Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $M[x_M;y_M]$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M[x_M;y_M]$ đến đường thẳng $\Delta$ được xác định bởi công thức:
$d[M,\Delta]=\dfrac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ chính là đoạn MH với H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng $\Delta$.
Như vậy để tính được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ thì chúng ta cần phải xác định được 2 yếu tố:
- Tọa độ điểm M
- Phương trình của đường thẳng $\Delta$
Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng a lần lượt có phương trình là: $2x+3y-1=0$ và $4x+3y-5=0$
a. Tính khoảng cách từ điểm $M[2;1]$ đến đường thẳng $\Delta$
b. Tính khoảng cách từ điểm $A[2;4]$ đến đường thẳng $a$
Hướng dẫn:
a. Khoảng cách từ điểm $M[2;1]$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d[M,\Delta]=\dfrac{|2.2+3.1-1|}{\sqrt{2^2+3^2}}$
=> $d[M,\Delta]=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
=> $d[M,\Delta]=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$
b. Khoảng cách từ điểm $A[2;4]$ đến đường thẳng $a$ là:
$d[M,a]=\dfrac{|4.2+3.4-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}$
=> $d[M,a]=\dfrac{15}{\sqrt{4^2+3^2}}$
=> $d[M,a]=\dfrac{15}{5}=3$
Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết $A[1;2]$; $B[2;3]$; $C[-1;2]$. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC.
Hướng dẫn:
Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC.
Ta có: $\vec{BC}=[-3;-1]$
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là: $\vec{n}_{BC}=[1;-3]$
Đường thẳng BC đi qua điểm $B[2;3]$ có phương trình là:
$1.[x-2]-3[y-3]=0$ $x-3y+7=0$
Khoảng cách từ điểm $A[1;2]$ đến đường thẳng BC là:
$d[A,BC]=\dfrac{|1-3.2+7|}{\sqrt{1^2+[-3]^2}}$
=> $d[A,BC]=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$
=> $d[A,BC]=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC bằng: $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Bài tập 3: Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng a có phương trình: $x+y-3=0$ và có khoảng cách đến đường thẳng b có phương trình $3x-4y+5=0$ bằng 3.
Hướng dẫn:
Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng a. Khi đó ta có tọa độ của điểm $M$ là: $M[x_M;-x_M+3]$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b là:
$d[M,b]=\dfrac{|3x_M-4[x_M+3]+5|}{\sqrt{3^2+[-4]^2}}$
=> $ d[M,b] = \dfrac{|-x_M-7|}{5}$
=> $ d[M,b] = \dfrac{|x_M+7|}{5}$
Theo bài ra khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b bằng 3 nên ta có:
$ \dfrac{|x_M+7|}{5}=3$
$|x_M+7|=15$
$x_M+7=15$ hoặc $x_M+7=-15$
$x_M=8$ hoặc $x_M=-19$
Vậy có hai điểm M thuộc đường thẳng a và có khoảng cách đến đường thẳng b bằng 3 là hai điểm $M_1[8;-5]$ và $M_2[-22;-19]$
Bài tập rèn luyện tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Bài tập 1: trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a và b lần lượt có phương trình là: $2x-3y+7=0$ và $4x+3y-11=0$.
a. Tính khoảng cách từ điểm $A[2;-3]$ tới đường thẳng a
b. Tính khoảng cách từ điểm $B[-4;3]$ tới đường thẳng b
Bài tập 2: Tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh là A[4;2] và phương trình một đường chéo là $x+2y+2=0$
Bài tập 3: Viết phương trình của đường thẳng a song song với đường thẳng b: 3x + 4y – 1 = 0 và cách đường thẳng b một đoạn bằng 2
Bài tập 4: Tìm bán kính của đường tròn tâm I[2, –3] và tiếp xúc với đường thẳng: 12x -5y +3 = 0
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
A. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng
Đây là kiến thức toán thuộc hình học lớp 10 khối THPT
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N[ x0; y0]. Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:
d[N; Δ] = $\frac{{\left| {A{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ [1]
Cho điểm M[ xM; yN] và điểm N[ xN; yN] . Khoảng cách hai điểm này là:
MN = $\sqrt {{{\left[ {{x_M} – {x_N}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_M} – {y_N}} \right]}^2}} $ [2]
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.
2. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng Δ: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ điểm Q [2; 1] tới đường thẳng Δ.
Lời giải chi tiết
Khoảng cách từ điểm Q tới đường thẳng Δ được xác định theo công thức [1]:
d[N; Δ] = $\frac{{\left| { – 1.2 + 3.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left[ { – 1} \right]}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$
Bài tập 2. Khoảng cách từ điểm P[1; 1] đến đường thẳng Δ: $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$
Lời giải chi tiết
Ta đưa phương trình $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$ 2x – 3y = 30 2x – 3y – 30 = 0 [*]
Phương trình [*] là dạng tổng quát.
Khoảng cách từ điểm P[1; 1] đến đường thẳng Δ dựa theo công thức [1]. Thay số:
d[P; Δ] = $\frac{{\left| {2.1 + \left[ { – 3} \right].1 – 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left[ { – 3} \right]}^2}} }}$ = 8,6
Bài tập 3. Khoảng cách từ điểm P[1; 3] đến đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2t + 3\\ y = 3t + 1 \end{array} \right.$
Lời giải chi tiết
Xét phương trình đường thẳng Δ, thấy:
- Đường thẳng Δ đi qua điểm Q[ 3; 1]
- Vecto chỉ phương là $\overrightarrow u $ = [ 2; 3 ] nên vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n $ = [ 3; – 2 ]
Phương trình Δ đưa về dạng tổng quát: 3[x – 3] – 2[y – 1] = 0 3x – 2y – 7 = 0
Khoảng cách từ điểm P[1; 3] đến đường thẳng Δ: d[P; Δ] = $\frac{{\left| {3.1 + \left[ { – 2} \right].3 – 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left[ { – 2} \right]}^2}} }}$ = 2,77
B. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz
Đây là kiến thức hình học không gian thuộc toán học lớp 12 khối THPT:
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N[ xN; yN; zN]. Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?
Phương pháp
- Bước 1. Tìm điểm M[ x0; y0; z0] ∈ Δ
- Bước 2: Tìm vecto chỉ phương ${\overrightarrow u }$ của Δ
- Bước 3: Vận dụng công thức d[N; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$
2. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Một điểm A[1;1;1] không thuộc đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$. Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Lời giải chi tiết
Từ phương trình đường thẳng Δ ta suy ra vecto chỉ phương: ${\vec u_\Delta }$ = [1;2;1]
Lấy điểm B[ 0; 1; -1]∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = [ – 1;0; – 2] => $[\overrightarrow {AB} ,\vec u]$ = [4; – 1; – 2].
Khi này: d[A; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Bài tập 2. Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và 1 điểm có toạn độ A[1; 1; 1]. Gọi M là điểm sao cho M ∈ Δ. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM?
Lời giải chi tiết
Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ => $A{M_{\min }} = d[A;\Delta ].$
Đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ => vtcp ${\vec u_\Delta }$ = [1;2;1].
Lấy điểm B[ 0; 1; -1]∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = [ – 1;0; – 2] => $[\overrightarrow {AB} ,\vec u]$ = [4; – 1; – 2].
Khi này ta áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d[A; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$$\Rightarrow A{M_{\min }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Bài tập 3. Một đường thằng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và hai điểm M[ 1; 1; 1], N[ 0 ; 1;-1] nằm trong không gian Oxyz. Giả sử hình chiếu của M xuống đường thẳng Δ là P. Hãy tính diện tích của tam giác MPB
Lời giải chi tiết
Từ phương trình đường thẳng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng có dạng ${\vec u_\Delta }$ = [1; 2; 1]
Chọn điểm Q [ 2; 5; 1] ∈ Δ => $\overrightarrow {MQ} $ = [1; 4; 0] => $\left[ {\overrightarrow {MQ} ,\overrightarrow u } \right]$ = [4; -1; – 2].
Lúc đó: d[M; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MQ} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$
$ \Rightarrow MP = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Ta lại thấy N ∈ Δ => ΔMNP vuông tại P => $\sqrt {M{N^2} – M{P^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$
Vậy $S = \frac{1}{2}MP.PN = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.$
Hy vọng rằng bài viết tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng này sẽ giúp ích cho bạn trong học tập cũng như thi cử. Đừng quên truy cập toanhoc.org để có thể cập nhật cho mình thật nhiều tin tức hữu ích nhé.