Bài viết dưới đây sẽ nêu ra các vấn đề tìm tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng nếu có tọa độ của nó làm dữ liệu ban đầu. điểm cực đoan... Tuy nhiên, trước khi bắt đầu nghiên cứu vấn đề, chúng tôi xin giới thiệu một số định nghĩa.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Định nghĩa 1
Phần- một đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý, được gọi là các điểm cuối của đoạn thẳng. Ví dụ, hãy cho nó là điểm A và B và theo đó, đoạn A B.
Nếu đoạn A B tiếp tục theo cả hai hướng từ điểm A và điểm B, ta được đoạn thẳng A B. Khi đó đoạn A B là một phần của đường thẳng giới hạn bởi các điểm A và B. Phân đoạn A B nối các điểm A và B, là các điểm cuối của nó, cũng như một tập hợp các điểm nằm giữa. Ví dụ, nếu chúng ta lấy bất kỳ điểm K bất kỳ nằm giữa hai điểm A và B, chúng ta có thể nói rằng điểm K nằm trên đoạn A B.
Định nghĩa 2
Độ dài đoạn- khoảng cách giữa các đầu của đoạn theo một tỷ lệ nhất định [đoạn có đơn vị độ dài]. Độ dài đoạn A B được kí hiệu như sau: A B.
Định nghĩa 3
Điểm giữa của đoạn- một điểm nằm trên một đoạn và cách đều hai đầu của nó. Nếu trung điểm của đoạn thẳng A B được kí hiệu là điểm C thì đẳng thức sẽ đúng: A C = C B
Dữ liệu ban đầu: tọa độ đường thẳng O x và các điểm không trùng nhau trên đó: A và B. Những điểm này tương ứng với số thực x A và x B. Điểm C - trung điểm của đoạn A B: cần xác định tọa độ x C.
Vì điểm C là trung điểm của đoạn A B nên đẳng thức sau sẽ đúng: | A C | = | C B | ... Khoảng cách giữa các điểm được xác định bởi mô-đun của sự khác biệt giữa các tọa độ của chúng, tức là
| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Khi đó hai giá trị bằng nhau là: x C - x A = x B - x C và x C - x A = - [x B - x C]
Từ đẳng thức thứ nhất ta suy ra công thức tọa độ điểm C: x C = x A + x B 2 [nửa tổng tọa độ các đầu đoạn thẳng].
Từ đẳng thức thứ hai, chúng ta nhận được: x A = x B, điều này là không thể, vì trong dữ liệu gốc - các điểm không khớp. Vì vậy, công thức xác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng A B với đầu A [x A] và B [x B]:
Công thức kết quả sẽ là cơ sở để xác định tọa độ của trung điểm của một đoạn trên mặt phẳng hoặc trong không gian.
Dữ liệu ban đầu: hệ trục tọa độ hình chữ nhật trên mặt phẳng O x y, hai điểm không trùng nhau tùy ý với tọa độ đã cho A x A, y A và B x B, y B. Điểm C là trung điểm của đoạn A B. Cần xác định tọa độ x C và y C đối với điểm C.
Chúng ta hãy phân tích trường hợp điểm A và điểm B không trùng và không nằm trên cùng một trục tọa độ hoặc một đường thẳng vuông góc với một trong các trục. A x, A y; B x, B y và C x, C y - hình chiếu của các điểm A, B, C trên các trục tọa độ [đường thẳng O x và O y].
