§1. CÁC ĐỊNH NGHĨA KIẾN THỨC CĂN BẢN Khái niệm vectơ Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hương Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ bằng nhau Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu ã = b. Vectơ - không Với một điểm A bặt kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là ÃÁ và gọi là vectơ-không [õ]. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Cho ba vectơ a, b , c đều khác vectơ 0 . Cảc khẳng định sau đúng hay sai? Nếu hai vectơ a, b cùng phương với c thì a và b cùng phương. Nếu a, b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng. ‘7’tđ lèi Nếu a, b cùng phương với c thì a và b cùng phương. Mệnh đề đúng. Nếu a, b cùng ngược hướng với C thì a và b cùng hướng. Mệnh đề đúng. Trong hình dưới hãy chỉ ra các vectơ củng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau. *7nẦ iài Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ta có: Các vectơ cùng phương: a và b cùng phương; u, V cùng phương; X , y, w và z cùng phương. Các vectơ cùng hướng: a và b cùng hướng: c] Các vectơ ngược hướng: X , y và z cùng hướng. u và V ngược hướng; w và X ngược hướng; w và y ngược hướng; w và z ngược hướng, d] Các vectơ bằng nhau: X và y . D c Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình binh hành khi và chỉ khi AB = DC . ABCD là hình bình hành thì AB = DC và AB, DC cùng hướng. Khi đó Ãẽ = DC . Ngược lại: nếu AB = DC thì AB = DC và AB // DC do đó ABCD là hình bình hành. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm o. Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA ; Tìm các vectơ bằng vectơ AB . [ỹ-ứíi Các vectơ khác OA cùng phương với nó là: DA, ÃD, BC, CB, Ãõ, ÕD, DO, FE, ẼF Các vectơ bằng AB : oc, ED, FO'. c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh: BD = HC. Gọi K là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC. Chứng minh: OK = IH và OI = KH . dẪn: Chứng minh các tứ giác BDCH và KOIH là hình bình hành. Cho hình vuông ABCD tâm o. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong các điểm A, B, c, D, o. Hãy tìm các vectơ bằng với vectơ AB, oc. Hãy tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài các vectơ AC, AB, oc. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ AD = GC và DE = GB. Chứng minh GE = õ. ‘ĨVcábi? eiẫtt: Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác.
Bài 1 trang 7 sgk toán hình học lớp 10
Cho ba vectơ \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{b}\], \[\overrightarrow{c}\] đều khác vec tơ \[\overrightarrow{0}\]. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a] Nếu hai vectơ \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{b}\] cùng phương với \[\overrightarrow{c}\] thì \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{b}\] cùng phương.
b] Nếu \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{b}\] cùng ngược hướng với \[\overrightarrow{c}\] thì \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] cùng hướng .
Giải
a] Gọi theo thứ tự \[{\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}\] là giá của các vectơ \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{b}\], \[\overrightarrow{c}\]
\[\overrightarrow{a}\] cùng phương với \[\overrightarrow{c}\] \[ \Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _3}\] [ hoặc \[{\Delta _1} \equiv {\Delta _3}\]] [1]
\[\overrightarrow{b}\] cùng phương với \[\overrightarrow{c}\] \[\Rightarrow {\Delta _2}//{\Delta _3}\] [ hoặc \[{\Delta _2} \equiv {\Delta _3}\] ] [2]
Từ [1], [2] suy ra \[{\Delta _1}//{\Delta _2}\] [ hoặc \[{\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\] ], theo định nghĩa hai vectơ \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{b}\] cùng phương.
Vậy câu a] đúng.
b] Đúng.
Bài 2 trang 7 sgk hình học lớp 10
Trong hình 1.4, hãy chỉ ra các vec tơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau.
Giải
- Các vectơ cùng phương: \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\]; \[\overrightarrow{x}\], \[\overrightarrow{y}\], \[\overrightarrow{z}\] và \[\overrightarrow{w}\]; \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\].
- Các vectơ cùng hướng: \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\]; \[\overrightarrow{x}\], \[\overrightarrow{y}\], \[\overrightarrow{z}\]
- Các vectơ ngược hướng: \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\]; \[\overrightarrow{z}\] và \[\overrightarrow{w}\]; \[\overrightarrow{y}\] và \[\overrightarrow{w}\]; \[\overrightarrow{x}\] và \[\overrightarrow{w}\].
- Các vectơ bằng nhau: \[\overrightarrow{x}\] = \[\overrightarrow{y}\].
Bài 3 trang 7 sgk hình học lớp 10
Cho tứ giác \[ABCD\]. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \[\overrightarrow{AB}\] = \[\overrightarrow{DC}\].
Giải
Ta chứng minh hai mệnh đề:
*] Khi \[\overrightarrow{AB}\] = \[\overrightarrow{DC}\] thì \[ABCD\] là hình bình hành.
Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì:
\[\overrightarrow{AB}\] = \[\overrightarrow{DC}\] ⇔ \[\left | \overrightarrow{AB} \right |\] = \[\left | \overrightarrow{DC} \right |\] và \[\overrightarrow{AB}\] và \[\overrightarrow{DC}\] cùng hướng.
\[\overrightarrow{AB}\] và \[\overrightarrow{DC}\] cùng hướng suy ra \[\overrightarrow{AB}\] và \[\overrightarrow{DC}\] cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau,
hay \[AB // DC\] [1]
Ta lại có \[\left | \overrightarrow{AB} \right |\] = \[\left | \overrightarrow{DC} \right |\] suy ra \[AB = DC\] [2]
Từ [1] và [2], theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác \[ABCD\] có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.
*] Khi \[ABCD\] là hình bình hành thì \[\overrightarrow{AB}\] = \[\overrightarrow{CD}\]
Khi \[ABCD\] là hình bình hành thì \[AB // CD\]. Dễ thấy, từ đây ta suy ra hai vec tơ \[\overrightarrow{AB}\] và \[\overrightarrow{CD}\] cùng hướng [3]
Mặt khác \[AB = CD\] suy ra \[\left | \overrightarrow{AB} \right |\] = \[\left | \overrightarrow{CD} \right |\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra \[\overrightarrow{AB}\] = \[\overrightarrow{CD}\].
Bài 4 trang 7 sgk hình học lớp 10
Cho lục giác đều \[ABCDEF\] có tâm \[O\].
a] Tìm các vec to khác \[\overrightarrow{0}\]và cùng phương với \[\overrightarrow{OA}\]
b] Tìm các véc tơ bằng véc tơ \[\overrightarrow{AB}\]
Giải
a] Các vec tơ cùng phương với vec tơ \[\overrightarrow{OA}\]:
\[\overrightarrow{BC}\]; \[\overrightarrow{CB}\]; \[\overrightarrow{EF}\]; \[\overrightarrow{DO}\]; \[\overrightarrow{OD}\]; \[\overrightarrow{DA}\]; \[\overrightarrow{AD}\]; \[\overrightarrow{FE}\] và \[\overrightarrow{AO}\].
b] Các véc tơ bằng véc tơ \[\overrightarrow{AB}\]: \[\overrightarrow{ED}\]; \[\overrightarrow{FO}\]; \[\overrightarrow{OC}\].
Giaibaitap.me
Page 2
Bài 1 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho đoạn thẳng \[AB\] và điểm \[M\] nằm giữa \[A\] và \[B\] sao cho \[AM > MB\]. Vẽ các vectơ \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MB}\] và \[\overrightarrow{MA}\]- \[\overrightarrow{MB}\]
Giải
Trên đoạn thẳng \[AB\] ta lấy điểm \[M'\] để có \[\overrightarrow{AM'}\]= \[\overrightarrow{MB}\]
Như vậy \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MB}\]= \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{AM'}\] = \[\overrightarrow{MM'}\] [ quy tắc 3 điểm]
Vậy vec tơ \[\overrightarrow{MM'}\] chính là vec tơ tổng của \[\overrightarrow{MA}\] và \[\overrightarrow{MB}\]
\[\overrightarrow{MM'}\] = \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MB}\] .
Ta lại có \[\overrightarrow{MA}\] - \[\overrightarrow{MB}\] = \[\overrightarrow{MA}\] + [- \[\overrightarrow{MB}\]]
\[\Rightarrow\] \[\overrightarrow{MA}\] - \[\overrightarrow{MB}\] = \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{BM}\] [vectơ đối]
Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có
\[\overrightarrow{MA}\] +\[\overrightarrow{BM}\] = \[\overrightarrow{BM}\] + \[\overrightarrow{MA}\] = \[\overrightarrow{BA}\] [quy tắc 3 điểm]
Vậy \[\overrightarrow{MA}\] - \[\overrightarrow{MB}\] = \[\overrightarrow{BA}\]
Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho hình bình hành \[ABCD\] và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MC}\] = \[\overrightarrow{MB}\] + \[\overrightarrow{MD}\].
Giải
Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:
\[\overrightarrow{MA}\] = \[\overrightarrow{MB}\] + \[\overrightarrow{BA}\]
\[\overrightarrow{MC}\] = \[\overrightarrow{MD}\] + \[\overrightarrow{DC}\]
\[\Rightarrow\] \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MC}\] = \[\overrightarrow{MB}\] +\[\overrightarrow{MD}\]+ [\[\overrightarrow{BA}\] +\[\overrightarrow{DC}\]]
\[ABCD\] là hình bình hành nên hai vec tơ \[\overrightarrow{BA}\] và \[\overrightarrow{DC}\] là hai vec tơ đối nhau nên:
\[\overrightarrow{BA}\] +\[\overrightarrow{DC}\] = \[\overrightarrow{0}\]
Suy ra \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MC}\] = \[\overrightarrow{MB}\] + \[\overrightarrow{MD}\].
Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ
\[\overrightarrow{AB}\]= \[\overrightarrow{MB}\] - \[\overrightarrow{MA}\]
\[\overrightarrow{CD}\] = \[\overrightarrow{MD}\] - \[\overrightarrow{MC}\]
\[\Rightarrow\] \[\overrightarrow{AB}\] + \[\overrightarrow{CD}\] = [\[\overrightarrow{MB}\] +\[\overrightarrow{MD}\]] - [\[\overrightarrow{MA}\] +\[\overrightarrow{MC}\]].
\[ABCD\] là hình bình hành nên \[\overrightarrow{AB}\] và \[\overrightarrow{CD}\] là hai vec tơ đối nhau, cho ta:
\[\overrightarrow{AB}\] +\[\overrightarrow{CD}\] = \[\overrightarrow{0}\]
Suy ra: \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{MC}\] = \[\overrightarrow{MB}\] + \[\overrightarrow{MD}\].
Bài 3 trang 12 sgk hình học lớp 10
Chứng minh rằng đối với tứ giác \[ABCD\] bất kì ta luôn có
a] \[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{0}\];
b] \[\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\].
Giải
a] Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có
\[\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\]; \[\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{CA}\]
Như vậy
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}= [ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}] + [\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}] = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}\]
mà \[\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\].
Vậy \[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{0}\]
b] Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có
\[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{DB}\] [1]
\[\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DB}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB} -\overrightarrow{CD}\].
Bài 4 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho tam giác \[ABC\]. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \[ABIJ, BCPQ, CARS\]. Chứng minh rằng \[\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}= \overrightarrow{0}\]
Giải
Ta xét tổng:
\[\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{JI} +\overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{SR} = \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}\][1]
Mặt khác, ta có \[ABIJ, BCPQ\] và \[CARS\] là các hình bình hành nên:
\[\overrightarrow{JI}\] = \[\overrightarrow{AB}\]
\[\overrightarrow{QP}\] = \[\overrightarrow{BC}\]
\[\overrightarrow{SR}\] = \[\overrightarrow{CA}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}\][2]
Từ [1] và [2] suy ra : \[\overrightarrow{RJ}\] + \[\overrightarrow{IQ}\] + \[\overrightarrow{PS}\]= \[\overrightarrow{0}\] [đpcm]
Giaibaitap.me
Page 3
Bài 5 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho tam giác \[ABC\] cạnh \[a\]. Tính độ dài của các vectơ \[\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\] và \[\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}\]
Giải
Ta có \[\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\]
\[\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{AC} \right |= a\]
Ta có: \[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CB}\].
Trên tia \[CB\], ta dựng \[\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CB}\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AE}\]
Tam giác \[EAC\] vuông tại \[A\] [vì có đường trung tuyến \[AB\] bằng nửa cạnh \[CE\]] có : \[AC = a, CE = 2a\] , suy ra \[AE = \sqrt {C{E^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \]
Vậy \[\left | \overrightarrow{AB } -\overrightarrow{BC}\right | = \left | \overrightarrow{AE} \right | = a\sqrt3\]
Bài 6 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho hình bình hành \[ABCD\] có tâm \[O\]. Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\];
b] \[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB}\];
c] \[\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\];
d] \[\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\].
Giải
a] Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ:
\[\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}- \overrightarrow{OB}\] [1]
Mặt khác, \[\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OB}\].
b] Ta có : \[\overrightarrow{DB}= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\] [1]
\[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\] [2]
Từ [1] và [2] cho ta:
\[\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}\].
c] Ta có :
\[\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BA}\] [1]
\[\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CD}\] [2]
\[\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra
\[\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\] đpcm.
d] \[\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = [\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB}] + \overrightarrow{DC}\]
\[= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{0}\] [ vì \[\overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AB}] \].
Bài 7 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{b}\] là hai vectơ khác\[\overrightarrow{0}\]. Khi nào có đẳng thức
a] \[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\] + \[\left | \overrightarrow{b} \right |\];
b] \[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\].
Giải
a] Ta có \[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\] + \[\left | \overrightarrow{b} \right |\]
Nếu coi hình bình hành \[ABCD\] có \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}\] thì \[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\] là độ dài đường chéo \[AC\] và \[\left | \overrightarrow{a} \right |= AB\]; \[\left | \overrightarrow{b} \right |= BC\].
Ta lại có: \[AC = AB + BC\]
Đẳng thức xảy ra khi điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A, C\].
Vậy \[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |\] khi hai vectơ \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{b}\] cùng hướng.
b] Tương tự, \[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\] là độ dài đường chéo \[AC\]
\[\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\] là độ dài đường chéo \[BD\]
\[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | =\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\] \[\Rightarrow AC = BD\].
Hình bình hành \[ABCD\] có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có \[AD \perp AB\] hay \[\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\].
Giaibaitap.me
Page 4
Bài 8 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho \[\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= 0\]. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\]
Giải
Từ \[\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right | = 0\], ta có \[\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} = 0\] \[\Rightarrow \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{b}\]
Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài \[\left | \overrightarrow{a} \right | = \left | \overrightarrow{b} \right |\], cùng phương và ngược hướng.
Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10
Chứng minh rằng \[\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\] khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \[AD\] và \[BC\] trùng nhau.
Giải
Ta chứng minh hai mệnh đề.
a] Cho \[\overrightarrow{AB}\] = \[\overrightarrow{CD}\] thì \[AD\] và \[BC\] có trung điểm trùng nhau. Gọi \[I\] là trung điểm của \[AD\] ta chứng minh \[I\] cũng là trung điểm của \[BC\].
Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có
\[\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\];
\[\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\]
Vì \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\] nên \[\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}\]
\[\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\] [1]
Vì \[I\] là trung điểm của \[AD\] nên \[\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}\] [3]
Đẳng thức [3] chứng tỏ \[I\] là trung điểm của \[BC\].
b] \[AD\] và \[BC\] có chung trung điểm \[I\], ta chứng minh \[\overrightarrow{AB}\] = \[\overrightarrow{CD}\].
\[I\] là trung điểm của \[AD\] \[\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\] \[\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}\]
\[I\] là trung điểm của \[BC\] \[\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}\] \[\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}\]
Suy ra \[\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}= \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\] \[\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\] [đpcm]
Bài 10 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho ba lực \[\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} \] và \[\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \] cùng tác động vào một vât tại điểm \[M\] và đứng yên. Cho biết cường độ của \[\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \] đều là \[100N\] và \[\widehat {AMB} = {60^0}\]
Tìm cường độ và hướng của lực \[\overrightarrow {{F_3}} \]
Giải
Theo đề bài cường độ của \[\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \] đều là \[100N\] nên \[MA=MB\]. Mặt khác \[\widehat {AMB} = {60^0}\] nên tam giác \[ABM\] đều.
Do đó \[ MI={{AM\sqrt 3 } \over 2} = {{100\sqrt 3 } \over 2} = 50\sqrt 3 \]
\[MC=2MI=2.50\sqrt 3=100\sqrt 3 \]
\[\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \]
Do đó \[\overrightarrow {{F_3}} \] có hướng là tia phân giác trong của góc \[\widehat {AMB} \] và có độ lớn là \[100\sqrt 3 N\]
Giaibaitap.me
Page 5
Bài 1 trang 17 sgk toán hình học lớp 10
Cho hình bình hành \[ABCD\]. Chứng mỉnh rằng:
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}= 2\overrightarrow{AC}\].
