Giả sử cửa sổ xén là cửa sổ hình chữ nhật có tọa độ của các điểm dưới bên trái và điểm trên bên phải lần lượt là

.

vào cửa sổ hình chữ nhật trên.

Hình 4.6 – Minh họa thao tác xén các đoạn thẳng vào một cửa sổ hình chữ nhật. Trước khi xén [a]. Sau khi xén [b].

Thao tác xén hình là một trong những thao tác cơ bản của quá trình hiển thị đối tượng, do đó vấn đề tối ưu tốc độ luôn là đích cho các thuật toán nhắm đến. Ý tưởng chung của các thuật toán xén đoạn thẳng đó là loại bỏ phép toán tìm giao điểm giữa đoạn thẳng với biên của cửa sổ một cách nhanh nhất đối với các đoạn thẳng đặc biệt như nằm hoàn toàn trong hoặc hoàn toàn bên ngoài cửa sổ [ví dụ như đoạn P1P2 và P3P4 trong hình 4.6]. Đối với các đoạn thẳng có khả năng cắt cửa sổ, cần phải đưa ra cách tìm giao điểm thật nhanh.

Nhận xét rằng, các đoạn thẳng mà có cả hai điểm nằm hoàn toàn trong cửa sổ thì cả đoạn thẳng nằm trong cửa sổ, đây cũng chính là kết quả sau khi xén [ví dụ như đoạn thẳng P1P2], mặt khác đối với các đoạn thẳng mà có hai điểm nằm về cùng một phía của cửa sổ thì luôn nằm ngoài cửa sổ và sẽ bị mất sau khi xén [ví dụ như đoạn thẳng P3P4]. Với các đoạn thẳng có khả năng cắt cửa sổ [ví dụ như đoạn thẳng P5P6 và P7P8] để việc tìm giao điểm nhanh cần rút gọn việc tìm giao điểm với những biên cửa sổ không cần thiết để xác định phần giao nếu có của đoạn thẳng và cửa sổ.

Người ta thường sử dụng phương trình tham số của đoạn thẳng trong việc tìm giao điểm giữa đoạn thẳng với cửa sổ.

thì giao điểm đó sẽ không thuộc về cửa sổ.

Thuật toán Cohen-Sutherland

Đây là một trong những thuật toán ra đời sớm nhất và thông dụng nhất.

Bằng cách kéo dài các biên của cửa sổ, người ta chia mặt phẳng thành chín vùng gồm cửa sổ và tám vùng xung quanh nó.

Khái niệm mã vùng [area code]

Một con số 4 bit nhị phân gọi là mã vùng sẽ được gán cho mỗi vùng để mô tả vị trí tương đối của vùng đó so với cửa sổ. Bằng cách đánh số từ 1 đến 4 theo thứ tự từ phải qua trái, các bit của mã vùng được dùng theo quy ước sau để chỉ một trong bốn vị trí tương đối của vùng so với cửa sổ bao gồm : trái, phải, trên, dưới.

Bit 1 : trái [LEFT]

Bit 2 : phải [RIGHT]

Bit 3 : trên [TOP]

Bit 4 : dưới [BOTTOM]

Giá trị 1 tương ứng với vị trí bit nào trong mã vùng sẽ chỉ ra rằng điểm đó ở vị trí tương ứng, ngược lại bit đó sẽ được đặt bằng 0. Ví dụ một vùng có mã là 1001, thì nó sẽ nằm phía dưới [bit 4 bằng 1], bên trái [bit 1 bằng 1] so với cửa sổ, vùng có mã là 0000 chính là cửa sổ.

Hình 4.7 – Mã vùng quy định vị trí tương đối của vùng so với cửa sổ

Các giá trị bit trong mã vùng được tính bằng cách xác định tọa độ của điểm

thuộc vùng đó với các biên của cửa sổ. Bit 1 được đặt là 1 nếu

, các bit khác được tính tương tự.

Thuật toán

Gán mã vùng tương ứng cho các điểm đầu cuối

của đoạn thẳng cần xén lần lượt là

. Ta có nhận xét :

• Các đoạn thẳng nằm hoàn toàn bên trong cửa sổ sẽ có
  , ứng với các đoạn này, kết quả sau khi xén là chính nó.
• Nếu tồn tại
  , sao cho với bit thứ k của
  đều có giá trị 1, lúc này đoạn thẳng sẽ nằm về cùng phía ứng với bit k so với cửa sổ, do đó nằm hoàn toàn ngoài cửa sổ. Đoạn này sẽ bị loại bỏ sau khi xén. Ví dụ, nếu
  , rõ ràng bit 1 của chúng đều bằng 1 [ứng với biên trái], do đó đoạn thẳng nằm hoàn toàn về biên trái của cửa sổ. Để xác định tính chất này, đơn giản chỉ cần thực hiện phép toán logic AND trên
  . Nếu kết quả khác 0000, đoạn thẳng sẽ nằm hoàn toàn ngoài cửa sổ.
• Nếu
  không thuộc về hai trường hợp trên, đoạn thẳng có thể hoặc không cắt ngang cửa sổ [ví dụ đoạn
  trong hình 4.6] chắc chắn sẽ tồn tại một điểm nằm ngoài cửa sổ, không mất tính tổng quát giả sử điểm đó là
  . Bằng cách xét mã vùng của
  là
  ta có thể xác định được các biên mà đoạn thẳng có thể cắt để từ đó chọn một biên và tiến hành tìm giao điểm
  của đoạn thẳng với biên đó. Lúc này, đoạn thẳng ban đầu được xén thành
  . Tới đây chúng ta lại lặp lại thao tác đã xét cho đoạn thẳng mới
  cho tới khi xác định được phần nằm trong hoặc loại bỏ toàn bộ đoạn thẳng.

Chúng ta minh họa thuật toán bằng hình vẽ 4.8. Với đoạn thẳng

, ta sẽ kiểm tra

lần lượt với các biên trái, phải, dưới, trên và tìm ra điểm này nằm dưới cửa sổ, sau đó chúng ta tìm giao điểm

của đoạn thẳng với biên dưới. Lúc này đoạn thẳng ban đầu được xén ngắn lại thành

. Vì

nằm ngoài cửa sổ nên bằng cách xét tương tự, chúng ta sẽ tiến hành tìm giao điểm

của

với biên trên và lúc này đoạn

, chính là phần nằm hoàn toàn trong cửa sổ.

Trong trường hợp đoạn

,

nằm bên trái cửa sổ nên chúng ta có thể xác định điểm giao

, và từ đó loại bỏ đoạn thẳng

. Bằng cách kiểm tra mã vùng, chúng ta dễ dàng xác định được đoạn thẳng

nằm hoàn toàn bên dưới cửa sổ nên có thể bỏ đi toàn bộ.

Hình 4.8 – Minh họa thuật toán Cohen - Sutherland

Các điểm giao với các biên cửa sổ của đoạn thẳng có thể được tính từ phương trình tham số như đã đề cập ở phần trên. Tung độ y của điểm giao đoạn thẳng với biên đứng của cửa sổ có thể tính từ công thức

, trong đó x có thể là

hay

. Tương tự, hoành độ x của điểm giao đoạn thẳng với biên ngang của cửa sổ có thể tính từ công thức :

, trong đó y có thể là

hay

.

Lưu đồ thuật toán Cohen-Sutherland dùng để xén một đoạn thẳng qua hai điểm [x 1 ,y 1 ] và [x 2 ,y 2 ] vào cửa sổ hình chữ nhật cho trước

Cài đặt minh họa thuật toán Cohen - Sutherland

define TRUE 1

define FALSE 0

define LEFT 1

define RIGHT 2

define TOP 4

define BOTTOM 8

typedef struct {

int x, y;

}POINT;

typedef struct {

int Left, Top, Right, Bottom;

}RECT;

typedef int CODE;

define Accept[a,b][![a|b]]

define Reject[a,b][a&b]

// Tra ve ma vung cua p la c

void EnCode[POINT p, CODE &c, RECT rWin]

{

c = 0;

if[p.x < rWin.Left]

c |= LEFT;

if[p.x > rWin.Right]

c |= RIGHT;

if[p.y > rWin.Top]

c |= TOP;

if[p.y < rWin.Bottom]

c |= BOTTOM;

}

// Hoan vi hai diem p1 va p2 sao cho p1 luon nam ngoai cua so

void SwapPoint[POINT& p1, POINT &p2, CODE &c1, CODE &c2]

