Thực hiện theo các bước:
- Bước 1: Giả sử Parabol [P]: y= ax$^2$ + bx + c, với a ≠ 0.
- Bước 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c.
- [P] có đỉnh S[x$_0$, y$_0$] ta nhận được điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - \frac{b}{{2a}}\\{y_0} = - \frac{\Delta }{{4a}}\end{array} \right.$.
- [P] có giá trị cực đại [hoặc cực tiểu] bằng y$_0$ ta nhận được điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\{y_0} = - \frac{\Delta }{{4a}}\end{array} \right.$ [hoặc $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{y_0} = - \frac{\Delta }{{4a}}\end{array} \right.$].
- [P] đạt giá trị cực đại [hoặc cực tiểu] tại điểm có hoành độ bằng x$_0$ ta nhận được điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\{x_0} = - \frac{b}{{2a}}\end{array} \right.$ [hoặc $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{x_0} = - \frac{b}{{2a}}\end{array} \right.$].
- [P] nhận đường thẳng x = x$_0$ làm trục đối xứng ta nhận được điều kiện: x$_0$ = -$\frac{b}{{2a}}$.
II. Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Xác định parabol y = ax$^2$ + bx + 2, biết rằng parabol đó:
Thí dụ 2. Xác định a, b, c biết parabol y = ax$^2$ + bx + c.
a. Đi qua ba điểm A[0; -1], B[1; -1], C[-1; 1]. b. Có đỉnh I[1; 4] và đi qua điểm D[3; 0]. c. Có giá trị cực tiểu bằng -1 và đi qua hai điểm A[2; -1], B[0; 3].a. Ta có: A[0; -1] ∈ [P]: y = ax$^2$ + bx + c -1 = c. [1] B[1; -1] ∈ [P]: y = ax$^2$ + bx + c -1 = a + b + c. [2] C[-1; 1] ∈ [P]: y = ax$^2$ + bx + c 1 = a - b + c. [3] Giải hệ phương trình tạo bởi [1], [2] và [3] ta được a = 1, b = - 1 và c = - 1. Vậy, phương trình [P] có dạng: y = x$^2$ - x - 1. b. Ta có: D[3; 0] ∈ [P]: y = ax$^2$ + bx + c 0 = 9a + 3b + c. [1] I[1; 4] ∈ [P]: y = ax$^2$ + bx + c 4 = a + b + c. [2] I[1; 4] là đỉnh của [P] -$\frac{b}{{2a}}$ = 1 - b = 2a. [3] Giải hệ phương trình tạo bởi [1], [2] và [3] ta được a = -1, b = 2 và c = 3. Vậy, phương trình [P] có dạng: y = -x$^2$ + 2x + 3. c. Ta có: A[2; –1] ∈ [P] => –1 = a.22 + b.2 + c. [1] B[0; 3] ∈ [P] => 3 = a.0 + b.0 + c. [2] Có giá trị cực tiểu bằng –1 => $ - \frac{\Delta }{{4a}}$ = –1. [3] Từ [1], [2] và [3] ta có: a = 2 ; b = 6 ; c = 3.Vậy, phương trình [P]: y = 2x$^2$ + 6x + 3.
Bài tập xác định parabol hoặc tìm các hệ số a, b, c của [P] là bài tập căn bản. Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu cách tìm parabol thường gặp. Từ các kiến thức cơ bản các bạn sẽ phải làm được các bài suy rộng hơn nhưng có giả thiết tương đương
Để nghe giảng và làm bài tập toán các lớp 10, lớp 11, lớp 12 các bạn đăng kí kênh :
youtube: Học toán cùng Nhân Thành , like Fanpage: Học toán cùng Nhân Thành
Bài 1: Xác định Parabol y = ax2 + bx + c có đỉnh là I[1;4] và đi qua A [3;6]
Bài 2: Xác định Parabol y = ax2 + bx + c đi qua 3 điểm A [0; 3], B[1;2], C[−1;16].
Bài 3: Xác định Parabol y = ax2 + bx + c Đi qua A [1;16] và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là − 1 và 5
Bài 4: Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết rằng parabol đó:
a] Đi qua hai điểm M[1; 5] và N[- 2; 8];
b] Đi qua hai điểm A[3;- 4] và có trục đối xứng là x=-3/2
Hướng dẫn giải:
Đi qua hai điểm M[1; 5] và N[- 2; 8].
a] M[1; 5] ∈ [P] nên tọa độ của M thỏa mãn parabol:yM = axM2 + bxM + 2 ↔ 5 = a.12 + b.1 + 2. [1]
N[- 2; 8] ∈ [P] nên tọa độ của N thỏa mãn parabol:yN = axN2 + bxN + 2 ↔ 8 = a.[- 2]2 + b.[- 2] + 2 [2]
Giải hệ phương trình:[1] và [2] ta được a = 2, b = 1.
Vậy Parabol có phương trình là: y = 2x2 + x + 2.
b] Đi qua điểm A[3;- 4] và có trục đối xứng là x=-3/2
- A[3;- 4] ∈ [P] nên tọa độ của A thỏa mãn parabol:yA = axA2 + bxA + 2 ↔ -4 = a.32 + b.3 + 2 [1]
- y = ax2 + bx + 2 có trục đối x = -b/2a ↔ -3/2 = -b/2a ↔ b = 3a [2]
Giải hệ phương trình [1] và [2] ta có a = -1/3, b = -1. Parabol: y = -1/3x2 – x + 2.
Bài 5: Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết rằng parabol đó:
a] Có đỉnh là I[2;- 2];
b] Đi qua điểm B[- 1; 6] và tung độ của đỉnh là -1/4
Hướng dẫn giải
a] Cho hàm số y = ax2 + bx + 2
Tọa độ đỉnh của hàm số là I[-b/2a; -Δ/4a]. Theo đề bài cho tọa độ đỉnh là I[2;- 2]
- -b/2a = 2 ↔ -b = 4a [1]
- -Δ/4a = – 2 ↔ -[b2 – 8a ]= -8a [2]
Giải hệ phương trình [1] và [2] ta thu được kết quả là b = 0 và b = -4
với b = 0 → a = 0 → y = 2 là 1 đường thẳng [loại]
với b = -4 → a = 1
b] Đi qua điểm B[- 1; 6] và tung độ của đỉnh là -1/4
- B[- 1; 6] ∈ [P] nên tọa độ của B thỏa mãn parabol:yB = axB2 + bxB + 2 ↔ 6 = a.[-1]2 + b.[-1] + 2
- Tọa độ đỉnh I[-b/2a; -Δ/4a] tung độ của tọa độ đỉnh là yI = -Δ/4a = -1/4 ↔ – [b2 – 8a ]= -a [2]
Giải hệ phương trình [1] và [2] thu được kết quả
- a = 16 →b = 12
- a = 1 → b = -3
Bài 6: Tìm hàm số bậc hai có đồ thị [P] biết rằng hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x = 2 và nhận giá trị bằng 8 khi x = -1. Vẽ đồ thị [P].
Bài 7: Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol [hình vẽ]. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m . Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất [điểm M ], người ta thả một sợi dây chạm đất [dây căng thẳng theo phương vuông góc với đất]. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m . Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch [tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng].