán để bước vào kì thi THPT Quốc Gia.

Đó chính là những nguyên nhân đi đến những kết quả tương đối khả quan của đợt khảo sát vừa qua. Cụ thể:

Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Lớp

Tổng

Số bài

8.0 – 10.0

6,5 – 7,9

5.0 – 6.4

3.5 – 4.9

0.0 – 3.4

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

12A3

43

0

0

3

7

7

16,3

13

30,2

20

46,5

Tổng

43

Trên TB: 10 chiếm 23,3%

Dưới TB 33 chiếm 76,7%

Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Lớp

Tổng

Số bài

8.0 – 10.0

6,5 – 7,9

5.0 – 6.4

3.5 – 4.9

0.0 – 3.4

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

12A3

43

3

7

10

23,3

13

30,2

10

23,3

7

16,2

Tổng

43

Trên TB: 26 chiếm 60,5%

Dưới TB: 17 chiếm 39,5%

PHẦN 5: KẾT LUẬN.

Ứng dụng thể thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế là dạng toán khó và cũng mới mẻ với học sinh. Có thể dạng toán thực tế này sẽ được Bộ Giáo Dục và Đào tạo đưa vào kì thi THPT Quốc Gia năm 2017 và những năm tới. Qua chuyên đề này, học sinh sẻ có nhiều kĩ năng và kinh nghiệm trong việc giải các bài toán thực tế trong ứng dụng thể tích khối đa diện. Chuyên đề này cũng giúp các em học sinh hiểu rõ được tầm quan trọng trong áp dụng toán học vào thực tế. Đề tài này của tôi chắc hẳn không thể trách khỏi những thiếu xót. Rất mong quý thầy cô, đông nghiệp cùng đọc và đóng góp ý kiến cho tôi, để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn.

Xin chân trọng cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa lớp 11, lớp 12 THPT.

2. Đề minh họa Bộ giáo dục và đào tạo lần 1, lần 2 năm 2017.

3. Đề thi thử THPTQG của các trường THPT , các sở giáo dục năm 2016 - 2017.

4 .NguyÔn V¨n B¶o [2005], Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn, luận văn Thạc sĩ giáo dục học, trường ĐẠi học vinh