Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm trên đồ thị có tọa độ là các số nguyên

16:29:2429/09/2021

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 thực ra là bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm.

Vì vậy cách viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y0 cho trước cũng sẽ vận dụng tương tự cách viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm, cụ thể:

I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 như sau

- Bước 1:  Gọi M[x0, y0] là tiếp điểm. Từ y0 ta giải phương trình f[x] = y0 tìm được các nghiệm x0.

- Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'[x] của hàm số f[x] ⇒ f'[x0].

- Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm [x0, y0] có dạng:

 y - y0 = f'[x0].[x - x0]

> Lưu ý: Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.

II. Bài tập minh họa viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0

* Bài tập 1: Cho hàm số y= x3 + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 2.

> Lời giải:

Hàm số y= x3 + 4x + 2.

- Xét phương trình: x3+ 4x+ 2= 2

⇔ x3+ 4x = 0 ⇔ x= 0

- Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 4

⇒ y’[0] = 2.02 + 4 = 4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2 có dạng: y - y0 = f'[x0].[x - x0]

⇔ y - 2 = 4[x – 0]

⇔ y= 4x + 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của hàm số y= x3 + 4x + 2 tại điểm có tung độ bằng 2 là: y= 4x + 2.

* Bài tập 2: Cho hàm số y = x3 + x2 + 3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 3.

> Lời giải:

- Hàm số y = x3 + x2 + 3

- Tung độ y0 = 3, xét phương trình: x3+ x2 + 3= 3

⇔ x3+ x2 = 0 ⇔ x2[x + 1] = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -1

Như vậy sẽ có 2 tiếp tuyến tại hai điểm có tung độ bằng 3 là [0;3] và [-1;3].

- Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 2x

⇒ y’[0] = 3.02 + 2.0 = 0

 và y'[-1] = 3.[-1]2 + 2.[-1] = 3 - 2 = 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2 có dạng: y - y0 = f'[x0].[x - x0]

* Với điểm có tọa độ [0;3] là: y - 3 = 0.[x - 0] ⇔ y = 3

* Với điểm có tọa độ [-1;3] là: y - 3 = 1.[x - [-1]]  ⇔ y = x + 4

Vậy tại điểm có tung độ bằng 3 hàm số y = x3 + x2 + 3 có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 3 và y = x + 4.

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 cho trước, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.

Tags

Bài viết khác

• Cấu tạo phân tử của Nitơ, Tính chất vật lí, Tính chất hóa học của Nitơ, Cách điều chế và ứng dụng Nitơ - Hoá 11 bài 7
• Tính chất hoá học, tính chất vật lí của axit Photphoric H3PO4, cấu tạo phân tử, điều chế và ứng dụng - Hóa 11 bài 11
• Bài tập axit Photphoric, muối Photphat: Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 53, 54 SGK Hóa 11 bài 11
• Bài tập Photpho: Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 49, 50 SGK Hóa 11 bài 10
• Tính chất hoá học của Photpho, Tính chất vật lí của photpho, sản xuất và ứng dụng photpho - Hoá 11 bài 10
• Liên kết đơn, Liên kết đôi, Liên kết ba là gì? Nội dung và ý nghĩa thuyết cấu tạo hóa học trong hợp chất hữu cơ - Hóa 11 bài 22
• Bài tập Cấu trúc phân tử của hợp chất hữu cơ: Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 101, 102 SGK Hóa 11 bài 22
• Bài tập Amoniac và Muối Amoni: Giải bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 37, 38 SGK Hóa 11 bài 8
• Công thức tính công, công suất của nguồn điện, Công thức định luật Jun-len-xơ, Điện năng tiêu thụ, công suất điện - Vật lý 11 bài 8
• Tụ điện, Công thức tính điện dung của tụ điện, Công thức tính năng lượng điện trường trong tụ điện - Vật lý 11 bài 6

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn

Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mong thầy cô và các bạn giúp em mấy bài sau , em không hiểu ?

Câu 1 : Cho hàm số y= x/x-1
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [ Câu này em làm được rồi ] b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại các điểm M[xo,yo] mà xo,yo là các số nguyên ?

c] Tìm tọa độ của các điểm trên đồ thị [C] sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của nó đạt giá trị nhỏ nhất ?

Câu 2 : Cho hàm số y=x^3-3x-1
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [ Em làm được rồi ]
b] Tìm tọa độ các điểm trên [C] , cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho ?

Câu 1 : Cho hàm số y= x/x-1

b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại các điểm M[xo,yo] mà xo,yo là các số nguyên ?

[laTEX]y = \frac{x}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1}[/laTEX] y nguyên khi x-1 là ước của 1 [laTEX]x-1 = 1 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow M [2,2] \\ \\ x-1 = -1 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow M [0,0][/laTEX]

có toạ độ M rồi thì tiếp tuyến đơn giản nhé em

Câu 1 : Cho hàm số y= x/x-1
c] Tìm tọa độ của các điểm trên đồ thị [C] sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của nó đạt giá trị nhỏ nhất ?