Giải
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{AC}\]
Vì \[ABCD\] là hình bình hành nên
\[\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}\] [quy tắc hình bình hành của tổng]
\[\Rightarrow \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AC}\]
Bài 2 trang 17 sgk hình học lớp 10
Cho \[AK\] và \[BM\] là hai trung tuyến của tam giác \[ABC\]. Hãy phân tích các vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} \] theo hai vectơ sau \[\overrightarrow u = \overrightarrow {AK} ,\overrightarrow v = \overrightarrow {BM} \]
Giải
Gọi \[G\] là giao điểm của \[AK, BM\] thì \[G\] là trọng tâm của tam giác.
Ta có :
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AK} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow u \cr
& \overrightarrow {GB} = - \overrightarrow {BG} = - {2 \over 3}\overrightarrow {BM} = - {2 \over 3}\overrightarrow v \cr} \]
Theo quy tắc \[3\] điểm đối với tổng vec tơ:
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v = {2 \over 3}[\overrightarrow u - \overrightarrow v ]\]
\[AK\] là trung tuyến thuộc cạnh \[BC\] nên
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK} \Rightarrow {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow u \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AC} = {4 \over 3}\overrightarrow u + {2 \over 3}\overrightarrow v \Rightarrow \overrightarrow {CA} = - {4 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \]
\[BM\] là trung tuyến thuộc đỉnh \[B\] nên
\[\eqalign{ & \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \Rightarrow - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v + {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v = {2 \over 3}\overrightarrow u + {4 \over 3}\overrightarrow v \cr} \]
Bài 3 trang 17 sgk hình học lớp 10
Trên đường thẳng chứa cạnh \[BC\] của tam giác \[ABC\] lấy một điểm \[M\] sao cho \[\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \]. Hãy phân tích vectơ \[\overrightarrow {AM} \] theo hai vectơ \[\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow v = \overrightarrow {AC} \]
Giải
Trước hết ta có
\[\eqalign{ & \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3.[\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} ] \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {BC} \cr & \Rightarrow - 2\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {BC} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {BM} = {3 \over 2}\overrightarrow {BC} \cr} \]
mà \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \] nên \[\overrightarrow {BM} = {3 \over 2}[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ]\]
Theo quy tắc \[3\] điểm, ta có
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + {3 \over 2}[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ] = - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {3 \over 2}\overrightarrow {AC} \cr
&\text{ Hay } \overrightarrow {AM} = - {1 \over 2}\overrightarrow u + {3 \over 2}\overrightarrow v \cr} \]
Bài 4 trang 17 sgk hình học lớp 10
Gọi \[AM\] là trung tuyến của tam giác \[ABC\] và \[D\] là trung điểm của đạn \[AM\]. Chứng minh rằng:
a] \[2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \]
b] \[2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \], với \[O\] là điểm tùy ý.
Giải
a] Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên:
Ta có:
\[\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DM} \]
Mặt khác, do \[D\] là trung điểm của đoạn \[AM\] nên \[\overrightarrow {DM} = - \overrightarrow {DA} \]
Khi đó: \[2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DA} + 2\overrightarrow {DM} = 2\left[ {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DM} } \right] = \overrightarrow 0 \]
b] Ta có:
\[\eqalign{ & 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \cr & \Leftrightarrow 2\left[ {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OD} } \right] + \left[ {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OD} } \right] + \left[ {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right] = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \cr} \] [Đúng theo câu a]
Vậy: \[2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \], với \[O\] là điểm tùy ý
Giaibaitap.me
Page 6
Bài 5 trang 17 sgk hình học lớp 10
Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm các cạnh \[AB\] và \[CD\] của tứ giác \[ABCD\]. Chứng minh rằng:
\[2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \]
Giải
\[N\] là trung điểm của \[CD\]:
\[2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \] [1]
Theo quy tắc 3 điểm, ta có:
\[\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} \] [2]
\[\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \] [3]
Từ [1], [2], [3] ta có:
\[2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \]
\[= \left[ {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right] + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \]
Chứng minh tương tự, ta có: \[2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \]
Bài 6 trang 17 sgk hình học lớp 10
Cho hai điểm phân biệt \[A\] và \[B\]. Tìm điểm \[K\] sao cho
\[3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\].
Giải
Ta có: \[3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\]\[ \Rightarrow 3\overrightarrow{KA}= -2 \overrightarrow{KB}\] \[ \Rightarrow \overrightarrow{KA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\]
Đẳng thức này chứng tỏ hi vec tơ \[\overrightarrow{KA},\overrightarrow{KB}\] là hai véc tơ ngược hướng, do đó \[K\] thuộc đoạn \[AB\]
Ta lại có: \[\left | \overrightarrow{KA} \right |= \frac{2}{3}\left | \overrightarrow{KB} \right |\]\[ \Rightarrow KA = \frac{2}{3} KB\]
Vậy \[K\] là điểm chia trong đoạn thẳng \[AB\] theo tỉ số \[\frac{2}{3}\].
Bài 7 trang 17 sgk hình học lớp 10
Cho tam giác \[ABC\]. Tìm điểm \[M\] sao cho \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \]
Giải
Gọi \[D\] là trung điểm của cạnh \[AB\], ta có:
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MD} \]
Đẳng thức đã cho trở thành:
\[2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \]
\[\Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \]
Đẳng thức này chứng tỏ \[M\] là trung điểm của \[CD\]
Bài 8 trang 17 sgk hình học lớp 10
Cho lục giác \[ABCDEF\]. Gọi \[M, N, P, Q, R, S\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB, BC, CD, DE, EF, FA\]. Chứng minh rằng hai tam giác \[MPR\] và \[NQS\] có cùng trọng tâm.
Giải
\[MN\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\] nên ta có:
\[\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \]
Tương tự ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right] = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 [1] \cr
& \cr} \]
Gọi \[G\] là trong tâm của tam giác \[MPR\], ta có:
\[\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 [2]\]
Mặt khác :
\[\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr & \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \]
\[\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \left[ {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right] + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} [3]\]
Từ [1],[2], [3] suy ra: \[\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \]
Vậy \[G\] là trọng tâm của tam giác \[NQS\]
Bài 9 trang 17 sgk hình học lớp 10
Cho tam giác đều \[ABC\] có trọng tâm \[O\] và \[M\] là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \[D,E,F\] lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \[M\] đến \[BC, AC, AB\]. Chứng minh rằng:
\[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \]
Giải
Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác
A1B1 // AB; A2C2 // AC; B2C1 // BC.
Dễ thấy các tam giác MB1C2; MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều. Ta lại có MD
Ta có 2
Tương tự: 2
2
=> 2[
Tứ giác là hình bình hành nên
Tương tự:
=> 2[
vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên
Cuối cùng ta có:
2[
=>
Giaibaitap.me
Page 7
Bài 1 trang 26 sgk hình học lớp 10
Trên trục \[[0;\overrightarrow e ]\] cho các điểm \[A, B, M,N\] có tọa độ lần lượt là \[-1, 2, 3, -2\] .
a] Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;
b] Tính độ dài đại số của \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {MN} \]. Từ đó suy ra hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {MN} \] ngược hướng
Giải
a]
b] \[\overline {AB} = 3;\overline {MN} = - 5\]. Từ đây ta có \[\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow e ;\overrightarrow {MN} = - 5\overrightarrow e \] và suy ra \[\overrightarrow {AB} = - {3 \over 5}\overrightarrow {MN} \]
Suy ra \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {MN} \] là hai vectơ ngược hướng.
Bài 2 trang 26 sgk hình học lớp 10
Trong mặt phẳng tọa độ các mệnh đề sau đúng hay sai?
a] \[\overrightarrow{a}= [ -3; 0]\] và \[\overrightarrow{i} = [1; 0]\] là hai vectơ ngược hướng;
b] \[\overrightarrow{a} = [ 3; 4]\] và \[\overrightarrow{i} = [-3; -4]\] là hai vectơ đối nhau;
c] \[\overrightarrow{a} = [ 5; 3]\] và \[\overrightarrow{i} = [3; 5]\] là hai vectơ đối nhau;
d] Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau
Giải
a] Đúng b] Đúng
c] Hai vectơ \[\overrightarrow{a} = [ 5; 3]\] và \[\overrightarrow{i} = [3; 5]\] không cùng phương nên không thể đối nhau, do vậy câu c] sai
d] Đúng
Bài 3 trang 26 sgk hình học lớp 10
Tìm tọa độ của các vec tơ sau:
a] \[\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i}\];
b] \[\overrightarrow{b}= -3 \overrightarrow{j}\]
c] \[\overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j}\]
d] \[\overrightarrow{d} = 0,2\overrightarrow{i}+ \sqrt3\overrightarrow{j}\]
Giải
a] Ta có \[\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i}= 2\overrightarrow{i}+ 0\overrightarrow{j}\] suy ra \[\overrightarrow{a}= [2;0]\]
b] \[\overrightarrow{b}= [0; -3]\]
c] \[\overrightarrow{c}= [3; -4]\]
d] \[\overrightarrow{d} = [0,2; \sqrt 3]\]
Bài 4 trang 26 sgk hình học lớp 10
Trong mặt phẳng \[Oxy\]. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a] Tọa độ của điểm \[A\] là tọa độ của vec tơ \[\overrightarrow{OA}\];
b] Điểm \[A\] nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng \[0\];
c] Điểm \[A\] nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng \[0\];
d] Hoành độ và tung độ của điểm \[A\] bằng nhau khi và chỉ khi \[A\] nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Giải
Các câu \[a, b, c\] đúng; \[d\] sai
Giaibaitap.me
Page 8
Bài 5 trang 27 sgk hình học lớp 10
Trong các mặt phẳng \[Oxy\] cho điểm \[[x_0; y_0]\]
a] Tìm tọa độ điểm \[A\] đối xứng với \[M\] qua trục \[Ox\];
b] Tìm tọa độ điểm \[B\] đối xứng với \[M\] qua trục \[Oy\];
c] Tìm tọa độ điểm \[C\] đối xứng với \[M\] qua gốc \[O\].
