1.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
- Cho đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\,.\] Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
- Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] không có điểm chung, tức là:
\[a \cap \left[ P \right] = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left[ P \right].\]
- Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] chỉ có một điểm chung, tức là:
\[a \cap \left[ P \right] = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a\] cắt \[\left[ P \right]\] tại \[A\,.\]
- Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có hai điểm chung, tức là:
\[a \cap \left[ P \right] = \left\{ {A,\,\,B} \right\}\,\, \Leftrightarrow \,\,a \subset \left[ P \right]\,.\]
.JPG]
1.2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
- Định lí 1: Nếu đường thẳng \[a\] không nằm trong mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và song song với một đường thẳng nào đó trong \[\left[ P \right]\] thì \[a\] song song với \[\left[ P \right]\,.\]
- Tức là, \[a \not\subset \left[ P \right]\] thì nếu: \[a\parallel d \subset \left[ P \right] \Rightarrow a\parallel \left[ P \right].\]
.png]
1.3. Tính chất
- Định lí 2: Nếu đường thẳng \[a\] song song với mặt phẳng \[\left[ P \right]\] thì mọi mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] chứa \[a\] mà cắt \[\left[ P \right]\] thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với \[a\,.\]
- Tức là, nếu \[\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left[ P \right]\\a \subset \left[ Q \right]\,\,\,\,\left[ {\left[ Q \right] \cap \left[ P \right] = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.\]
.png]
- Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
- Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến [nếu có] của chúng song song với đường thẳng đó.
- Tức là: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ P \right] \cap \left[ Q \right] = d\\\left[ P \right]\parallel a\\\left[ Q \right]\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.\]
.png]
- Hệ quả 3: Nếu \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng chéo nhau thì qua \[a\] có một và chỉ một mặt phẳng song song với \[b\,.\]
Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
- Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng \[d\] songsong với mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] ta chứng minh \[d\] song song với một đường thẳng \[d'\] nằm trong \[\left[ \alpha \right]\].
.png]
Ví dụ 1:
Cho hai hình bình hành \[ABCD\] và \[ABEF\] không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \[O\] và \[O'\].
- Chứng minh \[OO'\] song song với các mặt phẳng \[\left[ {ADF} \right]\] và \[\left[ {BCE} \right]\].
- Gọi \[M,N\] lần lượt là hai điểm trên các cạnh \[AE,BD\] sao cho \[AM = \frac{1}{3}AE,BN = \frac{1}{3}BD\]. Chứng minh \[MN\] song song với \[\left[ {CDEF} \right]\].
Hướng dẫn:
.png]
- Ta có \[OO'\] là đường trung bình của tam giác \[BDF\] ứng với cạnh \[DF\] nên \[OO'\parallel DF\], \[DF \subset \left[ {ADF} \right]\]
\[ \Rightarrow OO'\parallel \left[ {ADF} \right]\].
Tương tự, \[OO'\] là đường trung bình của tam giác \[ACE\] ứng với cạnh \[CE\] nên \[OO'\parallel CE\], \[CE \subset \left[ {CBE} \right] \Rightarrow OO'\parallel \left[ {BCE} \right]\].
- Trong \[\left[ {ABCD} \right]\], gọi \[I = AN \cap CD\]
Do \[AB\parallel CD\] nên \[\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{1}{3}\].
Lại có \[\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AE}}\]\[ \Rightarrow MN\parallel IE\]. Mà \[I \in CD \Rightarrow IE \subset \left[ {CDEF} \right] \Rightarrow MN\parallel \left[ {CDEF} \right]\].
Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG
- Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
- Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc \[\left[ \alpha \right]\] chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ \alpha \right]\parallel d\\d \subset \left[ \beta \right]\\M \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ \beta \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ \beta \right] = d'\parallel d,M \in d'\]
Ví dụ 2:
Cho hình chóp \[S.ABCD\], \[M\] và \[N\] là hai điểm thuộc cạnh \[AB\] và \[CD\], \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng qua \[MN\] và song song với \[SA\].
- Xác định thiết diện của hình chóp \[S.ABCD\] khi cắt bởi\[\left[ \alpha \right]\].
- Tìm điều kiện của \[MN\] để thiết diện là một hình thang.
Hướng dẫn:
.png]
- Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}M \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAB} \right]\\\left[ \alpha \right]\parallel SA\\SA \subset \left[ {SAB} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ {SAB} \right] \cap \left[ \alpha \right] = MQ\parallel SA,Q \in SB\].
Trong \[\left[ {ABCD} \right]\] gọi \[I = AC \cap MN\]
\[\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left[ \alpha \right]\\I \in AC \subset \left[ {SAC} \right]\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAC} \right]\]
Vậy \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ \alpha \right]\\\left[ \alpha \right]\parallel SA\\SA \subset \left[ {SAC} \right]\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {SAC} \right] \cap \left[ \alpha \right] = IP\parallel SA,P \in SC\end{array}\]
Từ đó ta có \[\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SBC} \right] = PQ,\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAD} \right] = NP\].
Thiết diện là tứ giác \[MNPQ\].
- Tứ giác \[MNPQ\] là một hình thang khi \[MN\parallel PQ\] hoặc \[MQ\parallel NP\].
Trường hợp 1:
Nếu \[MQ\parallel NP\] thì ta có \[\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP\]
Mà \[NP \subset \left[ {SCD} \right] \Rightarrow SA\parallel \left[ {SCD} \right]\] [vô lí].
Trường hợp 2:
Nếu \[MN\parallel PQ\]thì ta có các mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right],\left[ \alpha \right],\left[ {SBC} \right]\]đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là \[MN,BC,PQ\] nên \[MN\parallel BC\].
Đảo lại nếu \[MN\parallel BC\]thì \[\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left[ \alpha \right]\\BC \subset \left[ {SBC} \right]\\PQ = \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SBC} \right]\end{array} \right.\]