Theo cách dựng, các đường thẳng A A x, B B x, C C x song song với nhau; các đường thẳng cũng song song với nhau. Cùng với điều này, theo định lý Thales, đẳng thức A C = C B ngụ ý các đẳng thức: A x C x = C x B x và A y C y = C y B y, và lần lượt chúng chỉ ra rằng điểm C x là trung điểm của đoạn A x B x, và C y là trung điểm của đoạn A y B y. Và sau đó, dựa trên công thức thu được trước đó, chúng ta nhận được:
x C = x A + x B 2 và y C = y A + y B 2
Các công thức tương tự có thể được sử dụng trong trường hợp điểm A và B nằm trên cùng một đường tọa độ hoặc một đường thẳng vuông góc với một trong các trục. Chỉ đạo phân tích chi tiết Trường hợp này sẽ không được xem xét, chúng tôi sẽ chỉ xem xét nó bằng đồ thị:
Tóm lại tất cả những điều trên, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng A B trên mặt phẳng với tọa độ các đầu A [x A, y A] và B [x B, y B] định nghĩa là:
[x A + x B 2, y A + y B 2]
Dữ liệu ban đầu: hệ tọa độ О x y z và hai điểm tùy ý có tọa độ cho trước A [x A, y A, z A] và B [x B, y B, z B]. Cần xác định toạ độ điểm C là trung điểm của đoạn thẳng A B.
A x, A y, A z; B x, B y, B z và C x, C y, C z - hình chiếu của tất cả các điểm xác định trên trục của hệ tọa độ.
Theo định lý Thales, các đẳng thức sau là đúng: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z
Do đó, các điểm C x, C y, C z lần lượt là trung điểm của các đoạn A x B x, A y B y, A z B z. Sau đó, để xác định tọa độ của trung điểm của một đoạn trong không gian, các công thức sau đây là hợp lệ:
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
Các công thức thu được cũng có thể áp dụng trong trường hợp điểm A và B nằm trên một trong các đường tọa độ; trên đường thẳng vuông góc với một trong các trục; một mặt phẳng tọa độ hoặc một mặt phẳng vuông góc với một trong các mặt phẳng tọa độ.
Xác định tọa độ trung điểm của một đoạn thông qua tọa độ các vectơ bán kính của các đầu mút của nó
Công thức tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng cũng có thể được suy ra theo cách giải thích đại số của vectơ.
Dữ liệu ban đầu: hình chữ nhật hệ thống Cartesian tọa độ O x y, các điểm có tọa độ cho trước A [x A, y A] và B [x B, x B]. Điểm C là trung điểm của đoạn A B.
Dựa theo định nghĩa hình học của hành động trên vectơ, đẳng thức sau sẽ đúng: O C → = 1 2 · O A → + O B →. Điểm C tại trường hợp này- giao điểm của các đường chéo của hình bình hành được xây dựng trên cơ sở các vectơ O A → và O B →, tức là trung điểm của các đường chéo. Tọa độ của vectơ bán kính của điểm bằng tọa độ của điểm thì các đẳng thức đúng: OA → = [x A, y A], OB → = [x B, y B] . Hãy thực hiện một số phép toán trên vectơ trong tọa độ và nhận được:
O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2
Do đó, điểm C có tọa độ:
x A + x B 2, y A + y B 2
Bằng phép loại suy, một công thức được xác định để tìm tọa độ của trung điểm của một đoạn trong không gian:
C [x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2]
Ví dụ về giải bài toán tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Trong số các nhiệm vụ liên quan đến việc sử dụng các công thức thu được ở trên, có cả những nhiệm vụ liên quan trực tiếp đến câu hỏi tính tọa độ của trung điểm của một đoạn và những công việc liên quan đến việc đưa các điều kiện đã cho cho câu hỏi này: thuật ngữ "trung vị "thường được sử dụng, mục đích là để tìm tọa độ của một từ các đầu của đoạn thẳng, và các bài toán thường gặp về đối xứng, cách giải của nó, nói chung, cũng không gây khó khăn sau khi học chủ đề này... Hãy xem xét các ví dụ điển hình.
ví dụ 1
Dữ liệu ban đầu: trên mặt phẳng - các điểm có tọa độ cho trước A [- 7, 3] và B [2, 4]. Cần tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng A B.
