VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng. Phương pháp giải: Để viết phương trình tham số của đường thẳng A ta cần xác định Điểm A[2; 3]. Một vectơ chỉ phương [a; b] của A Khi đó phương trình tham số của A. Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng A ta cần xác định Điểm A[1; 3]. Một vectơ chỉ phương qua [a; b], ab = 0 của A. Phương trình chính tắc của đường thẳng A là [trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc] Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại Nếu A có VTCP = [a; b] thì n = [-b; a] là một VTPT của A. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho điểm A[1; -3] và B[-2; 3]. Viết phương trình tham số của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau: a] A đi qua A và nhận vectơ m[1; 2] làm vectơ pháp tuyến A đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB c] A là đường trung trực của đoạn thẳng AB Vì A nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của A là u[-2; 1]. Vậy phương trình tham số của đường thẳng A là A: Ta có AB[-3; 6] mà A song song với đường thẳng AB nên nhận a[-1; 2] làm VTCP x = -t. Vậy phương trình tham số của đường thẳng A là A Vì A là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận AB[-3; 6] làm VTPT và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Ta có A nhận u[-1; 2] làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng A.
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc [nếu có] của đường thẳng A trong môi trường hợp sau: a] A di qua điểm A[3; 0] và B[1; 3] A di qua và vuông góc với đường thẳng d’. Đường thẳng A đi qua hai điểm A và B nên nhận AB =[-2; 3] làm vectơ chỉ phương do đó phương trình tham số là x = 3 – 2t, phương trình chính tắc là y = 3t phương trình tổng quá b] A vuông góc d’ nên VTCP của d’ cũng là VTPT của A nên đường thẳng A nhận [-3; 5] làm VTPT và t[-5; -3] làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là 3[- 3] + 5[4 – 4] = 0 hay phương trình tham số l hương trình chính tắc là y = – 3. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. a] Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác. b] Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của AABC.
Để đáp ứng nhu cầu học tập của các bạn hôm nay thầy tiếp tục gửi tới các bạn nội dung kiến thức về đường thẳng trong không gian. Về hình học giải tích trong không gian có hai khái niệm là mặt phẳng và đường thẳng, thì chuyên đề về mặt phẳng nay tạm gọi là hoàn thành, các bạn có thể xem tại đây nhé.
Đang xem: Chuyển từ phương trình chính tắc sang tham số
Bài đầu tiên gửi tới các bạn là: “Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian“, trong bài giảng này thầy sẽ trình bày về các dạng phương trình đường thẳng và cách viết từng dạng phương trình đường thẳng. Dưới đây sẽ là nội dung của bài giảng hôm nay.
Lý thuyết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
1. Phương trình tổng quát
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ có dạng:
$left {egin{array}{ll}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 =0\A_2x + B_2y + C_2z + D_2 =0 end{array}
ight.$
Trong đó $A_1^2 + B_1^2 +C_1^2 >0$; $A_2^2 + B_2^2 +C_2^2 >0$; $A_1:B_1:C_1
eq A_2:B_2:C_2$
2. Phương trình tham số
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0[x_0;y_0;z_0]$ nhận $vec{a}[a_1;a_2;a_3]$ làm véctơ chỉ phương có phương trình tham số là:
$left {egin{array}{lll}x=x_0 + a_1t\y=y_0 + a_2t\z=z_0 + a_3tend{array}
ight. tin R$
3. Phương trình chính tắc
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0[x_0;y_0;z_0]$ nhận $vec{a}[a_1;a_2;a_3]$ làm véctơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:
$frac{x-x_0}{a_1} = frac{y-y_0}{a_2} = frac{z-z_0}{a_3}$
Bài giảng nên xem: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng chính tắc
Chú ý:
1. Để viết phương trình tham số hay phương trình chính tắc của đường thẳng ta cần xác định 1 điểm $M$ bất kỳ thuộc đường thẳng và một véctơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Để có được phương trình tổng quát của đường thẳng thì ta sẽ chuyển từ phương trình chính tắc hoặc phương trình tham số.
3. Một đường thẳng có nhiều véctơ chỉ phương.
4. Một đường thẳng có nhiều phương trình tổng quát, phương trình tham số hay phương trình chính tắc khắc nhau. Nó phụ thuộc vào việc chúng ta chọn điểm $M$ bất kỳ thuộc đường thẳng và việc chọn ra một véctơ chỉ phương của đường thẳng.
Đó là những lý thuyết cơ bản của đường thẳng trong không gian. Sau đây thầy sẽ gửi tới các bạn một ví dụ vận dụng cho nội dung lý thuyết ở trên.
