Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro
CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 5 Tòa nhà Tây Hà, số 19 Đường Tố Hữu, Phường Trung Văn, Quận Nam Từ Liêm, Thành phố Hà Nội, Việt Nam
Lớp học
- Lớp 1
- Lớp 2
- Lớp 3
- Lớp 4
- Lớp 5
- Lớp 6
- Lớp 7
- Lớp 8
- Lớp 9
- Lớp 10
- Lớp 11
- Lớp 12
Tài khoản
- Gói cơ bản
- Tài khoản Ôn Luyện
- Tài khoản Tranh hạng
- Chính Sách Bảo Mật
- Điều khoản sử dụng
Thông tin liên hệ
[+84] 096.960.2660
- Chính Sách Bảo Mật
- Điều khoản sử dụng
Follow us
Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập
Toán lớp 8
1. Lý thuyết
1.1. Khái niệm
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a, b là các hệ số vàa≠0.
1.2. Các quy tắc cơ bản
- Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một hạng tử từ một vế của phương trình sang vế còn lại, ta phải đổi dấu của hạng tử đó:
A[x] + B[x] = C[x]⇔A[x] = C[x] – B[x]
- Quy tắc nhân [hoặc chia] với một số khác 0
Khi nhân hoặc chia hai vế của một phương trình với một số khác 0 ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:
A[x] + B[x] = C[x]⇔mA[x] + mB[x] = mC[x];
A[x] + B[x] = C[x]⇔A[x]m+B[x]m=C[x]m
Vớim≠0
1.3. Cách giải phương trình bậc nhất
Ta có: ax + b = 0
⇔ax=−b[quy tắc chuyển vế]
⇔ax=−b[sử dụng quy tắc chia cho một số khác 0].
2. Các dạng toán
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp giải:Dựa vào định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 1:Trong các phương trình sau, đâu là phương trình bậc nhất một ẩn? Chỉ ra hệ số a, b.
- 3x – 4 = 0
- 0.x 3 = 0
c]x23−1=0
Lời giải:
- Đây là phương trình bậc nhất một ẩn vì nó có dạng ax + b = 0 với a = 3; b = -4.
- Đây không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.
- Đây không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì không có dạng ax + b = 0.
Ví dụ 2:Tìm m để các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn
a]m+1x+3=0
b]m2−4x+2=0
Lời giải:
- Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn thìm+1≠0 ⇔m≠−1
Vậym≠−1thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn.
- Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn thì
m2−4≠0
⇔m−2m+2≠0
⇔m−2≠0m+2≠0
⇔m≠2m≠−2⇒m≠±2
Vậym≠±2 thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ 3:Chứng minh phương trìnhm2+1x+3=0 luôn là phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của m.
Lời giải:
Ta có:
a=m2+1
Vìm2≥0 với∀m
⇒m2+1≥0+1 với∀m
⇔m2+1≥1\> 0 với∀m
Do đóm2+1≠0 với∀m
Vậy phương trình đã cho luôn là phương trình bậc nhất một ẩn.
Dạng 2: Giải phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp giải:Sử dụng các phương pháp chuyển vế hoặc nhân [chia] vói một số khác 0 để giải các phương trình đã cho.
Ví dụ:Giải các phương trình sau
- 3x – 6 = 0
- 2x – x + 4 = 0
- 8 – 2x = 9 – x
Lời giải:
- 3x – 6 = 0
⇔3x=6
⇔x=6:3
⇔x=2
Vậy tập nghiệm của phương trìnhS=2.
- 2x – x + 4 = 0
⇔x+4=0
⇔x+4=0
⇔x=−4
Vậy tập nghiệm của phương trình làS=-4.
- 8 – 2x = 9 – x
⇔−2x+x=9−8
⇔−x=1
⇔x=−1
Vậy phương trình đã cho có nghiệmS=−1.
Dạng 3: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình
Phương pháp giải:Cho phương trình ax + b = 0
+ Nếu a = 0; b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
+ Nếu a = 0;b≠0thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếua≠0thì phương trình có nghiệm duy nhấtx=−ba.
Ví dụ:Cho phương trìnhm2−1x+m−1=0
- Tìm m để phương trình vô nghiệm.
- Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
- Tìm m để phương trình có vô số nghiệm.