Dung dịch
Gọi trung điểm của đoạn thẳng A B bằng điểm C. Tọa độ của nó sẽ được xác định là tổng nửa tọa độ của các đầu của đoạn, tức là điểm A và điểm B.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Bài giải: tọa độ trung điểm của đoạn thẳng A B - 5 2, 7 2.
Ví dụ 2
Dữ liệu ban đầu: tọa độ của tam giác A B C đã biết: A [- 1, 0], B [3, 2], C [9, - 8]. Cần tìm độ dài trung tuyến A M.
Dung dịch
- Theo giả thiết của bài toán, M là trung trực và do đó M là trung điểm của đoạn B C. Trước hết, chúng ta tìm tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng B C, tức là điểm M:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + [- 8] 2 = - 3
- Vì đã biết tọa độ của hai đầu đường trung trực [điểm A và điểm M], ta có thể sử dụng công thức xác định khoảng cách giữa các điểm và tính độ dài đường trung trực A M:
A M = [6 - [- 1]] 2 + [- 3 - 0] 2 = 58
Bài giải: 58
Ví dụ 3
Dữ liệu ban đầu: v hệ thống hình chữ nhật tọa độ không gian ba chiều cho trước một hình bình hành A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Cho trước tọa độ điểm C 1 [1, 1, 0], đồng thời xác định điểm M, là trung điểm của đường chéo B D 1 và có tọa độ M [4, 2, - 4]. Cần tính tọa độ điểm A.
Dung dịch
Các đường chéo của một hình bình hành có giao điểm tại một điểm, là trung điểm của tất cả các đường chéo. Dựa trên phát biểu này, có thể nhớ rằng điểm M, đã biết theo các điều kiện của bài toán, là trung điểm của đoạn A C 1. Dựa vào công thức tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng trong không gian, ta tìm được tọa độ điểm A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 [- 4] - 0 = - 8
Bài giải: tọa độ của điểm A [7, 3, - 8].
Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong văn bản, vui lòng chọn nó và nhấn Ctrl + Enter
Có cả một nhóm nhiệm vụ [nằm trong các dạng bài kiểm tra] gắn với mặt phẳng tọa độ. Đây là những nhiệm vụ bắt đầu với những nhiệm vụ cơ bản nhất, được giải quyết bằng miệng [xác định vị trí điểm đặt, hoặc các điểm cho trước đối xứng và các điểm khác], kết thúc bằng các nhiệm vụ đòi hỏi kiến thức chất lượng cao, sự hiểu biết và kỹ năng tốt [các nhiệm vụ liên quan đến hệ số góc của một đường thẳng].
Dần dần, chúng tôi sẽ xem xét tất cả chúng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ bắt đầu với những điều cơ bản. nó nhiệm vụ đơn giảnđể xác định: hoành độ và hoành độ của một điểm, độ dài của đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng, sin hoặc côsin của góc nghiêng của một đoạn thẳng.Hầu hết các nhiệm vụ này sẽ không thú vị. Nhưng tôi cho rằng việc trình bày chúng là cần thiết.
Thực tế là không phải ai cũng đi học. Nhiều người tham gia Kỳ thi Quốc gia Thống nhất 3-4 năm hoặc hơn sau khi hoàn thành, và họ mơ hồ nhớ được abscissa và phong chức là gì. Chúng tôi sẽ phân tích các nhiệm vụ khác liên quan đến mặt phẳng tọa độ, đừng bỏ lỡ, đăng ký, để cập nhật blog. Bây giờ n rất nhiều lý thuyết.
Dựng điểm A trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ x = 6, y = 3.
Họ nói rằng hoành độ của điểm A là sáu, hoành độ của điểm A là ba.
Nói một cách đơn giản, trục oh là trục abscissa, trục oh là trục y.
Nghĩa là, abscissa là một điểm trên trục x mà một điểm xác định trên mặt phẳng tọa độ được chiếu vào; Tọa độ là điểm trên trục oy mà hình chiếu của điểm xác định lên đó.