Xem thêm: Giải Bài Tập Tập Hợp Lớp 10, Bài 1,2,3 Trang 13 Đại Số Lớp 10: Tập Hợp
Có thể bạn quan tâm: Chuyên đề thể tích khối đa diện
Bài tập: Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A[1;-1;0]$ và $B[0;1;2]$
Viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$
Hướng dẫn giải:
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$
a. Phân tích bài toán
– Chọn $A$ hoặc $B$ là điểm đã biết.
– Chọn $vec{AB}$ hoặc $vec{BA}$ làm VTCP
b. Trình bày lời giải
Ta có: $vec{AB} = [-1;2;2]$
Đường thẳng đi qua $A[1;-1;0]$ nhận $vec{AB}[-1;2;2]$ làm VTCP nên phương trình tham số là:
$left {egin{array}{lll}x=1 + [-1]t\y=-1 + 2t\z=0 + 2tend{array} ight.$Leftrightarrow left {egin{array}{lll}x=1 – t\y=-1 + 2t\z=2tend{array}
ight. tin R$ $[I]$
Bài viết hướng dẫn cách viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng trong chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng [Hình học 10 chương 3] thông qua các kiến thức trọng tâm và ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.
Phương trình tham số của đường thẳngĐể viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định:+ Điểm $A[{x_0};{y_0}] in Delta.$+ Một vectơ chỉ phương $overrightarrow u left[ {a;b} ight]$ của $Δ.$Khi đó phương trình tham số của $Δ$ là $left{ egin{array}{l}x = {x_0} + at\y = {y_0} + btend{array}
ight.$ với $t ∈ R.$
Phương trình chính tắc của đường thẳngĐể viết phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định:+ Điểm $A[{x_0};{y_0}] in Delta. $+ Một vectơ chỉ phương $overrightarrow u left[ {a;b} ight], ab
e 0$ của $Δ.$Phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ là $frac{{x – {x_0}}}{a} = frac{{y – {y_0}}}{b}.$ [trường hợp $ab = 0$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc].
Chú ý:+ Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.+ Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại.+ Nếu $Δ$ có VTCP $overrightarrow u = left[ {a;b} ight]$ thì $overrightarrow n = left[ { – b;a}
ight]$ là một VTPT của $Δ.$
Ví dụ 1: Cho điểm $Aleft[ {1; – 3} ight]$ và $B[ – 2;3].$ Viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:a. $Δ$ đi qua $A$ và nhận vectơ $overrightarrow n left[ {1;2}
ight]$ làm vectơ pháp tuyến.b. $Δ$ đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng $AB.$c. $Δ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
a. Vì $Δ$ nhận vectơ $overrightarrow n left[ {1;2} ight]$ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của $Δ$ là $overrightarrow u left[ { – 2;1} ight].$Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $Delta :left{ egin{array}{l}x = 1 – 2t\y = – 3 + tend{array} ight.$b. Ta có $overrightarrow {AB} left[ { – 3;6} ight]$ mà $Δ$ song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $overrightarrow u left[ { – 1;2} ight]$ làm VTCP.Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $Delta :left{ egin{array}{l}x = – t\y = 2tend{array} ight.$c. Vì $Δ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên nhận $overrightarrow {AB} left[ { – 3;6} ight]$ làm VTPT và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB.$Ta có $Ileft[ { – frac{1}{2};0} ight]$ và $Δ$ nhận $overrightarrow u left[ { – 1;2} ight]$ làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $Delta :left{ egin{array}{l}x = – frac{1}{2} – t\y = 2tend{array}
ight.$
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc [nếu có] của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:a. $Δ$ đi qua điểm $Aleft[ {3;0} ight]$ và $Bleft[ {1;3}
ight].$b.
