Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A[-4;1], B[2;4], C[2;-2]
a] Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC
b] Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giá ABD
c] Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 3 ĐIỂM KHÔNG THẲNG HÀNG
TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA ĐẲNG THỨC VEC TƠ
BÀI TOÁN :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho A[-1 ; 2] ; B[2 ; 4] ; C[1 ; -2] a] chứng minh : 3 điểm A, B, C tạo thành tam giác.
b] tìm tọa độ trọng tâm ∆ABC.
c] Tìm điểm D sao cho :
GIẢI.
1.
+ Ta có: \[\overrightarrow{AB}=[-1;-3;-1],\overrightarrow{AC}=[2;-5;2]\]
Dễ thấy 2 véc tơ \[\overrightarrow{AB}=[-1;-3;-1],\overrightarrow{AC}=[2;-5;2]\] không cùng phương, do đó A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
+ Gọi G[xG; yG; zG] là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:
\[\left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{1+0+3}{3}=\frac{4}{3}\\y_{G} =\frac{2-1-3}{3}=-\frac{2}{3} \\z_{G}=\frac{1+0+3}{3}=\frac{4}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow G\left [ \frac{4}{3};-\frac{2}{3};\frac{4}{3} \right ]\]
2.
Ta có: \[\overrightarrow{BA}=[1;3;1],\overrightarrow{BC}=[3;-2;3]\Rightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=1.3+3.[-2]+1.3=0\Rightarrow \overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}\]
\[\Rightarrow \triangle ABC\] lfa tam giác vuông tại B
Do đó, ABCD là hình chữ nhật \[\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\]
Gọi D[x0 ; y0 ; z0 ], Khi đó: \[\overrightarrow{AB}=[-1;-3;-1],\overrightarrow{DC}=[3-x_{0};-3-y_{0};3-z_{0}]\]
\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1=3-x_{0}\\-3=-3-y_{0} \\-1=3-z_{0} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{0}=4\\y_{0}=0 \\z_{0}=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow D[4;0;4]\]
Vậy \[D[4;0;4]\] là điểm cần tìm
Skip to content
Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A[2;1;-3], B[4;3;-2], C[6;-4;-1]. Chứng minh rằng A, B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông và viết phương trình mặt cầu tâm A đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Ta có: −−→AB[2;2;1];−−→AC[4;−5;2]⇒24≠−25⇒−−→AB;−−→ACAB→[2;2;1];AC→[4;−5;2]⇒24≠−25⇒AB→;AC→ không cùng phương ⇒ A; B; C lập thành tam giác.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G[4;0; -2]. Ta có: AG=√6AG=6
Mặt khác −−→AB.−−→AC=2.4+2.[−5]+1.2=0⇒AB⊥ACAB→.AC→=2.4+2.[−5]+1.2=0⇒AB⊥AC
suy ra ba điểm A; B; C là ba đỉnh của tam giác vuông
Mặt cầu cần tìm có tâm A và bán kính AG=√6AG=6 nên có pt: [x−2]2+[y−1]2+[z+3]2=6[x−2]2+[y−1]2+[z+3]2=6
Bài 2
Cho 3 điểm A[1;2], B[3;4], C[2;-1]
a] Chứng minh rằng 3 điểm ABC là đỉnh 1 tam giác
b] Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
a] Từ giả thiết suy ra −−→AB=[2;2];−−→BC=[−1;−5]AB→=[2;2];BC→=[−1;−5]
Do 2:[−1]≠2:[−5]2:[−1]≠2:[−5] nên A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
b]
– Gọi G[x1;y1]G[x1;y1] là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó x1=1+3+33=2x1=1+3+33=2 và y1=2+4+[−1]3=53y1=2+4+[−1]3=53
Suy ra G[2;53]G[2;53]
– Gọi H[x2,y2]H[x2,y2] là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó H thỏa mãn :
{AH⊥BCCH⊥AB{AH⊥BCCH⊥AB ⇒⎧⎨⎩−−→AH.−−→BC=0−−→CH.−−→AB=0⇒{AH→.BC→=0CH→.AB→=0
Từ đó, ta có hệ
{x2+5y2−6=0x2+y2−1=0{x2+5y2−6=0x2+y2−1=0
Giải hệ thu được [ x2;y2x2;y2] =[−34;74]=[−34;74] do đó H[−34;74]H[−34;74]
– Gọi I[x3,y3]I[x3,y3] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
do −→IA+−→IB+−→IC=−→IHIA→+IB→+IC→=IH→ nên ta có hệ :
{1−x3+3−x3+2−x3=−34−x32−y4+4−y3−1−y3=74−y3{1−x3+3−x3+2−x3=−34−x32−y4+4−y3−1−y3=74−y3
Giải hệ ta thu được [x3,y3]=[278;138][x3,y3]=[278;138]
Do đó I[278;138]I[278;138]
Dạng bài : Chứng minh tam giác ABC vuông bằng phương pháp tọa độ vectơ
Chứng minh tam giác ABC vuông bằng phương pháp tọa độ vectơ
Để chứng minh tam giác ABC vuông ta sẽ có 2 cách như sau. Trước tiên ta giả sử cần chứng minh tam giác ABC vuông tại C.
Cách 1: Sử dụng tích vô hướng của 2 vectơ
Hai vectơ a⃗ và b⃗ vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Tức là a⃗ .b⃗ =0
Vậy để tam giác ABC vuông tại C thì ta chứng minh CA→.CB→=0
Cách 2: Sử dụng định lý Pytago đảo.
Các bạn sẽ tính độ dài của 3 cạnh tam giác ABC là: AB, AC, BC
Sau đó các bạn xét đẳng thức: AB2=AC2+BC2. Nếu đúng như vậy thì tam giác ABC vuông tại C.
Bây giờ chúng ta sẽ đi xét 1 ví dụ cho dễ hiểu hơn nhé:
Tag: điều kiện cực trị đều cân đại tiểu