[laTEX]M [ m , 1 + \frac{1}{m-1} ] \\ \\ d_1 = d[M , x = 1] = |m-1| \\ \\ d_2 = d[ M , y = 1] = \frac{1}{|m-1|} \\ \\ d_1+d_2 = |m-1| + \frac{1}{|m-1|} \geq 2 \\ \\ \Rightarrow [m-1]^2 = 1 \Rightarrow m = ? \Rightarrow M = ?[/laTEX]

Câu 2 : Cho hàm số y=x^3-3x-1
b] Tìm tọa độ các điểm trên [C] , cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho ?

Tìm 2 điểm cực trị A , B Viết pt đường thẳng [d] là trung trực của AB

cho [d] giao [C] tại đâu thì đó là điểm cách đều cực trị

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bài giảng: Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Quảng cáo

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f[x] có đồ thị [C] và điểm. M0 [x0; y0] ∈ [C]

Tiếp tuyến của đồ thị [C] tại điểm M0 có dạng y = f'[x0 ][x - x0 ] + y0

Trong đó:

 Điểm M0 [x0; y0] ∈[C] được gọi là tiếp điểm [ với y0 = f[x0]].

 k = f'x0] là hệ số góc của tiếp tuyến.

 Chú ý:

 Đường thẳng bất kỳ đi qua M0 [x0; y0] có hệ số góc k, có phương trình

y = k[x - x0 ] + y0

 Cho hai đường thẳng Δ1:y = k1 x + m1 và Δ2:y = k2 x + m2

Lúc đó:

2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Cho hai hàm số y = f[x],[C] và y = g[x],[C']

[C] và [C' ] tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình

có nghiệm.

Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.

Đặc biệt: Đường thẳng y = kx + m là tiếp tuyến với [C]:y = f[x] khi chỉ khi hệ

có nghiệm.

3. Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp

Cho hàm số y = f[x] gọi đồ thị của hàm số là [C]

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]:y = f[x] tại M0 [x0; y0]

Phương pháp

Bước 1. Tính y' = f' [x] suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y' [x0].

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] tại điểm M0 [x0; y0] có dạng

y - y0 = f'[x0][x - x0]

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]:y = f[x] có hệ số góc k cho trước.

Phương pháp

Bước 1. Gọi M0 [x0; y0] là tiếp điểm và tính y' = f' [x].

Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f' [x0]. . Giải phương trình này tìm được x0 thay vào hàm số được y0.

Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng

d: y - y0 = f' [x0][x - x0]

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b[a ≠ 0]⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tan⁡α

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]:y = f[x] biết tiếp tuyến đi qua điểm A[xA; yA]

Phương pháp

Cách 1.

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A[xA; yA] hệ số góc k có dạng

d:y = k[x - xA ] + yA [*]

Bước 2: là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình [*], ta được tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2.

Bước 1. Gọi M[x0; f[x0 ]] là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến

k = y'[x0 ] = f' [x0] theo x0

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y'[x0 ][x - x0 ] + y0 [**]. Do điểm A[xA; yA] ∈ d nên yA = y'[x0 ][xA - x0 ] + y0 giải phương trình này ta tìm được x0 .

Bước 3. Thế x0 vào [**] ta được tiếp tuyến cần tìm.

Quảng cáo

Ví dụ 1: Cho hàm số [C]:y = x3 + 3x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M[1; 4].

Hướng dẫn

Ta có y' = 3x2 + 6x; y'[1] = 9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M[1; 4] là:

y = 9[x - 1] + 4 = 9x - 5

Ví dụ 2: Cho hàm số [C]:y = 4x3 - 6x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến đi qua điểm A[-1; -9].

Hướng dẫn

Ta có y' = 12x2 - 12x

Gọi M[x0, y0] là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M có dạng:

y = [12x02 - 12x0> ][x - x0 ] + 4x03 - 6x02 + 1

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A[-1; -9] nên ta có:

-9 = [12x02 - 12x0 ][ -1 - x0 ] + 4x03 - 6x03 + 1

Với

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 15/4 [x - 5/4] - 9/16 = 15/4 x - 21/4

Với x0 = -1 thì

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 24[x + 1] - 9 = 24x + 15

Ví dụ 3: Cho hàm số [C]:

. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0

Hướng dẫn

ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = 3/[x + 2]2 .

Phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 hay Δ:y = 3x + 2

Gọi tọa độ tiếp điểm là M[x0, y0]

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 nên ta có

Với x0 = -1

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3[x + 1] - 1 = 3x + 2 [loại].

