Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là phần kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Vậy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì? Các dạng toán liên quan đến GTLN và GTNN như nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề GTLN và GTNN qua bài viết dưới đây nhé!
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là gì?
Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số \[y=f[x]\] xác định trên tập D
- M được gọi là GTLN của f[x] trên D nếu \[\left\{\begin{matrix} f[x]\leq M\\ \exists x_{0}, f[x_{0} = M] \end{matrix}\right.\]
- m được gọi là GTNN của f[x] trên D nếu \[\left\{\begin{matrix} M\leq f[x],\, \forall x \in D\\ \forall x_{0} \in D, f[x_{0}] = m \end{matrix}\right.\]
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f[x] xác định trên tập hợp D
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f[x] trên D ta tính y’, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN.
Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số f[x] liên tục trên một đoạn [a;b]
- Tìm các điểm \[x_{i} \in [a;b]\, [i=1,2,…,n]\] mà tại đó \[f'[x_{i}] = 0\] hoặc \[f'[x_{i}]\] không xác định.
- Tính \[f'[x], f[b], f[x_{i}]\, [i=1,2,…,n]\]
- Khi đó:
- \[\underset{[a;b]}{max}f[x] = max\left \{ f[a], f[b],f[x_{i}] \right \}\]
- \[\underset{[a;b]}{min}f[x] = min\left \{ f[a], f[b],f[x_{i}] \right \}\]
Chú ý:
- Nếu hàm số y = f[x] luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm trên [a;b] thì \[\underset{[a;b]}{max} f[x] = max \left \{ f[a], f[b] \right \}\], \[\underset{[a;b]}{min} f[x] = min \left \{ f[a], f[b] \right \}\].
- Nếu hàm số y = f[x] là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn nằm trong D có độ dài bằng T.
- Cho hàm số y = f[x] xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ t = u[x], ta tìm được \[t\in E \, \forall x\in D\], ta có y = g[t] thì GTLN, GTNN của hàm f trên D chính là GTLN, GTNN của hàm g trên E.
Ví dụ và cách giải bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f[x] = -x^3+4x^2-5x+1\] trên đoạn [1;3]
Cách giải:
Ta có \[f'[x] = -3x^2+8x-5\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 8x – 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin [1;3]\] hoặc \[x = \frac{5}{3} \in [1;3]\]
Ta có:
\[f[1] = -1, f[\frac{5}{3}] = -\frac{23}{27}, f[3] = -5\]
Vậy \[\underset{[1;3]}{max}f[x] = -\frac{23}{27} \, khi \, x=\frac{5}{3}\]
\[\underset{[1;3]}{min}f[x] =-5 \, khi \, x=3\]
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[f[x] = \frac{4}{3}\sin ^3x -sin^2x + \frac{2}{3}\] trên đoạn \[[0;\pi ]\]
Cách giải:
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[f[x] = 2x + \sqrt{5-x^2}\]
Cách giải:
Tập xác định \[D = [-\sqrt{5};\sqrt{5}]\]
Ta có: \[f'[x] = 2-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}= \frac{2\sqrt{5-x^2}-x}{\sqrt{5-x^2}}\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{5-x^2} – x =0 \Leftrightarrow 2\sqrt{5-x^2} = x\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4[5-x^2] = x^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 5x^2-20 =0 \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=-2 \end{array}\right. \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow x=2\in [-\sqrt{5};\sqrt{5}]\]
Ta có: \[f[-\sqrt{5}] = -2\sqrt{5}; f[2] = 5; f[\sqrt{5}] = 2\sqrt{5}\]
Vậy \[\underset{[-\sqrt{5};\sqrt{5}]}{max} f[x] = 5\, khi\, x=2\]
\[\underset{[-\sqrt{5};\sqrt{5}]}{min} f[x] = -2\sqrt{5}\, khi\, x=-\sqrt{5}\]
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề GTLN và GTNN của hàm số. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân về GT lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây của thầy Nguyễn Quốc Chí:
[Nguồn: www.youtube.com]
Xem thêm:
Please follow and like us:
Định nghĩa: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] xác định trên miền \[D\].
- Số \[M\] được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] trên \[D\] nếu \[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] \le M,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f\left[ {{x_0}} \right] = M\end{array} \right.\]Kí hiệu \[M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left[ x \right]\] hoặc \[M = \mathop {\max }\limits_D f\left[ x \right]\]
- Số \[m\] được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] trên \[D\] nếu \[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] \ge m,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f\left[ {{x_0}} \right] = m\end{array} \right.\]Kí hiệu \[m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left[ x \right]\] hoặc \[m = \mathop {\min }\limits_D f\left[ x \right]\]
Cần chú ý phân biệt GTLN, GTNN với cực đại, cực tiểu của hàm số, dưới đây là hình vẽ minh họa GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $[a;b]$ để các em phân biệt.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] xác định và liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y'\], giải phương trình \[y' = 0\] tìm các nghiệm \[{x_1},{x_2},...{x_n}\] thỏa mãn \[a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\]
- Bước 2: Tính các giá trị \[f\left[ a \right],f\left[ {{x_1}} \right],...,f\left[ {{x_n}} \right],f\left[ b \right]\]
- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:
+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN \[M\] của hàm số trên \[\left[ {a;b} \right]\]
+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN \[m\] của hàm số trên \[\left[ {a;b} \right]\]
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] xác đinh và liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\]
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[f'\left[ x \right]\], giải phương trình \[y' = 0\] tìm các nghiệm \[{x_1},{x_2},...{x_n}\] thỏa mãn \[a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\]
- Bước 2: Tính các giá trị \[f\left[ {{x_1}} \right],f\left[ {{x_2}} \right],...,f\left[ {{x_n}} \right]\] và \[A = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left[ x \right];B = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left[ x \right]\]
- Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận.
+ Nếu GTLN [hoặc GTNN] trong số các giá trị ở trên là \[A\] hoặc \[B\] thì kết luận hàm số không có GTLN [hoặc GTNN] trên khoảng \[\left[ {a;b} \right]\]
+ Nếu GTLN [hoặc GTNN] trong số các giá trị ở trên là \[f\left[ {{x_i}} \right],i \in \left\{ {1;2;...;n} \right\}\] thì kết luận hàm số đạt GTLN [hoặc GTNN] bằng \[f\left[ {{x_i}} \right]\] khi \[x = {x_i}\]
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước
Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] xác đinh và liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]
Phương pháp: [chỉ áp dụng cho một số bài toán dễ dàng tìm được nghiệm của \[y'\]]
- Bước 1: Tính \[y'\], giải phương trình \[y' = 0\] tìm các nghiệm \[{x_1},{x_2},...{x_n}\]
- Bước 2: Tính các giá trị \[f\left[ a \right],f\left[ {{x_1}} \right],...,f\left[ {{x_n}} \right],f\left[ b \right]\]
- Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]
- Bước 4: Thay vào điều kiện bài cho để tìm \[m\]