Lời giải:
- Để phương trình vô nghiệm thì
a=0b≠0⇒m2−1=0m−1≠0
⇔m−1m+1=0m−1≠0
⇔m−1=0m+1=0m≠1
⇔m=1m=−1m≠1⇒m=−1
Vậy m = -1 thì phương trình vô nghiệm.
- Để phương trình có nghiệm duy nhất thìa≠0⇒m2−1≠0
⇔m−1m+1≠0
⇔m−1≠0m+1≠0
⇔m≠1m≠−1⇒m≠±1
Vậym≠±1thì phương trình có nghiệm duy nhất.
- Để phương trình vô số nghiệm thì
a=0b=0⇒m2−1=0m−1=0
⇔m−1m+1=0m−1=0
⇔m−1=0m+1=0m−1=0
⇔m=1m=−1m=1⇒m=1
Vậy m = 1 thì phương trình có vô số nghiệm.
Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
1. Lý thuyết
- Sử dụng quy tắc chuyển vế, nhân hoặc chia với một số khác 0 để đưa phương trình đã cho về dạng ax + b = 0.
Chú ý:Ta sử dụng một số công thức sau
- Các quy tắc về hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Các quy tắc về đổi dấu.
2. Các dạng bài tập
Dạng 1: Sử dụng các cách biến đổi thường gặp để giải một số phương trình đơn giản
Phương pháp giải:
Bước 1: Thực hiện các quy tắc về chuyển vế, nhân, chia, hằng đẳng thức, quy đồng mẫu để đưa phương trình về dạng ax + b = 0.
Bước 2: Giải phương trình ax + b = 0.
Chú ý:
a=a khi a≥0−a khi a < 0
A=B⇒A=BA=−B
A+B=0⇔A=0B=0
Ví dụ 1:Giải các phương trình sau
a]1−x2+x+22=2xx−3−7
b]1+x3+1−x3=6x+12
Lời giải:
a]1−x2+x+22=2xx−3−7
⇔1−2x+x2+x2+4x+4=2x2−6x−7
⇔1−2x+x2+x2+4x+4−2x2+6x+7=0
⇔x2+x2−2x2+−2x+4x+6x+1+4+7=0
⇔8x+12=0
⇔8x=0−12
⇔8x=−12
⇔x=−12:8
⇔x=−32
Vậy tập nghiệm của phương trìnhS=−32.
b]7x−16+2x=16−x5
⇔5.7x−130+30.2x30=6.16−x30
⇔35x−530+60x30−96−6x30=0
⇔35x−5+60x−96−6x30=0
⇔35x−5+60x−96+6x=0
⇔35x+60x+6x−5+96=0
⇔101x−101=0
⇔101x=0+101
⇔101x=101
⇔x=101:101
⇔x=1
Vậy phương trình đã cho có nghiệmS=1.
Ví dụ 2:Giải các phương trình sau
a]2x+2=6
b]3x+2=4x−3
Lời giải:
a]2x+2=6
Trường hợp 1:
2x + 2 = 6
⇔2x=6−2
⇔2x=4
⇔x=4:2
⇔x=2
Trường hợp 2:
2x + 2 = -6
⇔2x=−6−2
⇔2x=−8
⇔x=−8:2
⇔x=−4
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệmS=−4;2.
b]3x+2=4x−3
Trường hợp 1:
3x + 2 = 4x – 3
⇔3x – 4x = -3 – 2
⇔-x = -5
⇔x = 5
Trường hợp 2:
3x + 2 = -[4x – 3]
⇔3x + 2 = -4x + 3
⇔3x + 4x = 3 – 2
⇔7x = 1
⇔x=17
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệmS=17;5.
Ví dụ 3:Giải phương trình sau:
x+8119+x+8218=x+8416+x+8515
⇔x+8119+1+x+8218+1=x+8416+1+x+8515+1
⇔x+8119+1919+x+8218+1818=x+8416+1616+x+8515+1515
⇔x+81+1919+x+82+1818=x+84+1616+x+85+1515
⇔x+10019+x+10018=x+10016+x+10015
⇔x+10019+x+10018−x+10016−x+10015=0
⇔x+100119+118−116−115=0
Vì119+118−116−115≠0
⇒x+100119+118−116−115=0⇔x+100=0⇔x=−100
Vậy tập nghiệm của phương trìnhS=−100.