Với x0 = -3

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3[x + 3] + 5 = 3x + 14 [thỏa mãn]

Quảng cáo

Câu 1: Cho hàm số y = -2x3 + 6x2 - 5. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M có hoành độ bằng 3.

Hiển thị đáp án

Ta có y' = -6x2 + 12x; y' [3] = -18; y[3] = -5

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là

y = -18[x - 3] - 5 = -18x + 49

Câu 2: Cho hàm số [C]:y = 1/4x4 - 2x2. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M có hoành độ x0 > 0 biết rằng y'' [x0 ]= -1.

Hiển thị đáp án

Ta có y' = x3 - 4x; y'' = 3x2 - 4

Vì y'' [x0 ] = -1 ⇒ 3x02 - 4 = -1 ⇒ x02 = 1 ⇒ x0 = 1 [Vì x0 > 0]

Với x0 = 1 ⇒ y0 = -7/4 ; y0' = -3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:

y = -3[x - 1] - 7/4 = -3x + 5/4

Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]:y =[x - 5]/[-x + 1] tại điểm A của [C] và trục hoành. Viết phương trình của d.

Hiển thị đáp án

Hoành độ giao điểm của [C] và trục hoành là nghiệm của phương trình

[x - 5]/[-x + 1] = 0 ⇒ x = 5

Khi đó tọa độ điểm A = [5; 0]

ĐKXĐ x ≠ 1. Ta có y'= [-4]/[-x + 1]2 ; y'[5] = -1/4

Phương trình đường thẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại điểm A[5;0] có dạng

y = -1/4 [x - 5] = -1/4 x + 5 /4

Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = 3x - 4x2 có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến đi qua điểm A[1; 3].

Hiển thị đáp án

Ta có y' = 3 - 8x

Gọi M[x0 , y0] là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M có dạng:

y = [3 - 8x0 ][x - x0 ] + 3x0 - 4x02

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A[1; 3] nên ta có:

3 = [3 - 8x0 ][1 - x0 ] + 3x0 - 4x02

Với x0 = 0 thì

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3[x - 0] + 0 = 3x

Với x0 = 2 thì

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -13[x - 2] - 10 = -13x + 16

Câu 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 6x + 1 có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Hiển thị đáp án

Gọi M[x0,y0] là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y' = 3x2 - 6x + 6

Khi đó y' [x0 ]=3x02 - 6x0 + 6 = 3[x02 - 2x0 + 2] = 3[[x0 - 1]2 + 1] ≥ 3

Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y' [x0] = 3, dấu bằng xảy ra khi x0 = 1

Với x0 = 1 thì

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3[x - 1] + 5 = 3x + 2

Câu 6: Cho hàm số [C]:y = x3 - 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.

Hiển thị đáp án

Gọi M[x0, y0] là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y' = 3x2 - 3

Khi đó y'[x0 ] = 3x02 - 3 = 9

Với x0 = 2 thì

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9[x - 2] + 4 = 9x - 14

Với x0 = -2 thì

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9[x + 2] + 0 = 9x + 18

Câu 7: Cho hàm số y = [-x + 5]/[x + 2] có đồ thị là [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y = -1/7 x + 5/7

Hiển thị đáp án

ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = [-7]/[x + 2]2 .

Gọi tọa độ tiếp điểm là M[x0, y0]

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình d:y = -1/7 x + 5/7 nên ta có

Với

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -1/7 [x - 5] + 0 = -1/7 x + 5/7 [loại].

Với x0 = -9

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -1/7 [x + 9] - 2 = -1/7 x - 23/7 [thỏa mãn].

Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x4 - 2x2 + 3 vuông góc với đường thẳng Δ: x - 8y + 2017 = 0

Hiển thị đáp án

Ta có y'= -4x3 - 4x.

Gọi tọa độ tiếp điểm là M[x0, y0]

Phương trình Δ:x - 8y + 2017 = 0 hay Δ: y = 1/8 x + 2017/8

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình d:y = 1/8 x + 2017/8 nên ta có

y'[x0 ] = -8 hay -4x03 - 4x0 = -8 ⇔ x0 = 1

Với

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8[x - 1] + 0 = -8x + 8 [thỏa mãn].

Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x3 + 1/2 x2 - 2x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y - 1 = 0 một góc 450.

Hiển thị đáp án

Gọi tọa độ tiếp điểm là M[x0, y0].

Có y' = x2 + x - 2

Phương trình đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0 ⇔ y = -1/3 x + 1/3

Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0 một góc 450 nên ta có

Với

. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Với

x0 = 0 ⇒ y[x0 ]= 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = -2[x - 0] + 1 = -2x + 1

x0 = -1 ⇒ y[x0 ] = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = -2[x + 1] + 19/6 = -2x + 7/6

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

;

y = -2x + 1; y = -2x + 7/6

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

tiep-tuyen.jsp