Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số
Hoạt động khởi động trang 45 Toán 11 Tập 1:
Gọi u1; u2; u3; ...; un lần lượt là diện tích các hình vuông có độ dài cạnh là 1; 2; 3; ...; n. Tính u3 và u4.
Lời giải:
u3 và u4 lần lượt là diện tích của các hình vuông có cạnh bằng 3 và 4. Do đó ta có:
u3 \= 32 \= 9; u4 \= 42 \= 16.
1. Dãy số là gì?
Hoạt động khám phá 1 trang 45 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số:
u: N* → R
n ↦ u[n] = n2.
Tính u[1], u[2], u[50], u[100].
Lời giải:
Ta có:
u[1] = 12 \= 1;
u[2] = 22 \= 4;
u[50] = 502 \= 2 500;
u[100] = 1002 \= 10 000.
Hoạt động khám phá 2 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số:
v: {1;2;3;4;5} →R
n ↦v[n] = 2n.
Tính v[1], v[2], v[3], v[4], v[5].
Lời giải:
Ta có:
v[1] = 2.1 = 2;
v[2] = 2.2 = 4;
v[3] = 2.3 = 6;
v[4] = 2.4 = 8;
v[5] = 2.5 = 10.
Thực hành 1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số:
u: N* → R
n ↦ un \= n3.
- Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.
- Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Lời giải:
- Dãy số trên là dãy số vô hạn.
- Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:
u[1] = 13 \= 1;
u[2] = 23 \= 8;
u[3] = 33 \= 27;
u[4] = 43 \= 64;
u[5] = 53 \= 125.
Vận dụng 1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.
- Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này.
- Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên.
Lời giải:
- Dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này là:
v: {1;2;3;4;5} →R
n ↦ v[n] = πn2.
- Số hạng đầu của dãy số là: v[1] = π.12 \= π.
Số hạng cuối của dãy số là: v[5] = π.52 \= 25π.
2. Cách xác định dãy số
Hoạt động khám phá 3 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho các dãy số [an], [bn], [cn], [dn] được xác định như sau:
+] a1 \= 0; a2 \= 1; a3 \= 2; a4 \= 3; a5 \= 4.
+] bn \= 2n.
+]
+] dn là chu vi của đường tròn có bán kính n.
Tính bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.
Lời giải:
+] Bốn số hạng đầu của dãy [an] là: a1 \= 0; a2 \= 1; a3 \= 2; a4 \= 3.
+] Bốn số hạng đầu của dãy [bn] là:
b1 \= 2.1 = 2;
b2 \= 2.2 = 4;
b3 \= 2.3 = 6;
b4 \= 2.4 = 8.
+] Bốn số hạng đầu của dãy [Cn] là:
c1 \= 1;
c2 \= c1 + 1 = 1 + 1 = 2;
c3 \= c2 + 1 = 2 + 1 = 3;
c4 \= c3 + 1 = 3 + 1 = 4.
+] dn là chu vi của đường tròn có bán kính n được xác định bởi công thức: dn \= 2πn.
Khi đó bốn số hạng đầu của dãy [dn] là:
d1 \= 2π.1 = 2π;
d2 \= 2π.2 = 4π;
d3 \= 2π.3 = 6π;
d4 \= 2π.4 = 8π.
Thực hành 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số [un] xác định bởi:
- Chứng minh u2 \= 2.3; u3 \= 22.3; u4 \= 23.3.
- Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số [un].
Lời giải:
- Ta có:
n = 2 ≥ 1 nên u2 \= 2.u1 \= 2.3.
n = 3 ≥ 1 nên u3 \= 2.u2 \= 2.[2.3] = 22. 3.
n = 4 ≥ 1 nên u4 \= 2.u3 \= 2.[22.3] = 23. 3.
- Dự đoán công thức tổng quát của dãy số [un] là un \= 2n – 1.3.
Vận dụng 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột dỗ [Hình 1]. Gọi un là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số [un] bằng hai cách:
- Viết công thức số hạng tổng quát un.
- Viết hệ thức truy hồi.
Lời giải:
- Ta có u1 \= 14, khi đó:
u2 \= 14 + 1 = 15;
u3 \= 15 + 1 = 14 + 2.1;
u4 \= 14 + 3.1
Khi đó công thức tổng quát của dãy số [un] là: un \= 14 + [n – 1].1.
- Hệ thức truy hồi của dãy số [un] là:
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
Hoạt động khám phá 4 trang 48 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số [an] và [bn] được xác định như sau: an \= 3n + 1, bn \= – 5n.
- So sánh an và an + 1, ∀n ∈ ℕ*.
- So sánh bn và bn + 1, ∀n ∈ ℕ*.
Lời giải:
- Ta có: an \= 3n + 1, an + 1 \= 3[n + 1] + 1 = 3n + 4
Vì n ∈ ℕ* nên 3n + 4 > 3n + 1 hay an + 1 \> an.
- Ta có: bn \= – 5n, bn + 1 \= – 5[n + 1] = – 5n – 5
Vì n ∈ ℕ* nên – 5n – 5 < – 5n hay bn – 1 < bn.
Thực hành 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
- [un] với un=2n−1n+1;
- [xn] với xn=n+24n;
- [tn] với tn \= [– 1]n . n2.
Lời giải:
- Ta có: [un] với un+1=2n+1−1n+1+1=2n+1n+2
Xét hiệu un+1−un=2n+1n+2−2n−1n+1=2n2+3n+1−2n2−3n+2n+2n+1=3n+2n+1>0,∀n∈ℕ*.
Suy ra un+1 \> un, ∀n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số [un] là dãy số tăng.
