Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đó là bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của cạnh ấy trên cạnh huyền, ta được:
\[x^2=1.5\Leftrightarrow x=\sqrt{5}\]
\[y^2=5.4\Leftrightarrow y=2\sqrt{5}\]
3. Giải bài 3 trang 69 SGK Toán 9 tập 1
Hãy tính x và y trong hình sau [h.6]
Phương pháp giải
- Sử dụng định lí Pytago để tính cạnh huyền.
- Sử dụng hệ thức liên quan đến đường cao để tính đường cao: \[\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\]
- Hoặc sử dụng công thức: \[b.c = h.a\]
Hướng dẫn giải
Ta có y có vai trò là cạnh huyền của tam giác vuông nên: \[y=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}\]
Áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông, ta có
\[\frac{1}{x^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}\]
\[\Rightarrow x=\sqrt{\frac{5^2.7^2}{5^2+7^2}}=\frac{35\sqrt{74}}{74}\]
4. Giải bài 4 trang 69 SGK Toán 9 tập 1
Hãy tính x và y trong hình sau
.png]
Phương pháp giải
- Sử dụng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu \[h^2=b'.c'\]. Biết \[h,\ c'\] tính được \[b'\].
- Tính độ dài cạnh huyền: \[a=b'+c'\].
- Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền \[b^2=b'.a\]. Biết \[a,\ b'\] tính được \[b\].
Hướng dẫn giải
Đặt tên như trong hình vẽ, áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABH vuông tại H, ta có
\[AH=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và hình chiếu, ta có
\[AH^2=BH.BC\Leftrightarrow [\sqrt{5}]^2=1.[1+x]\]
\[\Rightarrow x=4\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác AHC vuông tại H, ta có:
\[AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\]
5. Giải bài 5 trang 69 SGK Toán 9 tập 1
Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền
Phương pháp giải
- Dùng định lí Pytago để tính cạnh huyền.
- Dùng hệ thức \[h.a=b.c\]. Biết hai cạnh góc vuông \[b,\ c\] và cạnh huyền \[a\] tính được đường cao \[h\].
- Biết cạnh huyền \[a\] và các cạnh góc vuông \[a,\ c\]. Dùng các hệ thức \[b^2=b'.a\]; \[c^2=c'.a\] suy ra \[b' =\dfrac{b^2}{a};\ c'=\dfrac{c^2}{a}\].
Hướng dẫn giải
.png]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\]
Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác ABC vuông tại A, AHB vuông tại H, AHC vuông tại H, ta có:
\[AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=2,4\]
\[AB^2=BC.BH\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{3^2}{5}=1,8\]
\[CH=BC-BH=5-1,8=3,2\]
6. Giải bài 6 trang 69 SGK Toán 9 tập 1
Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Phương pháp giải
- Tính cạnh huyền: \[a=b' +c'\].
- Dùng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền \[b^2=b'.a;\ c^2=c'.a\], biết hình chiếu \[b',\ c'\] và cạnh huyền \[a\], tính được \[a,\ b\].
Hướng dẫn giải
.png]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có:
\[AH^2=BH.CH\Rightarrow AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{1.2}=\sqrt{2}\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABH vuông tại H, ta có:
\[AH=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{3^2-3}=\sqrt{6}\]
7. Giải bài 7 trang 69 SGK Toán 9 tập 1
Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b [tức là x2 = ab] như trong hai hình sau:
.png]
Dựa vào các hệ thức [1] và [2], hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng
Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông
Phương pháp giải
- Đặt tên các điểm và nối các điểm lại để xuất hiện tam giác.
- Dùng dấu hiệu: "tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông" để chứng minh tam giác vuông.
- Dùng các hệ thức sau để chứng minh \[x\] là trung bình nhân của \[a,\ b\]
- \[b^2=a.b',\ c^2=a.c'\] \[[1]\]
- \[h^2=b'.c'\] \[[2]\]
- Nêu các bước để vẽ được đoạn trung bình nhân.
Hướng dẫn giải
Giả sử tam giác ABC có góc BAC = 90o, AH ⊥ BC, BH = 3, CH = 4
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
AB2 = BH.BC = 3.[3 + 4] = 3.7 = 21 ⇒ AB = √21
AC2 = CH.BC = 4.[3 + 4] = 4.7 = 28 ⇒ AC = √28 = 2√7
8. Giải bài 8 trang 70 SGK Toán 9 tập 1
Tìm x và y trong mỗi hình sau
.png] .png]
Phương pháp giải
Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu \[h^2=b'.c'\], biết \[b',\ c'\] tính được \[h\].
Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hai cạnh góc vuông \[\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\] để tính \[y\].
Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông để tính \[x\].
Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu \[h^2=b'.c'\], biết \[h,\ b'\] tính được \[c'\].
Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
Giả sử tam giác ABC có góc [BAC] = 900
Theo đề bài, ta có: BC – AB = 1 [cm] [1]
AB + AC – BC = 4 [cm] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: BC – AB + AB + AC – BC = 4 + 1 = 5 [cm]
Theo định lí Pi-ta-go, ta có: BC2 = AB2 + AC2 [3]
Từ [1] suy ra: BC = AB + 1 [4]
Thay [4] vào [3] ta có
[AB + 1]2 = AB2 + AC2
⇔ AB2 + 2AB + 1 = AB2 + 52
⇔ 2AB = 24 ⇔ AB = 12 [cm]
Thay AB = 12 [cm] vào [1] ta có: BC = 12 + 1 = 13 [cm]
9. Giải bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng
- Tam giác DIL là một tam giác cân
- Tổng \[\frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{K^2}}}\] không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB
Phương pháp giải
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau\[[\Delta{ADI}\] và \[\Delta{CDL}]\] từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\] để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.