Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ.
- Lãi kép, gửi một lần: Tn=T01+rn
Trong đó:
Tn: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
T0 : Số tiền gửi ban đầu;
n : Số kỳ hạn tính lãi;
r : Lãi suất định kỳ, tính theo %.
- Lãi kép liên tục: Tn=T0.en.r
Trong đó:
Tn: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
T0 : Số tiền gửi ban đầu;
n : Số kỳ hạn tính lãi;
r : Lãi suất định kỳ, tính theo %.
- Lãi kép, gửi định kỳ.
* Trường hợp gửi tiền định kì cuối tháng
Bài toán 1: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% [tháng hoặc năm]. Hỏi sau n [tháng hoặc năm] số tiền thu được là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền thu được là:
Tn=mr1+rn−1
Chứng minh
Vậy sau tháng n ta được số tiền
Tn=m1+rn−1+...+m1+r+m=m1+rn−1+...+1+r+1
Ta thấy trong ngoặc là tổng n số hạng của cấp số nhân có
u1=1, un=1+rn−1, q=1+r
Ta biết rằng: Sn=u1+...+un=u1.qn−1q−1
nên Tn=mr1+rn−1
Bài toán 2: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% [tháng hoặc năm]. Sau n [tháng hoặc năm] số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là: m=Ar1+rn−1
Chứng minh:
Áp dụng bài toán 1 ta có số tiền thu được là Tn=mr1+rn−1, mà đề cho số tiền đó chính là A nên :
A=mr1+rn−1⇔m=Ar1+rn−1
Bài toán 3: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% [tháng hoặc năm]. Sau n [tháng hoặc năm] số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là:
n=log1+rArm+1
Chứng minh:
Áp dụng bài toán 1 ta có số tiền thu được là Tn=mr1+rn−1, mà đề cho số tiền đó chính là A nên:
A=mr1+rn−1⇔m=Ar1+rn−1⇔1+rn=Arm+1⇔n=log1+rArm+1
Như vậy trong trường hợp một này ta cần nắm vứng công thức Bài toán 1 từ đó có thể dễ dàng biến đổi ra các công thức ở bài toán 2, Bài toán 3.
* Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng
Bài toán 4: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% [tháng hoặc năm]. Hỏi sau n [tháng hoặc năm] số tiền thu được là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền thu được là:
Tn=mr1+rn−11+r
Chứng minh.
Ta xây dựng bảng sau:
Vậy sau tháng n ta được số tiền:
Tn=m1+rn+...+m1+r=m1+rn+...+1+r=m1+r1+rn−1r
Bài toán 5: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% [tháng hoặc năm]. Sau n [tháng hoặc năm] số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là:
m=Ar1+r1+rn−1
Chứng minh
Áp dụng bài toán 4. Ta có số tiền thu được là: Tn=mr1+rn−11+r, mà đề cho số tiền đó là A nên:
A=mr1+rn−11+r⇔m=Ar1+r1+rn−1
Bài toán 6: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% [tháng hoặc năm]. Sau n [tháng hoặc năm] số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là:
n=log1+rArm1+r+1
Chứng minh
Áp dụng bài toán 4. Ta có: số tiền thu được là: Tn=mr1+rn−11+r, mà đề cho số tiền đó là A nên .
A=mr1+rn−11+r⇔m=Ar1+r1+rn−1⇔1+rn=Arm1+r+1⇒n=log1+rArm1+r+1
Như vậy trong trường hợp này ta cần nắm vững công thức bài toán 4 từ đó có thể dễ dàng biến đổi ra các công thức ở bài toán 5, bài toán 6.
* Trường hợp vay nợ và trả tiền định kì đầu tháng
Bài toán 7: Vay ngân hàng A triệu đồng. Cứ đầu mỗi tháng [năm] trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% [tháng hoặc năm]. Hỏi sau n [tháng hoặc năm] số tiền còn nợ là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là:
Chứng minh.
Ta xây dựng bảng sau:
Vậy sau tháng n ta còn nợ số tiền:
Trường hợp vay nợ và trả định kì cuối tháng.
Bài toán 8: Vay ngân hàng A triệu đồng. Cứ đầu mỗi tháng [năm] trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% [tháng hoặc năm]. Hỏi sau n [tháng hoặc năn] số tiền còn nợ là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là:
Chứng minh
Ta xây dựng bảng sau:
Vậy sau tháng n ta còn nợ số tiền:
Sau đây cùng tìm hiểu cách áp dụng các lý thuyết vào các bài toán tính tiền lãi, tiền nợ phải trả như thế nào?