Những cách chứng minh tam giác nội tiếp

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:

Định nghĩa:

Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn: 1.  Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm [ mà ta có thể xác định được]. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

4. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc [an-pha] thì nội tiếp được trong một đường tròn.

II. Một số bài toán luyện tập:

1. Dạng áp dụng dấu hiệu 1 & 4
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A [ AB< AC ] nội tiếp trong đường tròn tâm I; bán kính r. Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giác ABC. a. Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp được trong đường tròn tâm K. Xác định tâm K của đường tròn này.

b. Chứng minh hai đường tròn [ I ] và [ K ] tiếp xúc nhau.

Gợi ý: a. Dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh APIH nội tiếp được trong một đường tròn: - Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính AI. Chứng minh tương tự đối với điểm H. Từ đó xác định được tâm K [ là trung điểm đoạn AI ].

[ HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập 2 trang 85]

b. Nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc nhau:

-  Hai đường tròn cùng đi qua chỉ có 1 điểm duy nhất thì chúng tiếp xúc với nhau; hoặc TX trong, hoặc TX ngoài. - Tiếp xúc ngoài nếu khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính. OO’ = R + r - Tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính. OO’ = R – r> 0 

- Tính IK để kết luận 2 đường tròn [I] và [ K ] tiếp xúc trong tại A.

Bài 2:

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = IO.

Kẻ dây MN vuông góc AB tại I. Gọi C là một điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC, cắt MN tại E. a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong 1 đường tròn. Xác định tâm đường tròn này. b. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.

 Gợi ý:
 a. Chứng minh tương tự câu a ở bài 1 trên. [Góc ACB chắn đườngkính AB; MI vuông góc AB]

  Tâm đường trong nội tiép IECB nằm tại trung điểm EB

Câu b. Hai TG đó có chung góc A, góc AME và ACM chắn 2 cung AM = cung AN
Bài 3:

Cho tam giác ABC cân tại A [ ]. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm của BC. Hai đường thẳng AM và EN cắt nhau tại F. a. Chứng minh các tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn này. b. Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.

 Gợi ý:
a. Dựa vào dấu hiệu 1 để ch.minh MCNF và dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh AMNE là tứ giác nội tiếp.

- Tứ giác MCNF có góc M=gócN =gócvuông        

   - Góc M và góc N cùng chắn AB                         

     => Trung điểmAB là tâm ĐT ngoại tiếp

b. Chứng minh 2 tamgiác vuông AME và FME bằng nhau do EM chung, chứng minh thêm AM = MF

Bài 4:
Cho đường tròn [ O;R] và đường thẳng xy cách tâm O một khoảng OK= a [ 0 < a < R ]. Từ một điểm A thuộc xy [ OA > R ], vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn [O] [ B, C là các tiếp điểm; O và B nằm cùng phía với xy]

a. Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn [ O] tại hai điểm D và E. b. Chứng minh 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này.

c. BC cắt OA và OK theo thứ tự tại M và S. Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp được trong một đường tròn.

Gợi ý:

* Câu a: Hiển nhiên vì OK < R

*Câu b: dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh 5 điểm thuộc đường tròn.

- Biết OB và OC là các bán kính đường tròn giao với tiếp tuyến nên OB AB; OC AC.

- OK vuông góc AK theo cách dựng của GT

* Câu c: dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh:

Góc AKS vuông và góc AMS vuông [ theo cách dựng] cùng nhìn cạnh AS của tứ giác AMKS, vậy đó là tứgiác nội tiếp.
 

Bài 5: Từ một điểm A ngoài đường tròn [O], kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn [ B, C là các tiếp điểm]. Trên tia đối của tia BC, lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn [O], có tiếp điểm là M; tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K.  a. Chứng minh bốn điểm D, B, O, M cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh D, B, O, M, K cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý: Đọc kĩ đề vẽ hình đúng 
* Câu a

- So sánh góc MOE và góc MBC. - So sánh góc MOD và góc MBD - Hai điểm O và B cùng nhìn đoạn thẳng DM dưới một góc bằng nhau.=> tứ giác DBOM ?