Phương trình tích
1. Lý thuyết
- Phương trình A[x].B[x] = 0⇔A[x]=0B[x]=0
- Phương trình A[x].B[x]…M[x] = 0⇔A[x]=0B[x]=0...M[x]=0
2. Các dạng bài tập
Dạng 1: Giải phương trình tích bằng các cách biến đổi thông thường như dùng hẳng đẳng thức, chuyển vế, nhân chia với một số khác 0…
Phương pháp giải:
Bước 1: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc chuyển vế… để biến đổi các biểu thức tạo nên phương trình thành nhân tử qua đó đưa phương trình về phương trình tích.
Bước 2: Giải phương trình tích vừa nhận được từ các phép biến đổi trên.
Ví dụ:Giải các phương trình tích sau
a]x+32x−4=0
b]x−2x2−3x+5=x3−2x2
c]2x−12+x−32x−1=0
d]4x2+8x−5=0
Lời giải:
a]x+32x−4=0
⇔x+3=02x−4=0
⇔x=0−32x=0+4
⇔x=−32x=4
⇔x=−3x=4:2
⇔x=−3x=2
Vậy tập nghiệm của phương trình trên làS=−3;2.
b]x−2x2−3x+5=x3−2x2
⇔x−2x2−3x+5=x2x−2
⇔x−2x2−3x+5−x2x−2=0
⇔x−2x2−3x+5−x2=0
⇔x−2x2−3x+5−x2=0
⇔x−25−3x=0
⇔x−2=05−3x=0
⇔x=0+2−3x=0−5
⇔x=2−3x=−5
⇔x=2x=[−5]:[−3]
⇔x=2x=53
Vậy tập nghiệm của phương trìnhS=2;53.
c]2x−12+x−32x−1=0
⇔2x−12x−1+x−3=0
⇔2x−12x−1+x−3=0
⇔2x−13x−4=0
⇔2x−1=03x−4=0
⇔2x=13x=4
⇔x=1:2x=4:3
⇔x=12x=43
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệmS=12;43.
d]4x2+8x−5=0
⇔4x2−2x+10x−5=0
⇔2x2x−1+52x−1=0
⇔2x−12x+5=0
⇔2x−1=02x+5=0
⇔2x=12x=−5
⇔x=12x=−52
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệmS=12;−52.
Dạng 2: Giải phương trình tích bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt ẩn phụ [căn cứ vào bài toán để chọn ẩn phụ phù hợp]
Bước 2: Sử dụng các quy tắc biến đổi để đưa phương trình mới về phương trình với ẩn phụ.
Bước 3: Giải phương trình ẩn phụ rồi trả lại biến ban đầu
Bước 4: Kết luận
Ví dụ 1:Giải phương trìnhx2−x2−4x2−x+4=0.
Lời giải:
Đặtx2−x=t, khi đó phương trình trở thành
t2−4t+4=0
⇔t−22=0
⇔t−2=0
⇔t=2
⇒x2−x=2
⇔x2−x−2=0
⇔x2−2x+x−2=0
⇔xx−2+x−2=0
⇔x−2x+1=0
⇔x−2=0x+1=0
⇔x=2x=−1
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệmS=2;−1.
Ví dụ 2:Giải phương trìnhx2+2x+3x2+2x+1=3.
Lời giải:
x2+2x+3x2+2x+1=3
Đặtx2+2x=t, khi đó phương trình trở thành
t+3t+1=3
⇔t2+3t+t+3=3
⇔t2+4t+3−3=0
⇔t2+4t=0
⇔tt+4=0
⇔t=0t+4=0
⇔t=0t=−4
+ Vớit=0⇒x2+2x=0
⇔xx+2=0
⇔x=0x+2=0
⇔x=0x=−2
+ Vớit=−4⇒x2+2x=−4
⇔x2+2x+4=0
⇔x2+2x+1+3=0
⇔x+12+3=0
Vìx+12≥0⇒x+12+3≥0+3
⇔x+12+3≥3 ∀x
Vậy tập nghiệm phương trình đã cho làS=−2;0.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
1. Lý thuyết
- Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta cần chú ý đến điều kiện xác định của mẫu sao cho mọi mẫu thức đều khác 0.