- Ta có: xn+1=n+1+24n+1=n+34.4n
Xét hiệu xn+1−xn=n+34.4n−n+14n=n+34.4n−4n+44.4n=−3n−14.4n 0, ∀n ∈ ℕ*.
Suy ra tn+1 \> tn, ∀n ∈ ℕ*.
Vì vậy dãy số [tn] là dãy số tăng.
Vận dụng 3 trang 49 Toán 11 Tập 1: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp nhau hơn kém nhau 1 cột gỗ [Hình 2].
- Gọi u1 \= 25 là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, un là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.
- Gọi vt \= 14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, vn là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.
Lời giải:
- [un] là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên nên [un] là dãy số giảm.
- [vn] là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới nên [vn] là dãy số tăng.
4. Dãy số bị chặn
Hoạt động khám phá 5 trang 49 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số [un] với un=1n. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.
Lời giải:
Vì n ∈ ℕ* nên n > 0 do đó 1n \> 0 hay un \> 0.
Vì n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 do đó 1n≤11 \= 1 hay un ≤ 1.
Do đó 0 < un ≤ 1.
Thực hành 4 trang 49 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
- [an] với an=cosπn;
- [bn] với bn=nn+1.
Lời giải:
- Vì −1≤cosπn≤1 nên −1≤an≤1, ∀n ∈ ℕ*.
Do đó dãy số [an] bị chặn trên và chặn dưới.
Vì vậy dãy số [an] bị chặn.
- Ta có: bn=nn+1=n+1−1n+1=1−1n+1
Vì n ∈ ℕ* nên 1n+1>0 nên 1−1n+10 hay bn \> 0.
Suy ra 0 < bn < 1. Do đó [bn] là dãy bị chặn trên và chặn dưới.
Vì vậy dãy số [bn] bị chặn.
Bài tập
Bài 1 trang 50 Toán 11 Tập 1: Tìm u2, u3 và dự đoán công thức số hạng tổng quát của un dãy số:
Lời giải:
Ta có: n = 2 ≥ 1 nên u2=u11+u1=11+1=12.
n = 3 ≥ 1 nên u3=u21+u2=121+12=13.
n = 4 ≥ 1 nên u4=u31+u3=131+13=14.
n = 5 ≥ 1 nên u5=u41+u4=141+14=15.
Dự đoán công thức số hạng tổng quát un của dãy số là: un=1n,∀n∈ℕ*.
Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số [un] với un=11.2+12.3+...+1nn+1. Tìm u1, u2, u3 và dự đoán công thức số hạng tổng quát của un.
Lời giải:
Ta có:
Dự đoán công thức tổng quát:
Bài 3 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số [yn] với yn=n+1−n.
Lời giải:
Ta có: yn+1=n+1+1−n+1=n+2−n+1.
Xét hiệu yn+1−yn=n+2−n+1−n+1+n=n+2+n>0,∀n∈ℕ*.
Suy ra yn+1 \> yn, ∀n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số [yn] tăng.
Bài 4 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
- [an] với an=sin2nπ3+cosnπ4;
- [un] với un=6n−4n+2.
Lời giải:
- Vì 0≤sin2nπ3≤1,∀n∈ℕ* và −1≤cosnπ4≤1,∀n∈ℕ* nên −1≤sin2nπ3+cosnπ4≤2,∀n∈ℕ*
Do đó −1≤an≤2,∀n∈ℕ*
Suy ra dãy số [an] bị chặn.
- Ta có: un=6n-4n+2=6-16n+2
Vì n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 2 ≥ 3
⇒−16n+2≥−163
⇒6−16n+2≥6−163
⇒un≥23.
Mặt khác n ∈ ℕ* nên n > 0 do đó 16n+2>0 khi đó un < 6.
Suy ra 23≤un 0 do đó 3n+1>0 khi đó un < 2.
Suy ra 13≤un0,∀n∈ℕ*.
Suy ra un+1 \> un nên dãy số [un] tăng.
Vậy dãy số [un] tăng và bị chặn.
Bài 6 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số [un] với un=na+2n+1. Tìm các giá trị của a để:
- [un] là dãy số tăng;
- [un] là dãy số giảm.
Lời giải:
Ta có: un+1=n+1a+2n+1+1=n+1a+2n+2
Xét hiệu:
un+1−un=n+1a+2n+2−na+2n+1=n+1a+2n+1n+2n+1−na+2n+2n+1n+2
\=n2+2n+1a+2n+2n+2n+1−n2+2na+2n+4n+1n+2=a−2n+1n+2
Vì n ∈ ℕ* nên [n + 1][n + 2] > 0 nên dấu của hiệu un+1 – un phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.
- Để [un] là dãy số tăng thì un+1 – un \> 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.
- Để [un] là dãy số giảm thì un+1 – un < 0 nên a – 2 < 0 ⇔ a < 2.
Bài 7 trang 50 Toán 11 Tập 1: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?
Lời giải:
Độ dài cạnh của hình vuông số 1 là: 1;
Độ dài cạnh của hình vuông số 2 là: 1;
Độ dài cạnh của hình vuông số 3 là: 2;
Độ dài cạnh của hình vuông số 4 là: 3;
Độ dài cạnh của hình vuông số 5 là: 5;
Độ dài cạnh của hình vuông số 6 là: 8;
Độ dài cạnh của hình vuông số 7 là: 13;
Độ dài cạnh của hình vuông số 8 là: 21.
Ta có dãy số: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21.
Nhận xét: Dãy số trên có đặc điểm là:
Trong ba số hạng liên tiếp, số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng đầu.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 5: Phương trình lượng giác
Bài tập cuối chương 1
Bài 2: Cấp số cộng
Bài 3: Cấp số nhân
Bài tập cuối chương 2