Độ dài đoạn trên mặt phẳng tọa độ
Công thức xác định độ dài của một đoạn, nếu biết tọa độ các đầu của đoạn:
Như bạn thấy, độ dài của đoạn thẳng là độ dài cạnh huyền trong một tam giác vuông có chân bằng
X B - X A và Y B - Y A
* * *
Điểm giữa của đoạn. Tọa độ của cô ấy.
Công thức tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng:
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước
Công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước là:
trong đó [x 1; y 1] và [x 2; y 2 ] tọa độ của các điểm đã cho.
Thay thế các giá trị của tọa độ trong công thức, nó được rút gọn thành dạng:
y = kx + b k ở đâu dốc dài
Chúng ta sẽ cần thông tin này khi giải một nhóm bài toán khác liên quan đến mặt phẳng tọa độ. Sẽ có một bài báo về điều này, đừng bỏ lỡ nó!
Bạn có thể thêm gì nữa?
Góc nghiêng của đường thẳng [hoặc đoạn thẳng] là góc giữa trục oX và đường thẳng này, nằm trong khoảng từ 0 đến 180 độ.
Chúng ta hãy xem xét các nhiệm vụ.
Từ điểm [6; 8] người ta thả vuông góc lên trục tọa độ. Tìm hoành độ của đường trung trực.
Cơ sở của vuông góc thả trên trục tung sẽ có tọa độ [0; 8]. Sắc phong là tám.
Trả lời: 8
Tìm khoảng cách từ điểm MỘT có tọa độ [6; 8] đến trục tung.
Khoảng cách từ A đến hoành độ bằng hoành độ của điểm A.
Trả lời: 6.
MỘT[6; 8] về trục Con bò đực.
Một điểm đối xứng với điểm A so với trục oX có tọa độ [6; - 8].
Giới hạn là trừ tám.
Trả lời: - 8
Tìm hoành độ của một điểm đối xứng với một điểm MỘT[6; 8] so với nguồn gốc.
Điểm đối xứng với điểm A so với gốc tọa độ có tọa độ [- 6; - 8].
Tọa độ của nó là - 8.
Trả lời: –8
Tìm hoành độ của trung điểm của đoạn thẳng nối các điểmO[0; 0] và MỘT[6;8].
Để giải bài toán cần tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ các điểm cuối của đoạn thẳng là [0; 0] và [6; 8].
Chúng tôi tính theo công thức:
Được [3; 4]. Cơ số bằng ba.
Trả lời: 3
* Cơ số của trung điểm của một đoạn có thể được xác định mà không cần tính toán theo công thức, bằng cách xây dựng đoạn này trên mặt phẳng tọa độ trên một trang tính trong một ô. Khoảng giữa của đoạn sẽ dễ dàng được xác định bởi các ô.
Tìm hoành độ của trung điểm của đoạn thẳng nối các điểm MỘT[6; 8] và NS[–2;2].
Để giải bài toán cần tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ các điểm cuối của đoạn thẳng là [–2; 2] và [6; 8].
Chúng tôi tính theo công thức:
Được [2; 5]. Abscissa là hai.
Trả lời: 2
* Cơ số của trung điểm của một đoạn có thể được xác định mà không cần tính toán theo công thức, bằng cách xây dựng đoạn này trên mặt phẳng tọa độ trên một trang tính trong một ô.
Tìm độ dài đoạn thẳng nối hai điểm [0; 0] và [6; 8].
Độ dài của một đoạn tại các tọa độ đã cho của các đầu của nó được tính theo công thức:
trong trường hợp của chúng ta, chúng ta có O [0; 0] và A [6; 8]. Có nghĩa,
* Thứ tự của các tọa độ không quan trọng khi bị trừ. Có thể trừ abscissa và hoành độ của điểm A khỏi abscissa và sắp xếp của điểm O:
Trả lời: 10
Tìm cosin của hệ số góc của đoạn thẳng nối các điểm O[0; 0] và MỘT[6; 8], với abscissa.