{

if[!c1]// Neu p1 nam hoan toan trong cua so

{

POINT p;

p = p1;

p1 = p2;

p2 = p;

CODE c;

c = c1;

c1 = c2;

c2 = c;

}

}

// Tra ve TRUE neu co cat cua so. Nguoc lai tra ve FALSE

intCohenSutherlandClipping[POINT P1, POINT P2, POINT &Q1, POINT &Q2, RECT rWin]

{

int fStop = FALSE, fResult = FALSE;

CODE c1, c2;

while[!fStop]

{

EnCode[P1, c1, rWin];

EnCode[P2, c2, rWin];

// Neu duong thang nam hoan toan ben trong cua so

if[Accept[c1, c2]]

{

fStop = TRUE;//break

fResult = TRUE;

}// Accept

else

{

// Neu duong thang nam hoan toan ben ngoai cua so

if[Reject[c1,c2]]

{

fStop = TRUE;//break

} // Reject

else// Xet truong hop duong thang co the cat cua so

{

SwapPoint[P1, P2, c1, c2];

float m;

if[P2.x!=P1.x]

m =float[P2.y-P1.y]/[P2.x-P1.x];

if[c1 & LEFT]

{

P1.y +=[rWin.Left-P1.x]*m;

P1.x = rWin.Left;

} // Left

else

{

if[c1 & RIGHT]

{

P1.y += [rWin.Right-P1.x]*m;

P1.x = rWin.Right;

} // Right

else

{

if[c1 & TOP]

{

if[P2.x!=P1.x]

P1.x +=[rWin.Top - P1.y]/m;

P1.y = rWin.Top;

} // Top

else// Bottom

{

if[P2.x!=P1.x]

P1.x +=[rWin.Bottom - P1.y]/m;

P1.y = rWin.Bottom;

} // Bottom

}

}

} // Xet truong hop duong thang co the cat cua so

}

} //while

Q1= P1;

Q2= P2;

return[fResult];

} //CohenSutherlandClipping

Thuật toán Liang-Barsky

Thuật toán Liang-Barsky được phát triển dựa vào việc phân tích dạng tham số của phương trình đoạn thẳng.

Ứng với mỗi giá trị t, ta sẽ có một điểm P tương ứng thuộc đường thẳng.

Hình 4.9 – Phương trình tham số của đoạn thẳng

Tập hợp các điểm thuộc về phần giao của đoạn thẳng và cửa sổ ứng với các giá trị t thỏa hệ bất phương trình :

Đặt

Lúc này ta viết hệ phương trình trên dưới dạng :

Như vậy việc tìm đoạn giao thực chất là tìm nghiệm của hệ bất phương trình này. Có hai khả năng xảy ra đó là :

• Hệ bất phương trình vô nghiệm, nghĩa là đường thẳng không có phần giao với cửa sổ nên sẽ bị loại bỏ.
• Hệ bất phương trình có nghiệm, lúc này tập nghiệm sẽ là các giá trị t thỏa
  .

Ta xét các trường hợp :

Vậy nghiệm của hệ bất phương trình là

với :

Nếu hệ trên có nghiệm thì đoạn giao

sẽ là

.

Nếu xét thuật toán này ở khía cạnh hình học ta có :

Hình 4.10 – Xét với biên trái đoạn thẳng P1P2 có hướng đi từ ngoài vào trong, nhưng so với biên phải đoạn thẳng P’1P’2 lại có hướng đi từ trong cửa sổ đi ra

Khi cài đặt thuật toán Liang-Barsky, ban đầu các giá trị t1, t2 được khởi động

. Với mỗi lần xén đoạn thẳng với một biên của cửa sổ, các giá trị

sẽ được truyền cho hàm ClipTest để xác định đoạn thẳng có bị loại bỏ hay bị xén bớt một đoạn hay không. Khi

, tham số

sẽ được xem xét để cập nhật

, khi

, r dùng để cập nhật

. Khi cập nhật

và

nếu

, đoạn thẳng sẽ bị loại bỏ. Ngoài ra nếu [p=0 và qt1]

t1= r;

}

else

{

if [p>0]

{

r =float[q]/p;

if [r