Giải
a] Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.
\[{M}[{x_0};{y_0}] \Rightarrow {A}[{x_0}; - {y_0}]\]
b] Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có tung độ bằng nhau còn hoành độ thì đối nhau.
\[{M}[{x_0};{y_0}] \Rightarrow {B}[ - {x_0};{y_0}]\]
c] Hai điểm đối xứng nhau qua gốc \[O\] thì các tọa độ tương ứng đối nhau.
\[M[{x_0};{y_0}] \Rightarrow C[ - {x_0}; - {y_0}]\]
Bài 6 trang 27 sgk hình học lớp 10
Cho hình bình hành \[ABCD\] có \[A[-1; -2], B[3;2], C[4;-1]\]. Tìm tọa độ điểm \[D.\]
Giải
Tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành nên
\[\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\]
Gọi \[[x; y]\] là tọa độ của \[D\] thì
\[\overrightarrow{CD} = [x-4; y+1]\]
\[\overrightarrow{BA}= [-4;-4]\]
\[\overrightarrow{CD}\] = \[\overrightarrow{BA}\] ⇔ \[\left\{\begin{matrix} x-4 = -4\\ y+1 = -4 \end{matrix}\right.\] ⇔ \[\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-5 \end{matrix}\right.\]
Vậy điểm \[D[0;-5]\] là điểm cần tìm.
Bài 7 trang 27 sgk hình học lớp 10
Các điểm \[A'[-4; 1], B'[2;4], C'[2, -2]\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[BC, CA\] và \[AB\] của tam giác \[ABC\]. Tính tọa độ đỉnh của tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác \[ABC\] và \[A'B'C'\] trùng nhau.
Giải
Giả sử \[A[{x_A};{y_A}],B[{x_B};{y_B}],C[{x_C};{y_C}]\]
\[A'\] là trung điểm của cạnh \[BC\] nên \[-4 = \frac{1}{2} [x_B+ x_C]\]
\[\Rightarrow {x_B} + {x_C} = - 8\] [1]
Tương tự ta có \[{x_A} + {x_C} = 4\] [2]
\[{x_B} + {x_A} = 4\] [3]
Giải hệ [1], [2] và [3] ta được:
\[\left\{ \matrix{ {x_A} = 8 \hfill \cr {x_B} = - 4 \hfill \cr
x{}_C = - 4 \hfill \cr} \right.\]
Tương tự ta tính được:
\[\left\{ \matrix{ {y_A} = 1 \hfill \cr {y_B} = - 5 \hfill \cr
y{}_C = 7 \hfill \cr} \right.\]
Gọi \[G[{x_G};y{}_G]\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\]
Khi đó ta có:
$$\left\{ \matrix{ {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.$$
Vậy \[G[0;1]\] [*]
Gọi \[G'[{x_{G'}};y{}_{G'}]\] là trong tâm của tam giác \[A'B'C'\]
Khi đó ta có:
$$\left\{ \matrix{ {x_{G'}} = {{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_{G'}} = {{{y_{A'}} + {y_{B'}} + y{}_{C'}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.$$
Vậy \[G'[0;1]\] [2*]
Từ [*] và [2*] ta thấy \[G \equiv G'\]
Vậy trọng tâm tam giác \[ABC\] và \[A'B'C'\] trùng nhau.
Bài 8 trang 27 sgk hình học lớp 10
Cho \[\overrightarrow{a}= [2; -2]\], \[\overrightarrow{b} = [1; 4]\]. Hãy phân tích vectơ \[\overrightarrow{c} = [5; 0]\] theo hai vectơ \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\]
Giải
Giả sử ta phân tích được \[\overrightarrow{c}\] theo \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] tức là có hai số \[m, n\] để
\[\overrightarrow{c}= m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b}\] cho ta \[\overrightarrow{c}= [2m+n; -2m+4n]\]
Vì \[\overrightarrow{c} =[0;5]\] nên ta có hệ: \[\left\{\begin{matrix} 2m+n=5\\ -2m+4n=0 \end{matrix}\right.\]
Giải hệ phương trình ta được \[m = 2, n = 1\]
Vậy \[\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\]
Giaibaitap.me
Page 9
Câu 1 trang 27 SGK Hình học 10
Cho lục giác đều \[ABCDEF\] có tâm \[O\]. Hãy chỉ ra các vectơ bằng \[\overrightarrow {AB} \] có điểm đầu và điểm cuối là \[O\] hoặc các đỉnh của lục giác.
Trả lời:
Trên hình vẽ, ta thấy các vecto: \[\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {ED} \] là các vectơ bằng \[\overrightarrow {AB} \].
Câu 2 trang 27 SGK Hình học 10
Cho hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] đều khác \[\overrightarrow 0 \] . Các khẳng định sau đúng hay sai?
A. Hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] cùng hướng thì cùng phương
B. Hai vectơ \[\overrightarrow b \] và \[k\overrightarrow b \] cùng phương
C. Hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[[ - 2]\overrightarrow a \] cùng hướng
D. Hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] đều khác \[\overrightarrow 0 \] ngược hướng với vectơ thứ ba khác \[\overrightarrow 0 \] thì cùng phương.
Trả lời:
a] Đúng, vì ta chỉ xét các vectơ cùng hướng hay ngược hướng khi các vectơ này cùng phương.
b] Đúng [theo định nghĩa tích của một số với một vectơ]
c] Sai, \[\overrightarrow a \] và \[[ - 2]\overrightarrow a \] là hai vectơ ngược hướng
d] Đúng.
Câu 3 trang 27 SGK Hình học 10
Tứ giác \[ABCD\] là hình gì nếu \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \] và \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\]
Trả lời:
Ta có:
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \] suy ra \[AB//DC\] và \[AB=DC\] do đó \[ABCD\] là hình bình hành
\[|\overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {BC} |\] suy ra \[AB=BC\], hình bình hành \[ABCD\] có \[2\] cạnh liên tiếp bằng nhau do đó \[ABCD\] là hình thoi [theo dấu hiệu nhận biết hình thoi].
Câu 4 trang 27 SGK Hình học 10
Chứng minh rằng \[|\overrightarrow a + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} \]
Trả lời:
Từ một điểm \[O\] trong mặt phẳng ta dựng vectơ:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \cr
& \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \cr} \]
Và dựng hình bình hành \[OACB\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OB} \]
Như vậy:
\[\eqalign{ & OA = |\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow a | \cr & OB = |\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \Rightarrow AC = |\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow b | \cr & \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr
& OC = |\overrightarrow {OC} | = |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \cr} \]
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \[OAC\], ta có:
\[OA + AC ≥ OC ⇒ |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} \].
Giaibaitap.me
Page 10
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 99 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 99 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 98 Sách giáo khoa...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 97 Sách giáo khoa...
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 96, 97 Sách giáo...
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 96 Sách giáo khoa...
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 7, 8, 9, 10 trang 95 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 5, 6, 10 trang 94, 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 94 Sách giáo khoa Hình...
