Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
LG a
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
\[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1\];
Phương pháp giải:
Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính \[f'\left[ x \right]\]. Giải phương trình \[f'\left[ x \right] =0\] và kí hiệu \[{x_i}\left[ {i = 1,2,...,n} \right]\]là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính \[f''\left[ x \right]\] và \[f''\left[ {{x_i}} \right]\].
Bước 4: Dựa vào dấu của \[f''\left[ {{x_i}} \right]\] suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb R.\]
\[y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x[{x^2} - {\rm{ }}1]\];
\[y' = 0\] \[4x[x^2- 1] = 0\] \[ x = 0, x = \pm 1\].
\[ y'' = 12x^2-4\].
\[y''[0] = -4 < 0\] nên hàm số đạt cực đại tại \[x = 0\],
\[y\]CĐ= \[ y[0] = 1\].
\[y''[\pm 1] = 8 > 0\] nên hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm1\],
\[y\]CT= \[y[\pm1]\] = 0.
LG b
\[ y = \sin 2x x\];
Phương pháp giải:
Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết:
TXĐ:\[D = \mathbb R.\]
\[y' = 2\cos 2x - 1\] ;
\[y'=0\Leftrightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\] \[\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi\]
\[\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi .\]
\[y'' = -4\sin 2x\].
\[y''\left [ \dfrac{\pi }{6} +k\pi \right ]=-4\sin \left [ \dfrac{\pi }{3} +k2\pi \right ]\]
\[=-2\sqrt{3}0\]nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \[x =-\dfrac{\pi }{6}+ kπ\],
\[y\]CT= \[\sin [-\dfrac{\pi }{3}+ k2π] + \dfrac{\pi }{6} -kπ\] =\[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi }{6} -kπ\] , \[k\mathbb Z\].
LG c
\[y = \sin x + \cos x\];
Phương pháp giải:
Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết:
TXĐ:\[D = \mathbb R.\]
\[y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left [x+\dfrac{\pi }{4} \right ]\];
\[ y' =\sqrt{2}\cos \left [x+\dfrac{\pi }{4} \right ]\];
\[y'=0\Leftrightarrow \cos \left [x+\dfrac{\pi }{4} \right ]=0\Leftrightarrow\]\[x+\dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi .\]
\[y''=-\sqrt{2}\sin \left [ x+\dfrac{\pi }{4} \right ].\]
\[y''\left [ \dfrac{\pi }{4} +k\pi \right ]=-\sqrt{2}\sin \left [ \dfrac{\pi }{4}+k\pi +\dfrac{\pi }{4} \right ]\]
\[=-\sqrt{2}\sin \left [ \dfrac{\pi }{2} +k\pi \right ]\]
\[=\left\{ \matrix{
- \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr
\sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\]
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm\[x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi\],
đạt cực tiểu tại các điểm\[x=\dfrac{\pi }{4}+[2k+1]\pi [k\in \mathbb{Z}].\]
LG d
\[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\].
Phương pháp giải:
Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết:
TXĐ:\[D = \mathbb R.\]
\[y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}[{x^2} - {\rm{ }}1][5{x^2} + {\rm{ }}2]\]; \[y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm 1\].
\[y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x\].
\[y''[1] = 14 > 0\] nên hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\],
\[y\]CT= \[ y[1] = -1\].
\[y''[-1] = -14 < 0\] hàm số đạt cực đại tại \[x = -1\],
\[y\]CĐ= \[y[-1] = 3\].