Góc nghiêng của một đoạn là góc giữa đoạn này và trục oX.
Từ điểm A, chúng ta hãy thả vuông góc với trục oX:
Tức là góc nghiêng của đoạn là gócSAItrong tam giác vuông cân ABO.
Cô sin góc nhọn trong một tam giác vuông là
tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền
Nó là cần thiết để tìm ra cạnh huyềnOA.
Theo định lý Pitago:Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng hình vuông của chân.
Vậy cosin của hệ số góc là 0,6
Trả lời: 0,6
Từ điểm [6; 8] thả vuông góc với trục abscissa. Tìm cơ sở của đường vuông góc.
Một đường thẳng được vẽ qua điểm [6; 8] song song với trục abscissa. Tìm hoành độ của giao điểm của nó với trục OU.
Tìm khoảng cách từ điểm MỘT có tọa độ [6; 8] với trục abscissa.
Tìm khoảng cách từ điểm MỘT có tọa độ [6; 8] về gốc tọa độ.
Có thể xác định độ dài của đoạn những cách khác... Để biết cách tìm độ dài đoạn thẳng cần có sẵn thước kẻ hoặc biết các công thức tính toán đặc biệt.
Độ dài dòng bằng thước
Để thực hiện việc này, hãy áp dụng thước có vạch chia milimét cho đoạn thẳng được dựng trên mặt phẳng và điểm bắt đầu phải được căn chỉnh với số 0 của thang thước. Sau đó, cần lưu ý trên quy mô này vị trí của điểm cuối của đoạn này. Số lần chia tỷ lệ toàn bộ kết quả sẽ là chiều dài của đoạn được biểu thị bằng cm và mm.
Phương pháp tọa độ mặt phẳng
Nếu đã biết tọa độ của đoạn [x1; y1] và [x2; y2], thì độ dài của nó sẽ được tính như sau. Trừ tọa độ của điểm thứ nhất với tọa độ trên mặt phẳng của điểm thứ hai. Kết quả là, bạn sẽ nhận được hai số. Mỗi con số này phải được bình phương, và sau đó tổng các bình phương này phải được tìm thấy. Từ số kết quả, bạn nên trích xuất Căn bậc hai, sẽ là khoảng cách giữa các điểm. Vì những điểm này là điểm cuối của đoạn nên giá trị cho trước và nó sẽ là chiều dài của nó.
Hãy xem xét một ví dụ về cách tìm độ dài của một đoạn bằng tọa độ. Có tọa độ của hai điểm [-1; 2] và [4; 7]. Tìm sự khác biệt trong tọa độ của các điểm, chúng tôi thu được các giá trị sau: x = 5, y = 5. Các số kết quả sẽ là tọa độ của phân đoạn. Sau đó, chúng ta bình phương mỗi số và tìm tổng các kết quả, nó bằng 50. Từ số này, chúng ta rút ra căn bậc hai. Kết quả là: 5 căn của 2. Đây là độ dài của đoạn thẳng.
Phương pháp tọa độ trong không gian
Để làm điều này, bạn cần xem xét cách tìm độ dài của vectơ. Chính anh ta sẽ là một phân đoạn trong không gian Euclide. Nó nằm gần giống với chiều dài của một đoạn trên mặt phẳng. Việc xây dựng vector diễn ra trong các mặt phẳng khác nhau... Làm cách nào để tìm độ dài của vectơ?
- Tìm tọa độ của vectơ, đối với điều này, bạn cần trừ tọa độ của điểm bắt đầu từ tọa độ của điểm cuối.
- Sau đó, bạn cần bình phương mỗi tọa độ của vectơ.
- Sau đó, chúng tôi thêm các hình vuông của các tọa độ.
- Để tìm độ dài của một vectơ, bạn cần trích ra căn bậc hai của tổng bình phương của các tọa độ.
