Công đoạn 1, chọn số d có 3 cách chọn [Vì abcd¯ là số lẻ nên d chỉ có thể chọn một trong 3 số 1; 3; 5].
Công đoạn 2, chọn số a có 5 cách chọn [Vì a ≠ 0; a ≠ d nên a không được chọn số 0 và số d đã chọn].
Công đoạn 3, chọn số b có 5 cách chọn [Vì b ≠ a; b ≠ d nên b không được chọn lại số a, d đã chọn].
Công đoạn 4, chọn số c có 4 cách chọn [Vì c ≠ a; c ≠ b; c ≠ d nên c không được chọn lại số a, b, d đã chọn].
Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân ta có số các số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là: 3.5.5.4 = 300.
a] Việc lập số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau từ 6 chữ số đã cho là chỉnh hợp chập 4 của 6. Do đó số số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là: \[A_6^4 = 360\] [số].
Vậy có tất cả 360 số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho.
b] Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \], trong đó a, b, c, d là các chữ số khác nhau từng đôi một lấy từ các chữ số đã cho, a ≠ 0.
Vì bốn chữ số được lấy từ các 6 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Do trong dãy số này có chứa số 0 nên việc lập số có bốn chữ số cần tìm được chia thành 4 giai đoạn:
Dễ thấy, nếu không dùng bất kì chữ số nào của $A$ thì sẽ không thể tạo được một số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có các trường hợp sau.
*TH1: Chọn số $0$, cả hai số của $C$ và $2$ trong $3$ số của $B$.
- Chọn $2$ trong $3$ số của $B$, có $C_3^2$ cách
- Chọn vị trí cho chữ số $0$ có $4$ cách.
- Xếp $4$ chữ số còn lại vào $4$ vị trí, có $4!$ cách
TH1 có: $C_3^2.4.4!$ số.
*TH2: Chọn số $3$ hoặc số $6$, cả hai số của $C$ và $2$ trong $3$ số của $B$.
- Chọn số $3$ hoặc số $6$ có 2 cách.
- Chọn $2$ trong $3$ số của $B$, có $C_3^2$ cách
- Xếp $5$ chữ số đã chọn vào $5$ vị trí, có $5!$ cách
TH2 có: $2.C_3^2.5!$ số
*TH3: Chọn cả hai số số $3,6$, cả ba số của $B$. Có $5!$ số.
*TH4: Chọn cả $3$ số của $B$, 2 số của $A$ trong đó có $0$.
- Chọn $0,3$ hoặc $0,6$ có $2$ cách.
- Chọn vị trí cho chữ số $0$ có $4$ cách.
- Xếp $4$ chữ số còn lại vào $4$ vị trí, có $4!$ cách
TH4 có: $2.4.4!$ số.
*TH5: Chọn cả $3$ số của $A$, 1 số của $B$, 1 số của $C$.
- Chọn $1$ số của $B$ có $3$ cách.
- Chọn $1$ số của $C$ có $2$ cách.
- Chọn vị trí cho chữ số $0$ có $4$ cách.
- Xếp $4$ chữ số còn lại vào $4$ vị trí, có $4!$ cách
TH5 có: $6.4.4!$ số.
Tổng cộng có: $6.4.4!+2.4.4!+5!+2.C_3^2.5!+C_3^2.4.4!=1896$ số
Câu 2.24 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. b] Xét việc lập số lẻ \[\overline {abcd} \]. Chữ số \[d \in \left\{ {1,3,9} \right\}\] có 3 cách chọn. Chữ số a có \[4 -. Bài 2: Hoán vị chỉnh hợp và tổ hợp
Advertisements [Quảng cáo]
Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9 có thể lập được
a] Bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau
b] Bao nhiêu số lẻ với 4 chữ số khác nhau
c] Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau
d] Bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
a] Có\[A_5^4 = 120\] số có 4 chữ số khác nhau từ tập các chữ số \[\left\{ {0,1,3,6,9} \right\}\] [có thể bắt đầu với chữ số 0]. Có \[A_4^3 = 24\] số có 4 chữ số bắt đầu bởi số 0. Vậy có \[120 – 24 = 96\] số có 4 chữ số khác nhau.
b] Xét việc lập số lẻ \[\overline {abcd} \]. Chữ số \[d \in \left\{ {1,3,9} \right\}\] có 3 cách chọn. Chữ số a có \[4 – 1 = 3\] cách chọn. Chữ số b có \[5 – 2 = 3\] cách chọn và chữ số c có 2 cách chọn. Vậy có 3.3.3.2 = 54 số lẻ.
c] Có \[96 – 54 = 42\] số chẵn.
d] Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Trong tập hợp \[\left\{ {0,1,3,6,9} \right\}\] có duy nhất số 1 chia hết cho 3. Vậy số đó chia hết cho 3 khi và chỉ khi các chữ số của nó thuộc tập \[\left\{ {0,3,6,9} \right\}\]. Có 4! Số có 4 chữ số khác nhau từ \[\left\{ {0,3,6,9} \right\}\] [có thể bắt đầu với chữ số 0]. Có 3! Số có 4 chữ số khác nhau từ \[\left\{ {0,3,6,9} \right\}\] bắt đầu với chữ số 0. Vậy kết quả là có