Đang xem: Chuyển từ phương trình chính tắc sang phương trình tổng quát
Xem thêm: Cách Cưa Đổ Cô Nàng Cá Tính, Làm Sao Để Chinh Phục Nàng, Một Cô Gái Cá Tính
Xem thêm: Cách In Mã Vạch Từ File Excel 2019, 2016, 2013, 2010, Cách In Mã Vạch Trên Excel
$Δ$ đi qua $Nleft[ {3;4} ight]$ và vuông góc với đường thẳng $d’:left{ egin{array}{l}x = 1 – 3t\y = 4 + 5tend{array}
ight.$
a. Đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ nên nhận $overrightarrow {AB} = left[ { – 2;3} ight]$ làm vectơ chỉ phương do đó phương trình tham số là $left{ {egin{array}{*{20}{c}}{x = 3 – 2t}\{y = 3t}end{array}} ight.;$ phương trình chính tắc là $frac{{x – 3}}{{ – 2}} = frac{y}{3};$ phương trình tổng quát là $3left[ {x – 3} ight] = – 2y$ hay $3x + 2y – 9 = 0.$b. $Delta ot d’$ nên VTCP của $d’$ cũng là VTPT của $Δ$ nên đường thẳng $Δ$ nhận $overrightarrow u left[ { – 3;5} ight]$ làm VTPT và $overrightarrow v left[ { – 5; – 3} ight]$ làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là $ – 3left[ {x – 3} ight] + 5left[ {y – 4} ight] = 0$ hay $3x – 5y + 11 = 0;$ phương trình tham số là $left{ {egin{array}{*{20}{c}}{x = 3 – 5t}\{y = 4 – 3t}end{array}}
ight.;$ phương trình chính tắc là $frac{{x – 3}}{{ – 5}} = frac{{y – 4}}{{ – 3}}.$
Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ có $Aleft[ { – 2;1} ight], Bleft[ {2;3} ight]$ và $Cleft[ {1; – 5}
ight].$a. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác.b. Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến $AM.$c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $D$, $G$ với $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ và $G$ là trọng tâm của $Delta ABC.$
a. Ta có $overrightarrow {BC} left[ { – 1; – 8} ight]$ suy ra đường thẳng chứa cạnh $BC$ có phương trình là:$left{ egin{array}{l}x = 2 – t\y = 3 – 8tend{array} ight.$b. $M$ là trung điểm của $BC$ nên $Mleft[ {frac{3}{2}; – 1} ight]$ do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến $AM$ nhận $overrightarrow {AM} left[ {frac{7}{2}; – 2} ight]$ làm VTCP nên có phương trình là:$left{ {egin{array}{*{20}{c}}{x = – 2 + frac{7}{2}t}\{y = 1 – 2t}end{array}} ight.$c. Gọi $D[{x_D};{y_D}]$ là chân đường phân giác hạ từ $A$ của tam giác $ABC.$Ta có $overrightarrow {BD} = frac{{AB}}{{AC}}overrightarrow {DC}.$Mà $AB = sqrt {{{[ – 2 – 2]}^2} + {{[3 – 1]}^2}} $ $ = 2sqrt 5 $ và $AC = sqrt {{{[1 + 2]}^2} + {{[ – 5 – 1]}^2}} $ $ = 3sqrt 5 $ suy ra:$overrightarrow {BD} = frac{{AB}}{{AC}}overrightarrow {DC} = frac{2}{3}overrightarrow {DC} $ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{x_D} – 2 = frac{2}{3}[1 – {x_D}]\{y_D} – 3 = frac{2}{3}[ – 5 – {y_D}]end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{x_D} = frac{8}{5}\{y_D} = frac{{ – 1}}{5}end{array} ight. Rightarrow D[frac{8}{5}; – frac{1}{5}].$$Gleft[ {frac{1}{3}; – frac{1}{3}} ight]$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$Ta có $overrightarrow {DG} left[ { – frac{{19}}{{15}}; – frac{2}{{15}}} ight]$ suy ra đường thẳng $DG$ nhận $overrightarrow u [19;2]$ làm VTCP nên có phương trình là $left{ egin{array}{l}x = frac{1}{3} + 19t\y = frac{{ – 1}}{3} + 2tend{array}
ight.$
Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ biết $AB:x + y – 1 = 0,$ $AC:x – y + 3 = 0$ và trọng tâm $Gleft[ {1;2}
ight].$ Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC.$
Ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ:$left{ egin{array}{l}x + y – 1 = 0\x – y + 3 = 0end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x = – 1\y = 2end{array} ight.$ $ Rightarrow A[ – 1;2].$Gọi $M[x;y]$ là trung điểm của $BC.$Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $overrightarrow {AG} = 2overrightarrow {GM} $, $overrightarrow {AG} left[ {2;0} ight]$, $overrightarrow {GM} left[ {x – 1;y – 2} ight]$ suy ra:$left{ egin{array}{l}2 = 2.[x – 1]\0 = 2.[y – 2]end{array} ight. Rightarrow M[2;2].$$Bleft[ {{x_B};{y_B}} ight] in AB$ $ Rightarrow {x_B} + {y_B} – 1 = 0$ $ Rightarrow {y_B} = 1 – {x_B}$ do đó $Bleft[ {{x_B};1 – {x_B}} ight].$$Cleft[ {{x_C};{y_C}} ight] in AC$ $ Rightarrow {x_C} – {y_C} + 3 = 0$ $ Rightarrow {y_C} = {x_C} + 3$ do đó $Cleft[ {{x_C};{x_C} + 3} ight].$Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có:$left{ egin{array}{l}{x_M} = frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\{y_M} = frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 4\{x_C} – {x_B} = 0end{array} ight.$ $ Rightarrow left{ egin{array}{l}{x_B} = 2\{x_C} = 2end{array} ight.$Vậy $Bleft[ {2; – 1} ight], C[2;5] Rightarrow overrightarrow {BC} left[ {0;6} ight]$ suy ra phương trình đường thẳng $BC$ là $left{ egin{array}{l}x = 2\y = – 1 + 6tend{array}
ight.$
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình