Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: hotro@hocmai.vn Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.

Tài liệu gồm có các dạng toán thường gặp trong kỳ thi THPT. Được mình chia dạng rõ ràng, phân mức độ tương ứng với từng đối tượng học sinh. Tài liệu có tính cập nhật cao đối với các đề thi gần đây. Hi vọng sẽ giúp các bạn học sinh bổ sung được kiến thức, đồng thời cũng nâng cao được kinh nghiệm giải toán.

Tài liệu có full đáp án chi tiết

Nếu bạn là giáo viên, có nhu cầu sử dụng FILE WORD để tiện tham khảo, chỉnh sửa trong quá trình biên soạn và giảng dạy thì có thể liên hệ mình nhé!

Nếu bạn đọc trong quá trình tham khảo, học tập phát hiện ra lỗi trong bộ tài liệu TỰ HỌC TOÁN 10, TỰ HỌC TOÁN 11, 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI 2022 thì mong các bạn phản hồi về cho mình nha. Mình chân thành cám ơn!

Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro

CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 5 Tòa nhà Tây Hà, số 19 Đường Tố Hữu, Phường Trung Văn, Quận Nam Từ Liêm, Thành phố Hà Nội, Việt Nam

Lớp học

• Lớp 1
• Lớp 2
• Lớp 3
• Lớp 4
• Lớp 5
• Lớp 6
• Lớp 7
• Lớp 8
• Lớp 9
• Lớp 10
• Lớp 11
• Lớp 12

Tài khoản

• Gói cơ bản
• Tài khoản Ôn Luyện
• Tài khoản Tranh hạng
• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Thông tin liên hệ

[+84] 096.960.2660

• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Follow us

Với loạt Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và cách giải bài tập

1. Lí thuyết tổng hợp.

- Trục tọa độ [gọi tắt là trục] :

+ Định nghĩa: Trục tọa độ là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị

.

+ Kí hiệu: [O;

]

+ Tọa độ của điểm đối với trục: Cho M là một điểm tùy ý trên trục [O;

]. Khi đó, tồn tại duy nhất một số k sao cho \= k , ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục [O;].

+ Độ dài đại số trên trục: Cho hai điểm A và B trên trục [O;

] có tọa độ lần lượt là a và b. Khi đó, tồn tại duy nhất số h sao cho \= h , ta gọi số h đó là độ dài đại số của vectơ trên trục [O;]. Kí hiệu: h = với \= b - a. Nếu cùng hướng với thì \= AB, nếu ngược hướng với thì \= -AB.

+ Tính chất:

A, B,C [O; ]:

- Hệ trục tọa độ:

+ Định nghĩa: Hệ trục tọa độ [O;

;]gồm hai trục [O;] và [O; ] vuông góc với nhau tại O. Điểm O gọi là gốc tọa độ. Trục [O;] được gọi là trục hoành, kí hiệu là Ox. Trục [O; ] được gọi là trục tung, kí hiệu là Oy. Các vectơ và là các vectơ đơn vị và | | = | | = 1. Hệ trục tọa độ [O;;] còn được kí hiệu là Oxy.

+ Mặt phẳng Oxy: Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

+ Tọa độ của vectơ: Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ

tùy ý. Khi đó, tồn tại cặp số [x; y] duy nhất sao cho \= x + y , cặp số đó được gọi là tọa độ của vectơ và kí hiệu là \= [x; y] hoặc [x; y], trong đó, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của vectơ .

+ Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ

đối với hệ trục Oxy chính là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó. Tức là \= x + y \= [x;y] M[x;y] hoặc M = [x; y], trong đó, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm M.

+ Tọa độ của của trung điểm đoạn thẳng: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A[xA;yA], B[xB;yB] và điểm M[xM;yM] là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có: xM =

; yM = .

+ Tọa độ của của trọng tâm tam giác: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm không thẳng hàng A[xA;yA], B[xB;yB], C[xC;yC], và điểm G[xG;yG] là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có: xG =

; yG = .

+ Tọa độ của các vectơ

, k: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ \= [x1;y1] và \= [x2;y2], khi đó ta có:

+ \= [x1 + x2; y1 + y2]

- \= [x1 - x2; y1 - y2]

k

\= [kx1;ky1] với k R

+ Tính chất:

•

[x;y] = [x';y']

• Cho điểm M [x; y] tùy ý trong mặt phẳng Oxy, nếu MM1

Ox, MM2 Oy thì OM1 = x, OM2 = y.

• Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A[xA;yA] và B[xB;yB], khi đó

\= [xB-xA;yB-yA]

• Trong mặt phẳng Oxy, vectơ

\= [x1;y1] cùng phương với vectơ \= [x2;y2] với khi và chỉ khi tồn tại một số k sao cho:

\= k \= k x1.y2 = x2.y1

1. Các dạng bài.

Dạng 1: Xác định tọa độ một điểm.

Phương pháp giải:

- Áp dụng các kiến thức về tọa độ của điểm trên trục và trong mặt phẳng:

+]

\= k k là tọa độ của điểm M đối với trục [O; ].

+]

\= x + y \= [x;y] M[x;y]

+] Cho điểm M [x; y] tùy ý trong mặt phẳng Oxy, nếu MM1

Ox, MM2 Oy thì OM1 = x, OM2 = y.

+] Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: xM =

; yM =

+] Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG =

; yG =

- Áp dụng các kiến thức về tọa độ vectơ trong mặt phẳng:

+] Cho hai điểm A[xA;yA] và B[xB;yB], khi đó

\= [xB-xA;yB-yA]

+] Cho hai vectơ

\= [x1;y1] và \= [x2;y2]

+ \= [x1 + x2; y1 + y2]

- \= [x1 - x2; y1 - y2]

k

\= [kx1;ky1] với k R

\=

cùng phương với vectơ [

0] khi và chỉ khi:

\= k \= k x1.y2 = x2.y1

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A[3; 5], B[2; 4] và C[6; 1]. Biết M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Tìm tọa độ điểm M và tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải:

Điểm M [x; y] là trung điểm của BC nên ta có:

x =

\= 4

y =

M

Xét ba điểm A, B, C có:

\= [2-3;4-5] = [-1;-1]

\= [6-3;1-5] = [3;-4]

Có:

và không cùng phương A, B, C không thẳng hàng

Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.

Điểm G [x’; y’] là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

x' =

y' =

G

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng biết A[1; 4] , B[3; 2] và C[6; 7]. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Gọi điểm D là D[xD;yD]. Khi đó ta có:

\= [6-xD;7-yD]

\= [3-1;2-4] = [2;-2]

Để ABCD là hình bình hành thì ta có:

\=

D[4;9]

Vậy ta có điểm D [4; 9].

Dạng 2: Chứng minh một tính chất của một hình.

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức về tọa độ của điểm và vectơ trong mặt phẳng Oxy:

AB =

. \=[xB-xA][xC-xA] + [yB-yA][yC-yA]

- Áp dụng các tính chất của các hình đặc biệt:

+] Tam giác ABC cân tại A

AB = AC

+] Tam giác ABC vuông tại A

AB AC [xB-xA][xC-xA] + [yB-yA][yC-yA] = 0

+] Tam giác ABC vuông cân tại A

+] Tam giác ABC đều

AB = AC = BC

+] Tứ giác ABCD là hình bình hành

+] Tứ giác ABCD là hình chữ nhật

+] Tứ giác ABCD là hình thoi

+] Tứ giác ABCD là hình vuông

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Chứng minh tính chất của các hình sau:

1. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết A[1; 1], B[1; 5] và C[5; 1] .

1. Biết rằng M[1; 1], N[7; 1] và P[4;
   +1]. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.

1. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành biết A[-5; 6], B[-1; 6], C[-2; 4] và D[-6; 4]

Lời giải:

Ta có:

\= [1-1;5-1] = [0;4]

\= [5-1;1-1] = [4;0]

. \= 0.4 + 4.0 = 0 tại A [1]

AB=

\= 4

AC =

\= 4

AB =AC [2]

Từ [1] và [2] ta có tam giác ABC vuông cân tại A.

Ta có:

MN =

\= 6

MP =

\= 6

NP =

\= 6

MN = MP = NP Tam giác MNP là tam giác đều.

Ta có:

\= [-1-[-5];6-6] = [4;0]

\= [-2-[-6];4-4] = [4;0]

\= Tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 2: Chứng minh tính chất của các hình sau:

1. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Biết M[-6; 6], N[-2; 6], P[-2; 4] và Q[-6; 4].

1. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi. Biết A[-4; 7], B[-2; 6], C[-4; 5], và D[-6; 6]

Lời giải:

Ta có:

\= [-2-[-60;6-6] = [4;0]

\= [-2-[-6];4-4]= [4;0]

\= [1]

\= [-6-[-6];4-6] = [0;-2]

. \= 4.0 + 0.[-2] = 0

MN MQ tại M [2]

Từ [1] và [2] ta có tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Ta có:

\= [-2-[-4];6-7] = [2;-1]

\= [-4-[-6];5-6] = [2;-1]

\= [1]

AB =

AD =

AB = AD [2]

Từ [1] và [2] ta có tứ giác ABCD là hình thoi.

Dạng 3: Áp dụng phương pháp tọa độ chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

- Khi gặp các bài toán đại số mà mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai

, … có thể biểu diễn dưới dạng: ,,… Ta thiết lập các điểm, các vectơ có tọa độ phù hợp sao cho độ dài các đoạn thẳng, các vectơ tương ứng có độ dài bằng , … rồi sử dụng các bất đẳng thức hình học cơ bản [bất đẳng thức về độ dài các cạnh trong tam giác, bất đẳng thức về độ dài đường gấp khúc,… ] và các bất đẳng thức về vectơ để giải quyết bài toán.

- Một số bất đẳng thức về vectơ: Cho các vectơ

\= [u1;u2] và \= [v1;v2]

+] |

+ | | | +| |

[Dấu bằng xảy ra khi

và cùng hướng]

+] |

| - | | | + |

[Dấu bằng xảy ra khi

và ngược hướng]

+]

. | |.|| u1.v1 + u2.v2

[Dấu bằng xảy ra khi

và cùng hướng]

+]

. -| |.|| u1.v1 + u2.v2 -

[Dấu bằng xảy ra khi

và ngược hướng]

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Với mọi số thực x, chứng minh bất đẳng thức:

Lời giải:

Đặt hai vectơ

,

Ta có:

\= | | \= [x+1;1]

\= | | \= [1-x;2]

Khi đó ta có:

|

+ | =

Mà : |

+ | | | +| |

[điều cần phải chứng minh]

Bài 2: Cho x, y, z thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + xz.

Lời giải:

Đặt các vectơ:

\=

yz + xz + xy + xz = [xy+yz+xz]

|

| =

|

| =

Mà ta có:

. | |.||

[xy+yz+xz]

[xy+yz+xz] 4

xy + yz + xz 8

A 8

Vậy giá trị lớn nhất của A là 8.

1. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho hai điểm A[3; 5], B[2; 5]. Tìm tọa độ điểm C là trung điểm của AB.

Đáp số: C

Bài 2: Cho ba điểm A[2; 7], B[4; 7] và D[1; 3]. Tìm điểm C sao cho ABCD là hình bình hành.

Đáp số: C[3; 3]

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tìm tọa độ tâm O của hình chữ nhật, biết A[3; 4], B[6; 4], C[6; -1] và D[3; -1].

Đáp số: O

Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a biết tâm A[1; 6], C[1; 8]. Tìm tọa độ tâm O của hình thoi.

Đáp số: O[1; 7]

Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, biết G[2; 5], B[4; 6] và C[7; 9]. Tìm tọa độ của điểm A.

Đáp số: A[-5; 0]

Bài 6: Cho điểm M[3; -4]. Tìm tọa độ điểm M’ là hình chiếu vuông góc của M trên Ox.

Đáp số: M’[3; 0]

Bài 7: Cho hai điểm A[1; 2] và B[-2; 3], gọi B’ là điểm đối xứng với B qua A. Tìm tọa độ của B’.

Đáp số: B’[4; 1]

Bài 8: Cho tứ giác ABCD biết A[3; 4], B[3; 5], C[4; 5] và D[4; 4]. Chứng minh ABCD là hình vuông.

Đáp số: Ta có: AB = AD = 1 và

\= 0 và ABCD là hình vuông

Bài 9: Cho bất đẳng thức

. Chứng minh và cho biết điều kiện để dấu bằng xảy ra.

Đáp số: Áp dụng |

+ | | | +| |, dấu bằng xảy ra khi a1b2 = a2b1

Bài 10: Cho x, y

R. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S =

Đáp số: Smin = 5

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập
• Phương trình đường tròn và cách giải bài tập
• Phương trình đường elip và cách giải bài tập
• Các dạng bài tập về hàm số và cách giải
• Các dạng bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• [mới] Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• [mới] Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• [mới] Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
• Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.