Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm cần chứng minh cùng vuông góc với một đường thẳng thứ 3 nào đó.
Đường thẳng đi qua 2 điểm cũng đi qua điểm thứ 3
Áp dụng tính chất của đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng hay tính chất ba đường cao trong tam giác
Áp dụng các tính chất của hình bình hành
Áp dụng tính chất của góc nội tiếp đường tròn
Áp dụng tính chất của góc bằng nhau đối đỉnh
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Chứng minh diện tích tam giác của 3 điểm bằng 0
Áp dụng tính chất sự đồng quy của các đoạn thẳng
D. Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng thường được áp dụng nhất
Phương pháp 1: Áp dụng tính chất góc bẹt
Chọn một điểm D bất kì: nếu ∠ABD + ∠DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng
Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-cơ-lit
Cho 3 điểm A, B, C và 1 đường thẳng a. Nếu AB // a và AC // a thì ta có thể khẳng định ba điểm A; B; C thẳng hàng. [dựa trên cơ sở tiên đề Ơ-cơ-lít trong chương trình Toán lớp 7]
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc
Nếu đoạn thẳng AB ⊥ a; đoạn thẳng AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
[Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có 1 và chỉ 1 một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước]
Hoặc sử dụng tính chất A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .[nằm trong chương trình toán học lớp 7]
Phương pháp 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác
Nếu 2 tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ta có thể khẳng định 3 điểm O, A, B thẳng hàng
Cơ sở lý thuyết phương pháp trên: Một góc chỉ có một và chỉ một đường phân giác
* Hoặc : Hai tia OA và OB nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Phương pháp 5: Sử dụng tính chất đường trung trực
Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm K’ là giao điểm của 2 đoạn thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là trung điểm BD và K’ trùng K. Từ đó ta có thể kết luận 3 điểm A, K, C thẳng hàng.
[Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất 1 trung điểm]
Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy
Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy của tam giác.
Ví dụ: Chứng minh điểm E là trọng tâm tam giác ABC và đoạn thẳng AM là trung tuyến của góc A suy ra 3 điểm A, M, H thẳng hàng.
Bên cạnh đó, các em học sinh hoàn toàn có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy khác của tam giác như 3 đường cao, 3 đường phân giác hoặc 3 đường trung trực trong tam giác.
Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ
Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm [tức là 3 điểm thẳng hàng]
Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC có cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB vectơ và vectơ BC có cùng phương thì ta có thể kết luận 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
E. Một số bài tập luyện tập các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh góc MID = Góc MBC và tứ giác AIKM nội tiếp đường tròn, từ đó các em học sinh hãy chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. Lấy B làm tâm, vẽ một đường tròn có bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là điểm D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn [B] và [C] sao cho thỏa mãn điều kiện AM vuông góc với AN và điểm D nằm giữa 2 điểm M và N. Hãy chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.
Bài tập 3: Cho nửa đường tròn [O; R] có đường kính AB. Gọi điểm C là một điểm điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho góc COD = 90 độ. Gọi điểm E là giao điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC, điểm F là giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng đoạn thẳng IC là tiếp tuyến của [O].
Trên đây là toàn bộ kiến thức về lý thuyết, phương pháp và một số bài tập về chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Hy vọng với bài viết này sẽ hỗ trợ các em học sinh có thêm các phương án giải khi gặp về dạng bài tập này.
Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu Chuyên đề chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba điểm đồng quy ôn thi vào chuyên Toán.
Tài liệu gồm 82 trang tuyển chọn lý thuyết và bài tập về chủ đề này. Nội dung cụ thể bao gồm:
- Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp 1: Sử dụng góc bù nhau Nếu có
ABx + xBC = 180 độ thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.
Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng d. Phương pháp 3: Sử dụng tiên đề về đường thẳng vuông góc. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta đi chứng minh AB và AC cùng vuông góc với một đường thẳng d. Phương pháp 4: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau. Nếu hai tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng. Phương pháp 5: Thêm điểm. Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng có thể xác định thêm điểm D khác A, B, C sau đó chứng minh hai trong ba bộ ba điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng. Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng hình đuy nhất. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng với C thuộc hình H nào đó. Ta gọi C’ là giao điểm của AB với hình H và tìm cánh chứng minh hai điểm C và C’ trùng nhau. Phương pháp 7: Sử dụng định lý Menelaus. Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC.
II. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn [O]. Điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC. Gọi E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. Gọi H là trực tâm trực ABC. Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng.
Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn [O; R]. Các tia AB, DC cắt nhau tại M, các tia AD, BC cắt nha tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC cắt MN tại K khác M. Gọi T là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba điểm O, T, K thẳng hàng.
....
Nhóm thuvientoan.net hy vọng với tài liệu Chuyên đề chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba điểm đồng quy sẽ giúp ích được cho các bạn đọc và được đồng hành cùng các bạn, cảm ơn!