Page 11
Câu 7 trang 28 SGK Hình học 10
Cho sáu điểm \[M, N, P, Q, R, S\] bất kì. Chứng minh rằng :
\[\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {RQ} \]
Trả lời:
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SP} \cr & \overrightarrow {NQ} = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} \cr & \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RQ} + \overrightarrow {QS} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = [\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {RQ} ] + [\overrightarrow {SP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QS} ] \cr} \]
Vì \[\overrightarrow {SP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QS} = \overrightarrow {SS} = \overrightarrow 0 \]
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Câu 8 trang 28 SGK Hình học 10
Cho tam giác \[OAB\]. Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[OA\] và \[OB\]. Tìm các số \[m, n\] sao cho:
a] \[\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \]
b] \[\overrightarrow {AN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \]
c] \[\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \]
d] \[\overrightarrow {MB} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \]
Trả lời:
a] Ta có: \[\overrightarrow {OM} = {1 \over 2}\overrightarrow {OA} \]
Do đó: \[m = {1 \over 2};n = 0\]
b] Ta có: vì \[N\] là trung điểm \[OB\]
\[\eqalign{ & 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \]
Vậy \[m = - 1;n = {1 \over 2}\]
c]
\[\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}[\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ] \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \]
Vậy \[m = - {1 \over 2},n = {1 \over 2}\]
d] Ta có:
\[\eqalign{ & 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BO} \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} \Rightarrow 2\overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \cr} \]
Vậy \[m = - {1 \over 2},n = 1\]
Câu 9 trang 28 SGK Hình học 10
Chứng minh rằng nếu \[G\] và \[G’\] lần lượt là trọng tâm của các tam giác \[ABC\] và \[A’B’C’\] bất kì thì:
\[3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \]
Trả lời:
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'} \cr
& \Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = [\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ] + [\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} ] + [\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} ][1] \cr} \]
\[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\] nên:
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \] [2]
\[G’\] là trọng tâm của tam giác \[A’B’C’\] nên:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0 \cr} \]
[3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \]
Câu 10 trang 28 SGK Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], các khẳng định sau đúng hay sai?
a] Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau
b] Vecto \[\overrightarrow a \] cùng phương với \[\overrightarrow i \] nếu a có hoành độ bằng 0
c] Vecto \[\overrightarrow i \] có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với \[\overrightarrow j \]
Trả lời:
a] Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho vectơ \[\overrightarrow a = [a_1;a_2]\] và vectơ đối của vectơ \[\overrightarrow a \] là vectơ \[\overrightarrow b = - \overrightarrow a =[-a_1;-a_2]\]
Vậy khẳng định hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau là đúng.
b] Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], vectơ \[\overrightarrow i [1; 0]\].
Vecto \[\overrightarrow a ≠ 0\] cùng phương với vecto \[\overrightarrow i \] khi \[\overrightarrow a = k\overrightarrow i \] với \[k ∈\mathbb R\].
Suy ra: \[\overrightarrow a = [k; 0]\] với \[k ≠ 0\].
Vậy khẳng định vectơ \[a≠ 0\] cùng phương với vectơ nếu có hoành độ bằng \[0\] là sai.
c] Trong mặt phẳng \[Oxy\] có vectơ \[[0; 1]\]
Vectơ \[\overrightarrow a \] cùng phương với vectơ \[\overrightarrow j \] khi \[\overrightarrow a = k \overrightarrow j \] với \[k ∈\mathbb R\].
Suy ra: \[\overrightarrow a = [0;k]\] với \[k ∈\mathbb R\].
Vậy khẳng định Vectơ \[\overrightarrow a \] có hoành độ bằng \[0\] thì cùng phương với \[\overrightarrow j \] là đúng.
Giaibaitap.me
Page 12
Câu 12 trang 28 SGK Hình học 10
Cho:
\[\overrightarrow u = {1 \over 2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j ,\overrightarrow v = \overrightarrow {mi} - 4\overrightarrow j \]
Tìm \[m\] để \[\overrightarrow u\] và \[\overrightarrow v \]cùng phương.
Trả lời:
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow u = {1 \over 2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow u = [{1 \over 2}; - 5] \cr
& \overrightarrow v = m\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow v = [m, - 4] \cr} \]
Để thỏa mãn yêu cầu của đề bài:
\[\overrightarrow u //\overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow u = k\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {1 \over 2} = km \hfill \cr
- 5 = - 4k \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m = {2 \over 5} \hfill \cr
k = {5 \over 4} \hfill \cr} \right. \Rightarrow m = {2 \over 5}\]
Câu 11 trang 28 SGK Hình học 10
Cho \[\overrightarrow a [2,1];\overrightarrow b [3, - 4];\overrightarrow c [ - 7,2]\]
a] Tìm tọa độ của vecto \[\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 4\overrightarrow c \]
b] Tìm tọa độ vecto \[x\] sao cho \[\overrightarrow x + \overrightarrow a = \overrightarrow b - \overrightarrow c \]
c] Tìm các số \[k\] và \[h\] sao cho \[\overrightarrow c = k\overrightarrow a + h\overrightarrow b \]
Trả lời:
a] Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow u = [3.2 + 2.3 - 4.[ - 7];3.1 + 2[ - 4] - 4.2] \cr
& \Rightarrow \overrightarrow u = [40; - 13] \cr} \]
b] Gọi tọa độ của \[x\] là \[[m, n]\]. Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow x + \overrightarrow a = [m + 2;n +1] \cr
& \overrightarrow b - \overrightarrow c = [ 10;-6] \cr} \]
Giải hệ phương trình:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ m + 2 = 10 \hfill \cr n + 1 = - 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow m = 8,n = -7 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow x = [8, - 7] \cr} \]
c] Ta có: \[\overrightarrow c = k\overrightarrow a + h\overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow c = [2k + 3h;k - 4h]\]
Với ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{ 2k + 3h = - 7 \hfill \cr
k - 4h = 2 \hfill \cr} \right.\]
Giải hệ phương trình này ta được: \[k = -2, h = -1\]
Câu 13 trang 28 SGK Hình học 10
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
a] Điểm \[A\] nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng \[0\]
b] \[P\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] khi và chỉ khi hoành độ của \[P\] bằng trung bình cộng các hoành độ của \[A\] và \[B\].
c] Nếu tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \[A\] và \[C\] bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \[B\] và \[D\].
Trả lời:
a] Sai vì các điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng \[0\].
b] Sai. Để \[P\] là trung điểm của \[AB\] thì phải có:
_ Hoành độ của \[P\] bằng trung bình cộng các hoành độ của \[A\] và \[B\].
_ Tung độ của \[P\] bằng trung bình cộng các tung độ của \[A\] và \[B\].
Thiếu một trong hai điều trên đây thì \[P\] chưa chắc là trung điểm của \[AB\].
c] Đúng.
Vì trong trường hợp này tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành có hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \[A\] và \[C\] chính là tọa độ trung điểm của đoạn \[AC\] do đó nó cũng là trung điểm của \[BD\] và bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \[B\] và \[D\].
Giaibaitap.me
Page 13
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 99 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 99 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 98 Sách giáo khoa...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 97 Sách giáo khoa...
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 96, 97 Sách giáo...
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 96 Sách giáo khoa...
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 7, 8, 9, 10 trang 95 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 5, 6, 10 trang 94, 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 94 Sách giáo khoa Hình...
Page 14
Câu 5 trang 29 SGK Hình học 10
Cho ba điểm phân biệt \[A, B, C\]. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} \]
B. \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \]
C. \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB} \]
D. \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \]
Trả lời:
Với ba điểm \[A, B, C\] ta có:
\[\eqalign{& \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \cr & \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \cr
& \Rightarrow A \equiv B \cr} \]
[trái với giả thiết]
\[\eqalign{& \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \cr & \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} \cr
& \Rightarrow A \equiv B \cr} \]
⇒ trái với giả thiết
c] đúng vì \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \]
Vậy chọn C
Câu 6 trang 29 SGK Hình học 10
Cho hai điểm phân biệt \[A\] và \[B\]. Điều kiện để điểm \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] là:
a] \[IA = IB\]
b] \[\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \]
c] \[\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \]
d] \[\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} \]
Trả lời:
c] đúng. Vì:
\[\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \]
\[⇔ I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\]
Câu 7 trang 29 SGK Hình học 10
Cho tam giác \[ABC\] có \[G\] là trọng tâm, \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[BC\]. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. \[\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {GI} \]
B. \[\overrightarrow {IG} = - {1 \over 3}\overrightarrow {IA} \]
C. \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} \]
D. \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} \]
Trả lời:
\[I\] là trung điểm của \[BC\] và \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\],
Gọi \[E\] là điểm đối xứng với \[G\] qua \[I\] thì tứ giác \[BGCE\] là hình bình hành
Suy ra: \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GE} = 2\overrightarrow {GI} \]
Câu 8 trang 29 SGK Hình học 10
Cho hình bình hành \[ABCD\]. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} \]
B. \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \]
C. \[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {CD} \]
D. \[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} \]
Trả lời:
Ta có: tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành nên:
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \hfill \cr
\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD}+ \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {BC} \cr & \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \ne \overrightarrow {AB} \cr & \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \ne 2\overrightarrow {CD} \cr
& \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {CD} \cr} \]
Vậy A đúng.
Giaibaitap.me
Page 15
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 99 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 99 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 98 Sách giáo khoa...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 97 Sách giáo khoa...
