Với giải bài tập Toán lớp 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7.
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
GK = … CK; AG = … GM; GK = … CG; AM = … AG; AM = … GM
Lời giải:
GK = 1/3 CK; AG = 2GM; GK = 1/2 CG; AM = 3/2 AG; AM = 3GM
Lời giải:
Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BD và CE bằng nhau.
Gọi I là giao điểm BD và CE, ta có:
BI = 2/3 BD [tính chất đường trung tuyến] [1]
CI = 2/3 CE [tính chất đường trung tuyến] [2]
Từ [1], [2] và giả thiết BD = CE suy ra: BI = CI
Suy ra: BI + ID = CI + IE ⇒ ID = IE
Xét ΔBIE và ΔCID, ta có:
BI = CI [chứng minh trên]
∠[BIE] = ∠[CID] [đối đỉnh]
IE = ID [chứng minh trên]
Suy ra: ΔBIE = ΔCID [c.g.c]
Suy ra: BE = CD [hai cạnh tương ứng] [3]
Lại có: BE = 1/2 AB [vì E là trung điểm AB] [4]
CD = 1/2 AC [vì D trung điểm AB] [5]
Từ [3], [4] và [5] suy ra: AB = CD.
Vậy tam giác ABC cân tại A.
a. Chứng minh rằng AM ⊥ BC.
b. Tính độ dài AM
Lời giải:
a. Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có:
AM = AC [gt]
BM = CM [gt]
AM cạnh chung
Suy ra: ΔAMB = ΔAMC [c.c.c]
Suy ra: ∠[AMB] = ∠[AMC] [1]
Lại có: ∠[AMB] + ∠[AMC] = 180o [hai góc kề bù] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: ∠[AMB] = ∠[AMC] = 90o
Vậy AM ⊥ BC.
b. Tam giác AMB có ∠[AMB] = 90o
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AMB, ta có:
AB2 = AM2 + BM2 ⇒ AM2 = AB2 – BM2 = 342 – 162
= 1156 – 256 = 900
Suy ra: AM = 30 [cm].
a. Các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC.
b. Các đường trung tuyến của tam giá BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
a. Gọi AM, BN, CP lần lượt là các đường trung tuyến của ΔABC. Các đường trung tuyến cắt nhau tại G.
Ta có: AG = GD [gt]
AG = 2GM [tính chất đường trung tuyến]
Suy ra: GD = 2GM
Mà GD = GM + MD ⇒ GM = MD
Xét ΔBMD và ΔCMG, ta có:
BM = CM [gt]
∠[BMD] = ∠[CMG] [đối đỉnh]
MD = GM [chứng minh trên]
Suy ra: ΔBMD = ΔCMG [c.g.c]
⇒ BD = CG [hai cạnh tương ứng]
Suy ra: BD = 2/3 CP [1]
Lại có: BG = 2/3 BN [tính chất đường trung tuyến] [2]
Và AG = 2/3 AM [tính chất đường trung tuyến]
Suy ra: GD = 2/3 AM [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC.
b. Ta có: GM = MD [chứng minh trên]
Suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác BGD.
Suy ra: BM = 1/2 BC [4]
Kẻ đường trung tuyến GE và DF của tam giác BGD, ta có:
FG = 1/2 BG [tính chất đường trung tuyến]
GN = 1/2 GB [tính chất đường trung tuyến]
Suy ra: FG = GN
Xét ΔDFG và ΔANG, ta có:
AG = GD [gt]
∠[DGF] = ∠[AGN] [đối đỉnh]
GF = GN [chứng minh trên]
Suy ra: ΔDFG = ΔANG [c.g.c] ⇒ DF = AN
Mà AN = 1/2 AC [gt]
Suy ra: DF = 1/2 AC [5]
ED = 1/2 BD [vì E là trung điểm BD]
GP = 1/2 CG [tính chất đường trung tuyến]
Suy ra: ED = GP
Lại có: ΔBMD = ΔCMG [chứng minh trên]
⇒ ∠[BDM] = ∠[CGM] hay ∠[EDG] = ∠[CGM]
[CGM] = [PGA] [đối đỉnh]
Suy ra: ∠[EDG] = ∠[PGA]
AG = GD [gt]
Suy ra: ΔPGA = ΔEDG [c.g.c] ⇒ GE = AP mà AP = 1/2 AB [gt]
Do đó: GE = 1/2 AB [6]
Từ [4], [5] và [6] suy ra các đường trung tuyến của ΔBGD bằng một nửa cạnh của ΔABC.
Lời giải:
Gọi G là giao điểm của BD và CE.
Trong ∆GBC, ta có:
GB + GC > BC [bất đẳng thức tam giác]
GB = 2/3 BD [tính chất đường trung tuyến]
GC = 2/3 CE [tính chất đường trung tuyến]
Mà BC = 10 cm [gt]
Suy ra: 23 [BD + CE] > 10 hay BD + CE > 10 : 2/3 = 10.3/2 = 15
Vậy BD + CE > 15 [cm].
Lời giải:
Trong ΔACD ta có:
CB là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C
E ∈ BC và BE = 1/2 BC [gt]
Nên: CE = 2/3 CB
Suy ra: E là trọng tâm của ΔACD.
Vì AK đi qua E nên AK là đường trung tuyến của ΔACD
Suy ra K là trung điểm của CD
Vậy KD = KC.
Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:
a. IK // DE, IK = DE
b. AG = 2/3 AD
Lời giải:
a. Áp dụng kết quả bài 64 chương II sách Bài tập toán 7 vào ΔABC và ΔAGB ta có:
DE // AB và DE = 1/2 AB [1]
IK // AB và IK = 1/2 AB [2]
Từ [1] và [2] suy ra:
DE // IK và DE = IK.
b. Vì AD và BE là 2 đường trung tuyến của ΔABC cắt nhau tại G nên theo tính chất đường trung tuyến, ta có: AG = 23 AD.
a. Tính số đo góc ABD.
b. Chứng minh ΔABC = ΔBAD
c. So sánh độ dài AM và BC.
Lời giải:
a. Xét ΔAMC và ΔBMD, ta có:
BM = MC [gt]
∠[AMB] = ∠[BMC] [đối đỉnh]
AM = MD [gt]
Suy ra: ΔAMC = ΔDMB [c.g.c]
⇒ ∠[MAC] = ∠D [2 góc tương ứng]
Suy ra: AC // BD
[vì có 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
Mà AB ⊥ AC [gt] nên AB ⊥ BD.
Vậy [ABD] = 90o.
b. Xét ΔABC và ΔBAD ta có:
AB cạnh chung
∠[BAC] = ∠[ABD] = 90o
AC = BD [vì ΔAMC = ΔDMB]
Suy ra: ΔABC = ΔBAD [c.g.c]
c. Ta có: ΔABC = ΔBAD ⇒ BC = AD [2 cạnh tương ứng]
Vậy AM = 1/2 BC.
Lời giải:
Vì AM là đường trung tuyến của ΔABC nên BM = MC = 1/2 BC
Mà AM = 1/2 BC [gt] nên: AM = BM = MC.
Tam giác AMB có AM = MB nên ΔAMB cân tại M
Suy ra: ∠B = ∠A1 [tính chất tam giác cân] [1]
Tam giác AMC có AM = MC nên ΔAMC cân tại M
Suy ra: ∠C = ∠A2 [tính chất tam giác cân] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: ∠B + ∠C = ∠A1 + ∠A2 = ∠[BAC] [3]
Trong ΔABC ta có:
∠B + ∠C + ∠[BAC] = 180o [tổng ba góc trong tam giác] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: ∠[BAC] + ∠[BAC] = 180o ⇔ 2∠[BAC] = 180o
Hay ∠[BAC] = 90o.
Vậy ΔABC vuông tại A.
[A] Điểm D
[B] Điểm E
[C] Điểm O
[D] Cả [A], [B], [C] đều sai
Lời giải:
Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó nên E là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn [B] Điểm E.
[A]BG/EG = 2
[B]FG/CG = 2/3
[C] E là trung điểm của cạnh AC
[D] F là trung điểm của cạnh AB
Lời giải:
Do ba đường trung tuyến của một tam giác quy đồng tại trọng tâm của tam giác và trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó nên [B] sai [vì FG/CG = 1/2 ]. Chọn [B]FG/CG = 2/3.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Xét hai tam giác ACD và BCD. Từ giả thiết suy ra I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và tam giác BCD.
Do đó: OI = 1/3 AO, AI = 2/3AO, OJ = 1/3 BO, BJ = 2/3 BO
Theo giả thiết AO = BO nên
IJ = OI + OJ = 1/2 AO = AI = BJ.
Lời giải:
Ta có:
SAOB = 2/3 SAA1B [Vì AO = 2/3 AA1];
SABA1= 1/2 SABC [Vì BA1 = 1/2 BC] ;
Từ đó suy ra SABC = 2SABA1 = 3SAOB
Nếu SAOB = 5cm2 thì SABC = 3.5 = 15[cm2]
Lời giải:
Xét sáu tam giác được đánh số là: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài 4.4 ta có
SGAB = SGBC = SGCA = 1/3 SABC
Ta lại có S1 = S2, S3 = S4, S5 = S6 [vì mỗi cặp tam giác có chung đường cao và hai đáy bằng nhau, vậy sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau]
a] Tìm trọng tâm của tam giác AEM.
b] So sánh các cạnh của tam giác ABC với các đường trung tuyến của tam giác AEM
c] So sánh các đường trung tuyến của tam giác ABC với các cạnh của tam giác AEM.
Lời giải:
a] Do AD = DE nên MD là một đường trung tuyến của tam giác AEM. Hơn nữa do
CD = 1/2 CB = 1/2 CM
Nên C là trọng tâm của tam giá AEM.
b] Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có ΔADB = ΔEDG [c.g.c] nên AB = EC
Vậy: AC = 2/3 AF; BC = CM = 2/2 MD; AB = EC = 2/3 EI
c] Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên AD = 1/2 AE
Gọi BP, CQ là các trung tuyến của ΔABC.
ΔBCP = ΔMCF ⇒ BP = FM = 1/2 EM. Ta sẽ chứng minh CQ = 1/2 AM
Ta có:
ΔABD = ΔECD⇒ ∠[BAD] = ∠[CED]
⇒ AB//EC ⇒ ∠[QAC] = ∠[ICA]
Hai tam giác ACQ và CAI có cạnh AC chung, ∠[QAC] = ∠[ICA] ;
AQ = 1/2 AB = 1/2 EC = IC nên chúng bằng nhau.
Vậy CQ = AI = 1/2 AM.
Tóm lại: AD = 1/2 AE, BP = 1/2 EM, CQ = 1/2 AM.