* Câu b 

Chứng minh B, O, M, K cùng thuộc một đường tròn [ dấu hiệu 1] vì 2 bán kính OM vuông góc MKvà OB vuông góc BK => kết luận 5 điểm B, O, M, K, D cùng thuộc một đường tròn.

Bài tập vận dụng dấu hiệu 2

[Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.]

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O; đường kính AI. Gọi E là trung điểm của AB ;K là trung điểm của OI; H là trung điểm của EB. a.Chứng minh HK EB

b. Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp được trong một đường tròn.

 Gợi ý:
Câu a

- góc B chắn đường kính AI  => góc B vuông
-  OE vuông AB => HK là đường trung bình của hình thang EBOI, từ đó kết luận HK vuông EB

Câu b

- Chứng minh ∆EKB cân tại K => BEK = EBK [1] - Chứng minh  góc EBK = góc KCA do ∆KCB cân  [2] 

- Từ [1] và [2]  => góc BEK là góc ngoài tại đỉnh E của tứ giác AEKC bằng  góc ACK [ là góc tại đỉnh đối của đỉnh E]. => AEKC nội tiếp được trong đường tròn.

Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm I, đường kính MN. Kẻ tiếp tuyến Nx và lấy điểm P chính giữa nửa đường tròn. Trên cung PN, lấy điểm Q [ không trùng với P, N ]. Các tia MP và MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ tự tại S và T. a. Chứng minh NS = MN. b. Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT.

c. Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp được trong một đường tròn.

 Gợi ý:
a. Điểm P nằm chính giữa nửa đường tròn

  => góc MPN vuông => ÐPMN = 450 => PNS = 450

=> ∆MNS là tam giác vuông cân

=> MN = N S [điều cần chứng minh].
 

b. Vì NQT vuông  nên 2 tam giác MNT và NTQ là 2 tam giác vuông đồng dạng [ góc - góc]

c. Kẻ tiếp tuyến PH , => PH vuông NS  ta có  các  tam giác  vuông cân  và các góc bằng nhau = 45o như hình vẽ

Chứng minh được T1 = S + M2 = S + P2 + P2 [ dựa vào dấu hiệu 2] => ĐPCM

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.

Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp.

Gợi ý:
* Cách 1: Chứng minh tương tự bài 7 Phần b.

* Cách 2: Để dễ theo dõi ta đánh số các góc 1,2,3 và bôi màu các góc bằng nhau như hình bên  à

 góc A1 = góc B1 [góc của 2 ∆ vuông đồng dạng];

góc A2 = góc B2 [vì cùng chắn cung ED];

 gócB1 = gócD1 [ cùng chán cung AE]

     => gócB1 = góc A1 = góc D1;

 gócF2 và gócB1 phụ nhau => F2 và D1 phụ nhau;

 mà  góc D2 và góc D1 cũng phụ nhau  =>  Do đó F2 = D2 => F1 + D2 = 2v  [ĐPCM]

3.Bài tập vận dụng dấu hiệu 3:

Bài 9: Cho đường tròn tâm O. Kẻ đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi E là điểm chính giữa cung nhỏ CB. EA cắt CD tại F; ED cắt AB tại M. a. Các tam giác CEF và EMB là những tam giác gì?

b. Chứng minh bốn điểm D, C, M, B thuộc đường tròn tâm E.

Gợi ý: Câu a: Góc CEF là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn; góc FCE là góc nội tiếp chắn cung ED. Lập các biểu thức về số đo các góc đó, so sánh để thấy 2 góc đó bằng nhau. Kết luận tam giác CEF là tam giác Cân. - Chứng minh tương tự đối với tam giác EMB.

* Câu b: Từ câu trên suy ra EC = EB = EF = EM.

Dựa vào dấu hiểu 3 kết luận điều phải chứng minh.

Bài viết gợi ý: