Tìm giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của các hàm số tiếp xúc nhau

I - Giao điểm của hai đồ thị

Cho hai đồ thị [C1]: y = f[x] và [C2] : y = g[x].
- Toạ độ giao điểm của [C1] và [C2] là nghiệm của hệ: 

- Hoành độ giao điểm của [C1] và [C2] là nghiệm của phương trình: f[x] = g[x].

Vậy số nghiệm của phương trình trên cũng là số giao điểm của [C1] và [C2].

+ [C1] cắt [C2] tại n điểm khác nhau khi và chỉ khi phương trình f[x] = g[x] có n nghiệm phân biệt.

+ [C1] ∩ [C2] = Ø khi và chỉ khi phương trình f[x] = g[x] vô nghiệm.

* Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Áp dụng tính chất trên để biện luận số nghiệm của một phương trình theo tham số bằng đồ thị, ta biến đổi phương trình sao cho vế bên trái là biểu thức của một hàm số đã vẽ đồ thị, vế bên phải là hàm hằng có chứa tham số với đồ thị là đường thẳng nằm ngang.

Dựa vào sự thay đổi của đường thẳng theo tham số, ta tìm sự tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số và suy ra số nghiệm của phương trình.

II - Đường cong tiếp xúc

- Để chứng minh hai đồ thị [C1] : y = f[x] và [C2] : y = g[x] tiếp xúc nhau, ta chứng tỏ hoành độ tiếp điểm của chúng phải thoả hệ phương trình:

Trong trường hợp này, [C1] và [C2] có chung tiếp tuyến tại tiếp điểm.

- Đế chứng minh đường cong [C]: y = f[x] tiếp xúc với trục hoành, ta có thể chứng tỏ hoành độ tiếp điểm thỏa mãn hệ phương trình:

- Để chứng minh parabol [P] : y = ax2 + bx + c tiếp xúc với đường thẳng [d] : y = px + q, ta có thể chứng tỏ phương trình hoành độ giao điểm ax2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.

- Với hàm bậc ba ta còn có thể chứng tỏ [C] : f[x] = ax3 + bx2 + cx + d tiếp xúc với trục hoành với điều kiện f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và f[x1].f[x2] = 0.

III- Họ parabol tiếp xúc với đường thẳng cố định

Với các bài toán về họ parabol tiếp xúc với một đường thẳng cố định, ta có thể gặp các yêu cầu:

1. Chứng tỏ họ parabol [Pm] luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

2. Chứng tỏ trong các tiếp tuyến với họ parabol [Pm], có một tiếp tuyến cố định.

3. Chứng tỏ các đường cong trong họ parabol [Pm], luôn tiếp xúc nhau tại 1 điểm cố định.

Các yêu cầu trên đều có chung một trong hai cách giải như sau:

a, Nếu họ [Pm] luôn chạy qua điểm cố định, ta chỉ cần chứng tỏ hệ số góc của tiếp tuyến với họ [Pm] tại điểm cố định là hằng số [đạo hàm tại điểm cố định là hằng số].

b, Trường hợp họ [Pm] không chạy qua điểm cố định, ta gọi tiếp tuyến phải tìm là [d] : y = Ax + B

Parabol [Pm]: y = f[x, m] có tiếp tuyến cố định [d] khi và chỉ khi phương trình f[x, m] = Ax + B luôn có nghiệm kép

Sử dụng điều kiện luôn có nghiệm kép [Δ = 0, ∀m ] dẫn đến việc đồng nhất đa thức và suy ra giá trị của A, B.

Ghi chú:

Với yêu cầu chứng tỏ họ đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định, ta gọi parabol cố định là

[P] : y = ax2 + bx + c.

Họ đường thẳng [dm] : y = f[x, m] tiếp xúc với [P] khi và chỉ khi phương trình f[x, m] = ax2 + bx + c luôn có

nghiệm kép. Bài toán Δ = 0 với mọi m cũng dẫn đến việc đồng nhất đa thức để suy ra các giá trị của a, b, c.

IV - Phương trình tiếp tuyến với đường cong

Trong các bài toán tiếp tuyến với đường cong, ta có thể gặp các yêu cầu :

1. Tìm điểm trong mặt phẳng toạ độ để từ đó kẻ được một hoặc hai hoặc ba,... tiếp tuyến đến đồ thị [C] : y = f[x].

2. Tìm các điểm trong mặt phẳng toạ độ để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị [C] : y = f[x].

3. Tìm các điểm trên một đường thẳng cho trước để từ đó vẽ được một hoặc hai hoặc ba,... tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y = f[x].

4. Tìm giá trị của tham số m để từ một điểm trong mặt phẳng toạ độ vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị [C] : y = f[x, m] và chúng vuông góc nhau.

Với các yêu cầu trên, ta có cách giải tổng quát như sau :

Gọi tiếp tuyến [Δ] tại tiếp điểm M0[x0 ; y0] có phương trình: y - y0 = f'[x0][x - x0].

Tiếp tuyến qua điểm M[xM ; yM] thì : yM - y0 =  f'[x0][xM - x0] là phương trình theo ẩn số duy nhât x0. Tuỳ theo số nghiệm x0 mà ta có sô tiếp tuyến tương ứng.

Trường hợp có thêm yêu cầu có hai tiếp tuyến vuông góc nhau, ta phải chứng tỏ phương trình trên có hai nghiệm x’ và x” thoả mãn f'[x’].f'[x”] = -1.

V - Điểm cố định mà họ đồ thị [Cm] đi qua

Để tìm toạ độ điểm cố định mà họ đồ thị [Cm] : y = f[x, m] đi qua, ta phân biệt :

a] Trường hợp biểu thức y = f[x, m] chứa tham số m ở bậc một thì ta biến đổi :

y = f[x, m] ⇔ A[x,y]m + B[x,y] = 0.              [1]

Điểm cố định mà [Cm] luôn đi qua có tọa độ thoả phương trình [1] với mọi m, tức có toạ độ là nghiệm của hệ: 

b] Trường hợp biểu thức y = f[x, m] chứa tham số m ở bậc lớn hơn 1, ta biến đổi và sắp xếp biểu thức ở dạng đa thức theo m có bậc nhỏ dần. Chẳng hạn m có bậc 2 :

y = f[x, m] ⇔ A[x,y]m2 + B[x,y]m + C[x,y] = 0.             [2]

Tọa độ điểm cố định mà [Cm] : y = f[x, m] luôn đi qua khi m thay đổi là nghiệm của hệ:

VI - Quỹ tích một điểm

Để tìm quỹ tích điểm M[x ; y], ta tiến hành các bước :

- Tìm tọa độ của M theo tham số m:

- Khử m để tìm một hệ thức liên hệ giữa X và y [không còn m] thì đó là phương trình của quỹ tích.

- Giới hạn quỹ tích: Do điều kiện của tham số để có điểm M, sự giới hạn của m cho ta giới hạn của x hoặc y suy ra giới hạn của quỹ tích.

Trường hợp đặc biệt, toạ độ điểm M có dạng :

Biểu thức x hoặc y là hằng số thì đó là phương trình của quỹ tích, biểu thức còn lại phụ thuộc tham số m cho ta giới hạn của quỹ tích.

Ví dụ:

 Cho [H] :

 và điểm A[0 ; 1]. [d] là đường thẳng qua A và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m để :

a] [d] cắt [H] tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của [H] ;

b] [d] cắt [H] tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của [H].

                                                           Giải

a] Đường thẳng [d] qua A[0 ; 1] với hệ số góc m có phương trình y = mx + 1.

Hoành độ giao điểm của [d] với [H] là nghiệm của phương trình

Đồ thị [H] có đường tiệm cận đứng [Δ] : x = -2 phân cách hai nhánh của [H]. Do đó để [d] cắt [H] tại hai

nhánh khác nhau thì [1] phải có hai nghiệm x1, x2 thoả x1 < -2 < x2, tức là

[m - 1]g[-2] < 0 [với g[x] = [m - 1]x2 + 2mx + 1]

⇔ [m - 1][4[m - 1] - 4m + 1] < 0

⇔ [m - 1][-3] < 0 ⇔ m > 1.

Vậy với m > 1 thì đường thẳng [d] cắt [H] tại hai nhánh khác nhau của nó.

b] [d] cắt [H] tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của [H] khi và chỉ khi phương trình [1] có hai nghiệm x1, x2 sao cho -2 ∈ [x1, x2], tức là:

Vậy với m < 1 thì đường thẳng [d] cắt [H] tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của [H].

Đồ thị của hai hàm số

và

tiếp xúc với nhau tại điểm nào?

A.

[1;1].

B.

[1;2].

C.

[1;-1].

D.

[0;0].

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:

Đồ thị của hai hàm số

và tiếp xúc với nhau khi: Vậy đồ thị của 2 hàm số tiếp xúc nhau tại điểm [1;2] Đáp án đúng là B Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi ta cần phải nắm được điều kiện để 2 hàm số f[x] và g[x] tiếp xúc nhau đó là hệ phương trình có nghiệm.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 45 phút Sự tương giao của đồ thị - Hàm số và Ứng dụng - Toán Học 12 - Đề số 7

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

• Đồ thị hàm số

  cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

• Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

  để đồ thị hàm số
  tiếp xúc với trục hoành?

