Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn [O] có đường kính AH. Chứng minh rằng:
- Điểm E nằm trên đường tròn[O];
- DE là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Giải:
- Gọi O là trung điểm của AH
Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:
\[ EO = OA = OH ={{AH} \over 2}\] [tính chất tam giác vuông]
Vậy điểm E nằm trên đường tròn \[\left[ {O;{{AH} \over 2}} \right]\]
- Ta có: OH = OE
suy ra tam giác OHE cân tại O
suy ra: \[\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\] [1]
Mà \[\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\] [đối đỉnh] [2]
Trong tam giác BDH ta có:
\[\widehat {HDB} = 90^\circ \]
Suy ra: \[\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra:
\[\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \] [4]
Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD
Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:
\[ED = BD = {{BC} \over 2}\] [tính chất tam giác vuông].
Suy ra tam giác BDE cân tại D
Suy ra: \[\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\] [5]
Từ [4] và [5] suy ra: \[\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \] hay \[\widehat {DEO} = 90^\circ \]
Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn [[O].
Câu 46 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy.
Giải:
* Phân tích
Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
− Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A.
− Tâm I nằm trên tia Oy nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.
* Cách dựng
− Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I.
− Dựng đường tròn [I; IA].
* Chứng minh
Ta có: I thuộc Oy, OA ⊥ IA tại A.
Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn [ I;IA]
hay [I; IA] tiếp xúc với Ox.
* Biện luận
Vì \[\widehat {xOy}\] là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất.
Câu 47 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O] và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn [O] sao cho tiếp tuyến đó song song với d.
Mô hình của một cái lọ thí nghiệm dạng hình trụ [không nắp] có bán kính đường tròn đáy \[14cm\], chiều cao \[10cm.\] Trong các số sau đây, số nào là diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy?
[Lấy \[\displaystyle \pi = {{22} \over 7}\]]
[A] \[564\;c{m^2}\]; [B] \[972\;c{m^2}\];
[C] \[1865\;c{m^2}\]; [D] \[2520\;c{m^2}\];
[E] \[1496\;c{m^2}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: \[{S_{xq}} = 2πrh\]
[\[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[h\] là chiều cao, \[S\] là diện tích đáy].
- Công thức tính diện tích hình tròn: \[S = πr^2\]
[\[r\] là bán kính đường tròn].
Lời giải chi tiết
Diện tích xung quanh lọ là: \[{S_{xq}}= 2πrh\]
\[\displaystyle{S_{xq}} = 2.{{22} \over 7}.14.10 = 880\;[c{m^2}]\]
Diện tích đáy lọ là: \[S = πr^2\]
\[\displaystyle S = {{22} \over 7}{.14^2} = 616[c{m^2}]\]
Diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy là:
\[880+616=1496\;[c{m^2}]\].
Chọn [E].