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 96, 97 Sách giáo...
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 96 Sách giáo khoa...
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 7, 8, 9, 10 trang 95 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 5, 6, 10 trang 94, 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 94 Sách giáo khoa Hình...
Page 16
Câu 11 trang 30 SGK Hình học 10
Cho tam giác \[ABC\] có \[A[3; 5]; B[1; 2]; C[5; 2]\]. Trọng tâm của tam giác \[ABC\] là:
A. \[{G_1}[ - 3;4]\] B. \[{G_2}[4;0]\]
C. \[{G_3}[\sqrt 2 ;3]\] D. \[{G_4}[3;3]\]
Trả lời:
\[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\] nên:
\[\left\{ \matrix{4 {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \hfill \cr {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_G} = 3 \hfill \cr
{y_G} = 3 \hfill \cr} \right.\]
Vậy chọn D.
Câu 12 trang 30 SGK Hình học 10
Cho bốn điểm \[A[1, 1]; B[2, -1]; C[4, 3]; D[3, 5]\]. Chọn mệnh đề đúng.
A. Tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành
B. Điểm \[G[2;{5 \over 3}]\] là trọng tâm của tam giác \[BCD\]
C. \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \]
D. \[\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \] cùng phương
Trả lời:
Ta có:
* \[\overrightarrow {AB} = [1; - 2];\overrightarrow {DC} = [ - 1;2] \Rightarrow \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {DC} \] nên \[ABCD\] không phải là hình bình hành.
* \[G\] là trọng tâ m của tam giác \[BCD\] nên:
\[\left\{ \matrix{{x_G} = {{{x_D} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = 3 \hfill \cr
{y_G} = {{{y_D} + {y_B} + {y_C}} \over 3} = {7 \over 3} \hfill \cr} \right.\]
* \[\overrightarrow {CD} = [1; - 2] \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \]
* \[\overrightarrow {AC} [3;2],\overrightarrow {AD} [2;4]\] nên không cùng phương.
Vậy chọn C.
Câu 13 trang 30 SGK Hình học 10
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho bốn điểm \[A[-5; -2]; B[-5; 3]; C[3; 3]; D[3; -2]\].
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \] cùng hướng
B. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật
C. Điểm \[I[-1; 1]\] là trung điểm của \[AC\]
D. \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \]
Trả lời:
Ta có:
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} = [0,5];\overrightarrow {DC} = [0,5] \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \hfill \cr
\overrightarrow {AD} = [8,0] \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[ABCD\] là hình chữ nhật . Do đó chọn B
Câu 14 trang 30 SGK Hình học 10
Cho tam giác \[ABC\]. Đặt \[\overrightarrow a = \overrightarrow {BC} ;\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \]
Các cặp vecto nào sau đây cùng phương?
A.
\[\left\{ \matrix{ 2\overrightarrow a + \overrightarrow b \hfill \cr
\overrightarrow a + 2\overrightarrow b \hfill \cr} \right.\]
B.
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \hfill \cr
\overrightarrow {2a} - \overrightarrow b \hfill \cr} \right.\]
C.
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {5a} + \overrightarrow b \hfill \cr
- 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \hfill \cr} \right.\]
D.
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow a + \overrightarrow b \hfill \cr
\overrightarrow a - \overrightarrow b \hfill \cr} \right.\]
Trả lời:
Xét mệnh đề c] ta có: \[ - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = - 2[5\overrightarrow a + \overrightarrow b ]\]
Vậy
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {5a} + \overrightarrow b \hfill \cr
- 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \hfill \cr} \right.\]
là cặp vecto cùng phương. Do đó chọn C.
Giaibaitap.me
Page 17
Câu 15 trang 30 SGK Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có gốc O là tâm của hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
a] \[|\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} | = AB\]
b]
\[\left\{ \matrix{
\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} \hfill \cr
\overrightarrow {DC} \hfill \cr} \right.\]
cùng hướng
c] xA = -xC và yA = yC
d] xB = -xC và yC = -yB
Trả lời:
a] Qua A kẻ \[\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {OE} \]
Ta dễ dàng chứng minh được:
\[\overrightarrow {OE} = \overrightarrow {BA} \Rightarrow |\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow {OE} | = |\overrightarrow {BA} | = AB\]
Vậy a] đúng
b] Vì \[\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \]
Mà \[\overrightarrow {BA} \] và \[\overrightarrow {DC} \] ngược hướng nên b] sai
c] xA = -xC và yA = yC là sai.
Đúng ra là : xA = -xC và yA = - yC
d] Sai vì xB = xC
Vậy chọn A.
Câu 16 trang 31 SGK Hình học 10
Cho \[M[3, -4]\] kẻ \[MM_1\] vuông góc với \[O x, MM_2\] vuông góc với \[Oy\],
Khẳng định nào sau đây là đúng?
a] \[\overrightarrow {O{M_1}} = - 3\]
b] \[\overrightarrow {O{M_2}} = 4\]
c] \[\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} \] có tọa độ \[[-3, -4]\]
d] \[\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} \] có tọa độ là \[[3, -4]\]
Trả lời:
a] Đúng vì:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {O{M_1}} = 3;\overrightarrow {O{M_2}} = - 4 \cr & \overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} = \overrightarrow {{M_2}{M_1}} = [-3,4] \cr
& \overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} = \overrightarrow {OM} = [3, - 4] \cr} \]
Vậy chọn D.
Câu 17 trang 31 SGK Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho \[A[2; -3]; B[4; 7]\]. Tọa độ trung điểm \[I\] của đoạn thẳng \[AB\] là:
A. \[[6; 4]\] B \[[2; 10]\]
C. \[[3; 2]\] D. \[[8; -21]\]
Trả lời:
Tọa độ trung điểm \[I\] của đoạn thẳng \[AB\] là:
\[\left\{ \matrix{ {x_I} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} \hfill \cr {y_I} = {{{y_A} + {y_B}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_I} = {{2 + 4} \over 2} = 3 \hfill \cr
{y_I} = {{ - 3 + 7} \over 2} = 2 \hfill \cr} \right.\]
Vậy chọn C.
Câu 18 trang 31 SGK Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho \[A[5; 2]; B[10; 8]\]. Tọa độ của vecto là:
A. \[[15; 10]\] B. \[[2; 4]\]
C.\[[5; 6]\] D. \[[50; 16]\]
Trả lời:
Tọa độ của vectơ cần tìm là: \[\overrightarrow {AB} = [{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}] = [5,6]\]
Vậy chọn C.
Giaibaitap.me
Page 18
Câu 19 trang 31 SGK Hình học 10
Cho tam giác \[ABC\] có \[B[9; 7]; C[11; -1], M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\]. Tọa độ của vecto \[\overrightarrow {MN} \] là:
A. \[[2; -8]\] B.\[ [1; -4]\]
C. \[[10 ;6]\] D. \[[5; 3]\]
Trả lời:
Ta có: vecto \[\overrightarrow {BC} = [2, - 8]\]
\[MN//BC ⇒ \overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BC} \] cùng phương.
Vậy \[\overrightarrow MN[1, -4]\]. Do đó chọn B
Câu 20 trang 31 SGK Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa \[Oxy\] cho bốn điểm \[A[3; -2]; B[7; 1]; C[0; 1], D[-8; -5]\]
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \] đối nhau
B. \[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \] cùng phương nhưng ngược hướng
C. \[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \] cùng phương và cùng hướng
D. A, B, C, D thẳng hàng.
Trả lời:
Ta có:
\[\overrightarrow {AB} = [4,3];\overrightarrow {CD} = [ - 8, - 6] \Rightarrow \overrightarrow {CD} = - 2\overrightarrow {AB} \]
Suy ra \[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \] là hai vectơ cùng phương nhưng ngược hướng
Vậy B đúng
Câu 21 trang 31 SGK Hình học 10
Cho ba điểm \[A[-1;5]; B[5; 5]; C[-1; 11]\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \[ A, B, C\] thẳng hàng
B. \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] cùng phương
C. \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] không cùng phương
D. \[\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BC} \] cùng phương.
Trả lời:
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [6,0];\overrightarrow {AC} = [0,6]\]
Vậy \[2\] vectơ trên không cùng phương.