Hãy xem xét thuật toán tính toán bằng cách sử dụng một ví dụ. Cần tìm tọa độ của vectơ AB. Các điểm A, B có hoành độ lần lượt là: A [1; 6; 3] và B [3; -1; 7]. Gốc của vectơ nằm tại điểm A, tận cùng nằm tại điểm B. Như vậy, để tìm được tọa độ của nó, cần trừ tọa độ của điểm A cho tọa độ của điểm B: [3 - 1; -1 - 6; 7 - 3] = [2; - 7; 4].
Bây giờ chúng ta bình phương mỗi tọa độ và cộng chúng: 4 + 49 + 16 = 69. Cuối cùng, trích xuất căn bậc hai của con số này... Rất khó để trích xuất, vì vậy chúng tôi viết kết quả theo cách này: độ dài của vectơ bằng căn của 69.
Nếu việc bạn tự tính độ dài của đoạn thẳng và vectơ không quan trọng nhưng bạn chỉ cần một kết quả, thì bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, chẳng hạn như máy tính này.
Bây giờ, sau khi nghiên cứu các phương pháp này và xem xét các ví dụ được trình bày, bạn có thể dễ dàng tìm thấy độ dài của một đoạn trong bất kỳ tác vụ nào.
Chiều dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng ký hiệu mô-đun.
Nếu hai điểm của mặt phẳng và được cho trước, thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức
Nếu hai điểm của không gian và được cho trước, thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức
Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu các tọa độ tương ứng được sắp xếp lại: và , nhưng tùy chọn đầu tiên là tiêu chuẩn hơn
Ví dụ 3
Dung dịch: theo công thức tương ứng:
Bài giải:
Để rõ ràng, tôi sẽ làm một bản vẽ
Phần - đây không phải là một vectơ, và tất nhiên, bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu. Ngoài ra, nếu bạn hoàn thành một bản vẽ để chia tỷ lệ: 1 đơn vị. = 1 cm [hai ô vở], thì đáp án thu được có thể được kiểm tra bằng thước thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn thẳng.
Có, giải pháp ngắn gọn, nhưng có một vài giải pháp khác điểm quan trọng, mà tôi muốn làm rõ:
Đầu tiên, trong câu trả lời, chúng tôi đặt thứ nguyên: "đơn vị". Điều kiện không cho biết nó là GÌ, milimét, cm, mét hay km. Do đó, một giải pháp đúng về mặt toán học sẽ là công thức tổng quát: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.
Thứ hai, chúng tôi sẽ nhắc lại tài liệu của trường, tài liệu này không chỉ hữu ích cho vấn đề đang được xem xét:
chú ý đến kỹ thuật quan trọng – lấy một yếu tố ra khỏi gốc rễ... Theo kết quả của các phép tính, chúng tôi nhận được kết quả và phong cách toán học tốt liên quan đến việc lấy thừa số từ dưới gốc [nếu có thể]. Chi tiết hơn, quy trình trông như thế này:
Các trường hợp phổ biến khác là:
Thường đủ ở gốc con số lớn, Ví dụ . Làm gì trong những trường hợp như vậy? Trên que tính, kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 không:. Vâng, nó đã được chia hoàn toàn, do đó:
Sẵn sàng.
Đầu ra: nếu nhận được một số không chiết xuất được dưới gốc, thì chúng tôi cố gắng loại bỏ cấp số nhân từ dưới gốc - trên máy tính, chúng tôi kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, v.v.
Trong quá trình giải các bài toán thường gặp gốc rễ, hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ dưới gốc để tránh bị điểm kém và các vấn đề không đáng có trong quá trình trau chuốt lời giải của mình theo nhận xét của giáo viên.
Hãy cùng lúc lặp lại bình phương và các lũy thừa khác:
Quy tắc xử lý bằng cấp trong nhìn chung có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa về đại số ở trường, nhưng, tôi nghĩ, từ các ví dụ được đưa ra, mọi thứ hoặc hầu hết mọi thứ đều đã rõ ràng.
