Khảo sát chiều biến thiên của hàm số $y=f\left[ x \right]$ dựa vào bảng xét dấu ${y}'$.
Phương pháp giải bài tìm khoảng đồng biến ngịch biến của hàm số
Bước 1.Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm ${y}'={f}'\left[ x \right]$.
Bước 2.Tìm các điểm tại đó ${f}'\left[ x \right]=0$hoặc${f}'\left[ x \right]$ không xác định.
Bước 3.Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của ${y}'$.
Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho ${y}'$.
Bước 4.Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của ${y}'$.
Bài tập tìm khoảng đồng biến nghịch biến có đáp án
Bài tập 1:Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số saua] $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$b]$y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x=0 \\{} x=2 \\ \end{array} \right.$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;0 \right]$ và $\left[ 2;+\infty\right]$, nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;2 \right]$.
b] TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-4x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x=0 \\{} x=\pm 1 \\ \end{array} \right.$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -1;0 \right]$ và $\left[ 1;+\infty\right]$, nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ và $\left[ 0;1 \right]$
Bài tập 2:Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số saua]$y=-{{x}^{3}}+3x-2$b] $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2$
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}+3=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x=-1 \\{} x=1 \\ \end{array} \right.$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -1;1 \right]$ và nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ và $\left[ 1;+\infty\right]$.
b] TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\left[ x-3 \right]$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ 3;+\infty\right]$, nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;3 \right]$.
Bài tập 3:Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số saua]$y=\frac{x+3}{x-1}$.b] $y=\frac{3x+1}{x+1}$.
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Ta có: ${y}'=\frac{-4}{{{\left[ x-1 \right]}^{2}}}0\text{ }\left[ \forall x\in D \right]$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ và $\left[ -1;+\infty\right]$.
Bài tập 4:Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số saua] $y=x+\frac{4}{x}$.b]$y=\frac{{{x}^{2}}-x+9}{x-1}$.
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. Ta có: ${y}'=1-\frac{4}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} x=-2 \\ \end{array} \right.$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$ và $\left[ 2;+\infty\right]$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -2;0 \right]$ và $\left[ 0;2 \right]$.
b] TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Ta có: ${y}'=\frac{\left[ 2x-1 \right]\left[ x-1 \right]-\left[ {{x}^{2}}-x+9 \right]}{{{\left[ x-1 \right]}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-8}{{{\left[ x-1 \right]}^{2}}}=0\text{ }\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x=-2 \\{} x=4 \\ \end{array} \right.$.
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$ và $\left[ 4;+\infty\right]$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left[ -2;1 \right]$ và $\left[ 1;4 \right]$.
Bài tập 5:Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số saua]$y=\sqrt{16-{{x}^{2}}}$b]$y=\sqrt{6x-{{x}^{2}}}$
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\left[ -4;4 \right]$. Ta có: ${y}'=\frac{-2x}{2\sqrt{16-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow x=0$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -4;0 \right]$ và hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;4 \right]$.
b] TXĐ: $D=\left[ 0;6 \right]$
Ta có: ${y}'=\frac{6-2x}{2\sqrt{6x-{{x}^{2}}}}=0\text{ }\Leftrightarrow x=3$.
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 3;6 \right]$.
Bài tập 6:Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số saua]$y=\sqrt{{{x}^{2}}-4x}$b]$y=\sqrt{{{x}^{2}}-8x+12}$
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\left[ -\infty ;0 \right]\cup \left[ 4;+\infty\right]$. Ta có: ${y}'=\frac{2x-4}{2\sqrt{{{x}^{2}}-4x}}=0\Leftrightarrow x=2$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 4;+\infty\right]$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;0 \right]$.
b] TXĐ: $D=\left[ -\infty ;2 \right]\cup \left[ 6;+\infty\right]$
Ta có: ${y}'=\frac{2x-8}{2\sqrt{{{x}^{2}}-8x+12}}=0\text{ }\Leftrightarrow x=4$.
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 6;+\infty\right]$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;2 \right]$.
Bài tập 7:Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số saua]$y=x+1-2\sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}$b]$y=2x+1-\sqrt{2{{x}^{2}}-8}$
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}'=1-\frac{2\left[ 2x+3 \right]}{2\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}-\left[ 2x+3 \right]}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}=0\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=2x+3$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} 2x+3\ge 0 \\{} {{x}^{2}}+2x+3=4{{x}^{2}}+12x+9 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} 2x\ge -3 \\{} \left[ \begin{array}{} x=-1 \\{} x=-2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1$
Bảng biến thiên [xét dấu]:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -1;+\infty\right]$ và nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$.
b] TXĐ: $D=\left[ -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;+\infty\right]$
Ta có: ${y}'=2-\frac{4x}{2\sqrt{2{{x}^{2}}-8}}=\frac{2\sqrt{2{{x}^{2}}-8}-2x}{\sqrt{2{{x}^{2}}-8}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}-8}=2x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x\ge 0 \\{} 2{{x}^{2}}-8=4{{x}^{2}} \\ \end{array} \right.$ [vô nghiệm].
Bảng biến thiên [xét dấu]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$ và $\left[ 2;+\infty\right]$.