Do đó chọn C
Câu 22 trang 32 SGK Hình học 10
Cho \[\overrightarrow a = [3; - 4];\overrightarrow b [ - 1;2]\] . Tọa độ của \[\overrightarrow a + \overrightarrow b \] là:
a] \[[-4; 6]\] b] \[[2; -2]\]
c] \[[4; -6 \] d] \[[-5; -14]\]
Trả lời:
Ta có:
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow a = [3; - 4] \hfill \cr
\overrightarrow b = [ - 1;2] \hfill \cr} \right. \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = [2; - 2]\]
Chọn B
Giaibaitap.me
Page 19
Câu 23 trang 32 SGK Hình học 10
Cho \[\overrightarrow a = [ - 1;2];\overrightarrow b = [5; - 7]\] . Tọa độ của vecto \[\overrightarrow a - \overrightarrow b \] là:
a] \[[6; -9]\] b] \[[4; -5]\]
c] \[[-6; 9]\] d] \[[-5; -14]\]
Trả lời:
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow a = [ - 1;2] \hfill \cr
\overrightarrow b = [5; - 7] \hfill \cr} \right. \Rightarrow \overrightarrow a - \overrightarrow b = [ - 6;9]\]
Chọn C
Câu 24 trang 32 SGK Hình học 10
Cho \[\overrightarrow a = [5;0];\overrightarrow b = [4;x]\] . Hai vectơ \[a\] và \[b\] cùng phương nếu số \[x\] là:
a] -5 b] 4 c] 0 d] -1
Trả lời:
Ta có:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow a = [5,0] \hfill \cr \overrightarrow b = [4,x] \hfill \cr} \right. \Rightarrow \overrightarrow a //\overrightarrow b \Rightarrow \left\{ \matrix{ - 5 = 4k \hfill \cr 0 = kx \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k = - {5 \over 4} \hfill \cr x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow x = 0 \cr} \]
Chọn C
Câu 25 trang 32 SGK Hình học 10
Cho \[\overrightarrow a = [x;2];\overrightarrow b = [ - 5;1];\overrightarrow c = [x;7]\] . Vectơ \[\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \] nếu:
a] \[x = -15\] b] \[x = 3\]
c] \[x = 15\] d] \[x = 5\]
Trả lời:
Ta có: \[\overrightarrow a = [x;2];\overrightarrow b = [ - 5;1];\overrightarrow c = [x;7]\] nên:
\[\eqalign{ & \overrightarrow c = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = [2x - 15,7] \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 2x - 15 = x \hfill \cr
7 = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 15 \cr} \]
chọn C
Câu 26 trang 32 SGK Hình học 10
Cho \[A[1;1]; B[-2; -2]; C[7; 7]\]. Khẳng định nào đúng?
A. \[G[2;2]\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\]
B. Điểm \[B\] ở giữa hai điểm \[A\] và \[C\]
C. Điểm \[A\] ở giữa hai điểm \[B\] và \[C\]
D. Hai vecto \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AC} \] cùng hướng.
Trả lời:
a] \[G[2; 2] ⇒\] A đúng4
c] Ta lại có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = [ - 3; - 3] = - 3[1;1] \cr
& \overrightarrow {AC} = [6;6] = 6[1;1] \Rightarrow \overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow {AB} \cr} \]
\[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AC} \] là hai vectơ ngược hướng, suy ra điểm \[A\] ở giữa hai điểm \[B\] và \[C\].
Do đó C sai.
B và D là khẳng định sai.
Vậy chọn A.
Câu 27 trang 32 SGK Hình học 10
Các điểm \[M[2; 3]; N[0; -4]; P[-1; 6]\] lần lượt là trung điểm các cạnh \[BC, CA, AB\] của tam giác \[ABC\]. Tọa độ của đỉnh \[A\] là:
a] \[[1; 5]\] b] \[[-3; 1]\]
c] \[[-2; -7]\] d] \[[1; -10]\]
Trả lời:
Trung tuyến \[AM\] cắt \[PN\] tại \[I\] thì \[I\] là trung điểm của \[PN\] nên \[I[ - {1 \over 2},1]\] và \[I\] cũng là trung điểm của \[AM\].
Suy ra: \[A\] đối xứng với \[M\] qua \[I\] nên:
\[\left\{ \matrix{ {x_A} + {x_M} = 2{x_I} \hfill \cr {y_A} + {y_M} = 2{y_I} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_A} = 2{x_I} - {x_M} = - 3 \hfill \cr
{y_A} = 2{y_I} - {y_M} = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[A[-3, -1] ⇒\] chọn B.
Giaibaitap.me
Page 20
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 99 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 99 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 98 Sách giáo khoa...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 97 Sách giáo khoa...
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 96, 97 Sách giáo...
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 96 Sách giáo khoa...
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 7, 8, 9, 10 trang 95 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 5, 6, 10 trang 94, 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 94 Sách giáo khoa Hình...
Page 21
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 99 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 99 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 98 Sách giáo khoa...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 97 Sách giáo khoa...
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 96, 97 Sách giáo...
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 96 Sách giáo khoa...
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 7, 8, 9, 10 trang 95 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 5, 6, 10 trang 94, 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 94 Sách giáo khoa Hình...
Page 22
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 99 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 99 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 98 Sách giáo khoa...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 97 Sách giáo khoa...
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 96, 97 Sách giáo...
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 96 Sách giáo khoa...
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 7, 8, 9, 10 trang 95 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 5, 6, 10 trang 94, 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 94 Sách giáo khoa Hình...
Page 23
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 99 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 99 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 98 Sách giáo khoa...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 97 Sách giáo khoa...
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 96, 97 Sách giáo...
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 96 Sách giáo khoa...
- Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 7, 8, 9, 10 trang 95 Sách giáo khoa Hình...
- Giải bài 5, 6, 10 trang 94, 95 Sách giáo khoa...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 94 Sách giáo khoa Hình...
Page 24
Bài 1 trang 45 sgk hình học 10
Cho tam giác vuông cân \[ABC\] có \[AB = AC = a\]. Tính các tích vô hướng \[\vec{AB}.\vec{AC}\], \[\vec{AC}.\vec{CB}\].
Giải
\[\vec{AB} ⊥\vec{AC}\Rightarrow \vec{AB}.\vec{AC} = 0\]
\[\vec{AC}.\vec{CB} =- \vec{CA}\]. \[\vec{CB}\]
Ta có: \[CB= a\sqrt2\]; \[\widehat{C} = 45^0\]
Vậy \[\vec{AC}.\vec{CB} = -\vec{CA}. \vec{CB}= -|\vec{CA}|. |\vec{CB}|. cos45^0\]
\[= - a.a\sqrt 2 .{{\sqrt 2 } \over 2} = - {a^2}\]
Bài 2 trang 45 sgk hình học 10
Cho ba điểm \[O, A, B\] thẳng hàng biết \[OA = a, OB = b\]. tính tích vô hướng của \[\vec{OA}\].\[\vec{OB}\] trong \[2\] trường hợp
a] Điểm \[O\] nằm ngoài đoạn \[AB\]
b] Điểm \[O\] nằm trong đoạn \[AB\]
Giải
a] Khi \[O\] nằm ngoài đoạn \[AB\] thì hai vec tơ \[\vec{OA}\] và \[\vec{OB}\] cùng hướng và góc
\[[\vec{OA}, \vec{OB}] = 0^0\]
\[\cos[\vec{OA}, \vec{OB}] = 1\] nên \[\vec{OA}.\vec{OB} = a.b\]
b] Khi \[O\] nằm ngoài trong đoạn \[AB\] thì hai vectơ \[\vec{OA}\] và \[\vec{OB}\] ngược hướng và góc
[\[\vec{OA}, \vec{OB}] = 180^0\]
\[\cos[\vec{OA}, \vec{OB}] = -1\] nên \[\vec{OA}.\vec{OB} = -a.b\]
Bài 3 trang 45 sgk hình học 10
Cho nửa đường tròn tâm \[O\] có đường kính \[AB = 2R\]. Gọi \[M\] và \[N\] là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \[AM\] và \[BN\] cắt nhau tại \[I\].
a] Chứng minh \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\] và \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\];
B] Hãy dùng câu a] để tính \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\] theo \[R\]
Giải
Ta có : \[\left[ {\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} } \right] = \overrightarrow {AI} \left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right] = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB} \]
Mặt khác: \[\overrightarrow {AI} \bot \overrightarrow {MB} \] nên \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB} = 0\]
Từ đó: \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \]
Ta có: \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BI} \left[ {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NA} } \right] = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA} \]
Mặt khác: \[\overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {NA} \] nên \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA} = 0\]
Từ đó: \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \]
b]
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right] \cr
& = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \]
Bài 4 trang 45 sgk hình học 10
Trên mặt phẳng \[Oxy\], cho hai điểm \[A[1; 3], B[4;2]\]
a] Tìm tọa độ điểm \[D\] nằm trên trục \[Ox\] sao cho \[DA = DB\];
b] Tính chu vi tam giác \[OAB\];
c] Chứng tỏ rằng \[OA\] vuông góc với \[AB\] và từ đó tính diện tích tam giác \[OAB\]
Giải
a] \[D\] nằm trên trục \[Ox\] nên tọa độ của \[D\] là \[[x; 0]\].
Ta có :
\[\eqalign{ & DA = DB \cr & \Leftrightarrow D{A^2} = D{B^2} \cr & \Leftrightarrow {[1 - x]^2} + {3^2} = {[4 - x]^2} + {2^2} \cr & \Leftrightarrow 1 - 2x + {x^2} + 9 = 16 - 8x + {x^2} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6x = 10 \cr & \Leftrightarrow x = {5 \over 3} \cr
& \Rightarrow D\left[ {{5 \over 3};0} \right] \cr} \]
b]
\[\eqalign{ & O{A^2} = {1^2} + {3^3} = 10 \Rightarrow OA = \sqrt {10} \cr & O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 20 \Rightarrow OB = 2\sqrt 5 \cr
& A{B^2} = {[4 - 1]^2} + {[2 - 3]^2} = 10 \Rightarrow AB = \sqrt {10} \cr} \]
Chu vi tam giác \[OAB\] là: \[\sqrt {10} + 2\sqrt 5 + \sqrt {10} \]
c] Ta có \[\vec{OA}= [1; 3]\]
\[\vec{AB} = [3; -1]\]
\[\vec{OA} .\vec{AB} = 1.3 + 3.[-1] = 0 \Rightarrow \vec{OA}\] ⊥ \[\vec{AB}\]
\[{S_{OAB}}=\frac{1}{2}|\vec{OA}| .|\vec{AB}| =5\] [đvdt]
Giaibaitap.me
Page 25
Bài 5 trang 45 sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] trong các trường hợp sau :
a] \[\overrightarrow a \] = [2; -3], \[\overrightarrow b \]= [6, 4];
b] \[\overrightarrow a \] = [3; 2], \[\overrightarrow b \]= [5, -1];
c] \[\overrightarrow a = [-2; -2\sqrt3]\], \[\overrightarrow b = [3; \sqrt3]\];
Hướng dẫn:
a] \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.6 + \left[ { - 3} \right].4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b\] hay \[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = {90^0}\]
b] \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.5 + 2\left[ { - 1} \right] = 13\]
Mặt khác:
\[\eqalign{ & \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \cr & = \sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} .\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \cr
& = \sqrt {26} .\sqrt {13} .\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \cr} \]
\[\eqalign{ & \Rightarrow 13 = \sqrt {26} .\sqrt {13} \cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \cr & \Rightarrow \cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = {45^0} \cr} \]
c] \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 2.3 + \left[ { - 2\sqrt 3 } \right].\sqrt 3 = -12\]
\[\eqalign{ & \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \cr & = \sqrt {{{\left[ { - 2} \right]}^2} + {{\left[ { - 2\sqrt 3 } \right]}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left[ {\sqrt 3 } \right]}^2}} .\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \cr & = 4 .\sqrt {12} .\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \cr & \Rightarrow \cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = {{-12} \over 4.{\sqrt {12} }} = {{-\sqrt3 \over 2}} \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 150^0\cr} \]
Bài 6 trang 46 sgk hình học 10
Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho bốn điểm :
\[A[7; -3]; B[8; 4]; C[1; 5]; D[0;-2]\].
Chứng minh rằng tứ giác \[ABCD\] là hình vuông.
Giải
\[\vec{AB} = [1; 7]\]; \[\vec{DC}= [1; 7]\]
\[\vec{AB} = \vec{DC}\Rightarrow ABCD\] là hình bình hành [1]
Ta có :
\[AB^2={[8 - 7]^2} + {[4 + 3]^2} = 1 + 49 = 50 \Rightarrow AB = 5\sqrt 2 \]
\[A{D^2} = {[0 - 7]^2} + {[ - 2 + 3]^2} = 49 + 1 = 50 \Rightarrow AD = 5\sqrt 2 \]
Suy ra \[AB = AD\], kết hợp với [1] suy ra \[ABCD\] là hình thoi [2]
Mặt khác \[\vec{AB} = [1; 7]\]; \[\vec{AD} = [-7; 1]\]
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 1.[ - 7] + 7.1 = 0 \Rightarrow \vec{AB}⊥\vec{AD}\] [3]
Kết hợp [2] và [3] suy ra \[ABCD\] là hình vuông.
Bài 7 trang 46 sgk hình học 10
Trên mặt phẳng \[Oxy\] cho điểm \[A[-2; 1]\]. Gọi \[B\] là điểm đói xứng với điểm \[A\] qua gốc tọa độ \[O\]. Tìm tọa độ của điểm \[C\] có tung độ bằng \[2\] sao cho tam giác \[ABC\] vuông ở \[C\].
Giải
Điểm \[B\] đối xứng với \[A\] qua gốc tọa độ nên tọa độ của \[B\] là \[[2; -1]\]
Tọa độ của \[C\] là \[[x; 2]\]. Ta có: \[\vec{CA} = [-2 - x; -1]\]
\[\vec{CB} = [2 - x; -3]\]
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\] \[\Rightarrow\vec{CA} ⊥ \vec{CB}\Rightarrow \vec{CA}.\vec{CB} = 0\]
\[\Rightarrow[-2 - x][2 - x] + [-1][-3] = 0\]
\[\Rightarrow -4 +x^2+ 3 = 0\]
\[\Rightarrow x^2= 1 \Rightarrow x= 1\] hoặc \[x= -1\]
Ta tìm được hai điểm \[C_1[1; 2]; C_2[-1; 2]\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giaibaitap.me
Page 26
Bài 1 trang 59 sgk hình học 10
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], \[\widehat{B}= 58^0\]
và cạnh \[a = 72 cm\]. Tính \[\widehat{C}\], cạnh \[b\], cạnh \[c\] và đường cao \[h_a\]
Giải
Theo định lí tổng \[3\] góc trong một tam giác ta có:
\[\eqalign{ & \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \cr
& \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {90^0} - {58^0} = {32^0} \cr} \]
Xét tam giác vuông \[ABC\] có:
\[b = a.\cos {32^0} \Rightarrow b \approx 61,06cm\];
\[c = a.sin{32^0} \Rightarrow c \approx 38,15cm\]
\[h_a =\frac{b.c}{a}\] \[\Rightarrow h_a ≈ 32,36cm\]
Bài 2 trang 59 sgk hình học 10
Cho tam giác \[ABC\] biết các cạnh \[a = 52, 1cm\]; \[b = 85cm\] và \[c = 54cm\]. Tính các góc \[\widehat{A}\], \[\widehat{B}\], \[\widehat{C}\].
Giải
Từ định lí cosin
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA\]
ta suy ra \[\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\] = \[\frac{85^{2}+54^{2}-[52,1]^{2}}{2.85.54}\]
\[\Rightarrow \cos A ≈ 0,8089 \Rightarrow \widehat{A}= 36^0\]
Tương tự, ta tính được \[\widehat{B}≈ 106^028’\] ;
\[\widehat{C}≈ 37^032’\].
Bài 3 trang 59 sgk hình học 10
Cho tam giác \[ABC\] có \[\widehat{A} = 120^0\] cạnh \[b = 8cm\] và \[c = 5cm\]. Tính cạnh \[a\], và góc \[\widehat{B}\], \[\widehat{C}\] của tam giác đó.
Giải
Ta có
\[\eqalign{ & {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.cos{120^0} = 64 + 25 + 40 = 129 \cr
& \Rightarrow a = \sqrt {129} \approx 11,36cm \cr} \]
Ta có thể tính góc \[B\] theo định lí cosin
\[\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} = \frac{129 + 25 - 64}{2.\sqrt{129}.5} ≈ 0,7936 \]
\[\Rightarrow\widehat{B}= 37^048’\]
Ta cũng có thể tính góc \[B\] theo định lí sin :
\[\cos B = \frac{11,36}{\sin120^{0}}= \frac{8}{\sin B}\] \[\Rightarrow \sin B ≈ 0,6085\]
\[\Rightarrow\widehat{B}= 37^048’\]
Tổng ba góc trong một tam giác bằng \[180^0\]
\[\widehat{C}=180^0- [\widehat{A} + \widehat{B}]\]
\[\Rightarrow\widehat{C}= 22^012’\].
Bài 4 trang 59 sgk hình học 10
Tính diện tích \[S\] của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là \[7, 9\] và \[12\].
Giải
Ta có \[2p = 7 + 9 + 12 \Rightarrow p = 14\]
\[p - a = 14 - 7 = 7\]
\[p - b = 14 - 9 = 5\]
\[p - c = 12 - 12 = 2\]
Áp dụng công thức Hêrong:
\[S = \sqrt{14.7.5.2} = \sqrt{2^{2}.7^{2}.5} = 14\sqrt 5\approx 31,3\] [dvdt]
Giaibaitap.me