• Đồ thị của hai hàm số

  và
  tiếp xúc với nhau tại điểm nào?

• Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

  cắt đường thẳng
  tại 3 điểm phân biệt.

• Tìm

  để đường thẳng
  cắt đồ thị hàm số
  tại
  điểm phân biệt:

• Biết đường thẳng

  cắt đồ thị hàm số
  tại hai điểm phân biệt
  ,
  có hoành độ lần lượt
  ,
  . Khi đó
  là:

• Đồ thị hàm số

  cắt trục hoành tại mấy điểm?

• Tìm tất cả các giá trị của tham sốm sao cho đồ thị của hai hàm số

  và
  cắt nhau tại nhiều điểm nhất.

• Cho hàm số

  và đường thẳng
  [m: tham số]. Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số [C] song song với đường thẳng d.

• Cho hàm số

  . Đồ thị của hàm số
  như hình vẽ bên.
  Số nghiệm của phương trình
  là

• Đường thẳng

  tiếp xúc với đồ thị
  :
  tại hai điểm phân biệt. Tìm tung độ tiếp điểm.

• Tìm tập hợp tất cả các giá trị của

  để đồ thị hàm số
  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ dương.

• Cho hàm số

  có đồ thị
  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
  biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

• Số giao điểm của đồ thị hàm số y=2x3+3x2+4 và trục hoành là
  

• Gọi

  là tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số
  . Mệnh đề nào dưới đây đúng

• Cho hàm số

  có bảng biến thiên như hình bên. Số nghiệm của phương trình
  là:

• Tìm giao điểm của đồ thị

  và đường thẳng
  .

• Tìm

  đểđườngthẳng
  cắtđồthịhàmsố
  tạihaiđiểmthuộchainhánhcủađồthị.

• Số giao điểm của đồ thị hàm số y=x4−2x2+2 với đường thẳng y=4 là:
  

• Cho hàm số

  . Tìm m đểđường thẳng d:
  cắt [C] tại hai điểm A, B sao cho AB = 2.

• Cho hàmsố:

  . Tìm k đểđườngthẳng y = kx + 2k + 1 cắtđồthị [C] tại 2 điểmphânbiệt A, B saochokhoảngcáchtừ A và B đếntrụchoànhbằngnhau.

• Số giao điểm của đường thẳng

  vàđồ thị hàm số
  là:

• Cho hàm số

  có đồ thị là
  ,
  là điểm thuộc
  sao cho tiếp tuyến của
  tại
  cắt hai đường tiệm cận của
  tại hai điểm
  ,
  thỏa mãn
  . Gọi
  là tổng các hoành độ của tất cả các điểm
  thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của
  .

• Cho hàm số

  có đồ thị [C]. Số giao điểm của [C] và trục hoành là ?

• Cho

  . Sốgiaođiểmcủa [C] vàđườngthẳng
  là:

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

• Cho các mệnh đề sau đây: [1] Hàm số

  có tập xác định
  [2] Hàm số
  có tiệm cận ngang [3] Hàm số
  và hàm số
  đều đơn điệu trên tập xác định của nó [4] Bất phương trình:
  có 1 nghiệm nguyên thỏa mãn . [5] Đạo hàm của hàm số
  là
  Hỏi có bao nhiêu mệnh đềđúng :

• Một nguồn âm được coi như một nguồn điểm phát ra sóng âm trong một môi trường coi như không hấp thụ và phản xạ âm thanh. Công suất của nguồn âm là 0,225 W. Cường độ âm chuẩn

  . Mức cường độ âm tại một điểm cách nguồn 10 [cm] là ?

• Cuộc cách mạng kĩ thuật lần thứ hai gắn với quá trình chuyển từ lao động cơ khí lên lao động dựa trên công cụ
  

• Cho

  và
  .

  Tính

• Phương trình x2+m=0 có nghiệm khi:
  

• Cho các chất: amoniac [1]; anilin [2]; p-nitroanilin [3]; p-metylanilin [4]; metylamin [5]; dimetylamin [6]. Thứ tự tăng dần lực bazo của các chất là:

• Một đoạn mạch xoay chiều có điện trở thuần R = 32 Ω và tụ C mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ổn định có tần số f = 50 Hz. Kí hiệu UR, UC tương ứng là điện áp tức thời hai đầu phần tử R và C. Biết rằng

  . Điện dung của tụ bằng bao nhiêu?

• Cho parabol

  có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị
  để phương trình
  có bốn nghiệm phân biệt.

• Biết ∫01x2−2x+1dx=−1m+nln2 , với m , n là các số nguyên. Tính S=m+n .