Chuyển nhượng cho quyết định độc lập với một phân đoạn trong không gian:
Ví dụ 4
Điểm và được cho. Tìm độ dài của đoạn thẳng.
Lời giải và đáp án cuối bài.
Theo phân khúcđược gọi là phần của một đoạn thẳng bao gồm tất cả các điểm của đoạn thẳng nằm giữa hai điểm này - chúng được gọi là các điểm cuối của đoạn thẳng.
Hãy xem ví dụ đầu tiên. Cho một đoạn được cho bởi hai điểm trong mặt phẳng tọa độ. Trong trường hợp này, chúng ta có thể tìm độ dài của nó bằng cách áp dụng định lý Pitago.
Vì vậy, trong hệ tọa độ, hãy vẽ một đoạn thẳng có tọa độ cho trước là các đầu của nó[x1; y1] và [x2; y2] ... Trên trục NS và Y bỏ qua các đường vuông góc ở cuối đoạn thẳng. Đánh dấu màu đỏ các đoạn là hình chiếu từ đoạn gốc trên trục tọa độ. Sau đó, ta chuyển các đoạn hình chiếu song song với các đầu đoạn. Ta được một hình tam giác [hình chữ nhật]. Đoạn thẳng AB sẽ trở thành cạnh huyền của tam giác này và các hình chiếu được chuyển là chân của nó.
Hãy tính độ dài của các hình chiếu này. Vì vậy, trên trục Y chiều dài hình chiếu là y2-y1 và trên trục NS chiều dài hình chiếu là x2-x1 ... Hãy áp dụng định lý Pitago: | AB | ² = [y2 - y1] ² + [x2 - x1] ² ... Trong trường hợp này | AB | là độ dài của đoạn thẳng.
Nếu bạn sử dụng lược đồ này để tính độ dài của một đoạn, thì bạn thậm chí không thể tạo một đoạn. Bây giờ chúng ta hãy tính độ dài của đoạn có tọa độ là bao nhiêu [1;3] và [2;5] ... Áp dụng định lý Pitago, ta nhận được: | AB | ² = [2 - 1] ² + [5 - 3] ² = 1 + 4 = 5 ... Điều này có nghĩa là độ dài của phân đoạn của chúng tôi là 5:1/2 .
Xem xét con đường tiếp theo tìm độ dài của đoạn thẳng. Để làm được điều này, chúng ta cần biết tọa độ của hai điểm trong một hệ thống nào đó. Hãy xem xét tùy chọn này bằng cách sử dụng hệ tọa độ Descartes hai chiều.
Vì vậy, trong một hệ tọa độ hai chiều, tọa độ của các điểm cực trị của đoạn được cho. Nếu ta kẻ các đường thẳng đi qua các điểm này phải vuông góc với trục tọa độ thì ta được tam giác vuông cân. Đoạn gốc sẽ là cạnh huyền của tam giác tạo thành. Các chân của tam giác tạo thành các đoạn thẳng, độ dài của chúng bằng hình chiếu của cạnh huyền trên trục tọa độ. Dựa vào định lý Pitago, ta kết luận: để tìm độ dài đoạn thẳng cho trước ta cần tìm độ dài các hình chiếu trên hai trục tọa độ.
Tìm độ dài của các hình chiếu [X và Y] phân đoạn ban đầu trên trục tọa độ... Chúng tôi tính toán chúng bằng cách tìm sự khác biệt trong tọa độ của các điểm dọc theo một trục riêng biệt: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Tính độ dài của đoạn MỘT , đối với điều này, chúng tôi tìm căn bậc hai:
A = √ [X² + Y²] = √ [[X2-X1] ² + [Y2-Y1] ²] .
Nếu phân đoạn của chúng ta nằm giữa các điểm có tọa độ 2;4 và 4;1 , thì chiều dài của nó tương ứng bằng √ [[4-2] ² + [1-4] ²] = √13 ≈ 3,61 .