Đề bài
Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số \[y = {1 \over {x - 1}}\] sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.
Lời giải chi tiết
Với mọi x 1, ta có : \[y' = - {1 \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\]
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \[{M_0}\left[ {{x_0};{1 \over {{x_0} - 1}}} \right]\] [với \[{x_0} \ne 1\] ] là : \[y = - {1 \over {{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}}\left[ {x - {x_0}} \right] + {1 \over {{x_0} - 1}}\]
Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có
hoành độ xAthỏa mãn : \[{{{x_A} - {x_0}} \over {{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}} = {1 \over {{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1\]
và cắt trục tung tại điểm B có tung độ yBlà :
\[{y_B} = {{{x_0}} \over {{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}} + {1 \over {{x_0} - 1}} = {{2{x_0} - 1} \over {{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}}\]
Ta có:
\[\eqalign{ & {S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow {1 \over 2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 2 \cr & \Leftrightarrow {{{{\left[ {2{x_0} - 1} \right]}^2}} \over {{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {3 \over 4} \cr} \]
Suy ra : \[{y_0} = {1 \over {{3 \over 4} - 1}} = - 4.\] Vậy điểm phải tìm Mocó tọa độ là \[\left[ {{3 \over 4}; - 4} \right]\]