Bài tập cực trị hàm nhiều biến có lợi giải năm 2024

0% found this document useful [0 votes]

27 views

30 pages

Copyright

© © All Rights Reserved

Share this document

Did you find this document useful?

0% found this document useful [0 votes]

27 views30 pages

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN [phần 2]

Jump to Page

You are on page 1of 30

FỰF ]ZỂ DÀK GDLỀX JLặG

PDẩG :

FỰF ]ZỂ FÖ ĐLỀX ELỉGTìt : jàl tnãg2Jàl 32 ]ák fỳf trễ

::

3

zxy

  

Fỳf ēảl ēảt tảl [0,0], z ; 3

::

3

zxy

  

::

3

z x y

  

Jàl :2 ]ák fỳf trễ

::

3

zxy

  

]dỎc ēlểu elỏg x + y ‖ 3 ; 0

x + y ‖ 3 ; 0

Reward Your Curiosity

Everything you want to read.

Anytime. Anywhere. Any device.

No Commitment. Cancel anytime.

Tài liệu gồm 21 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Văn Đoàn, tuyển chọn các bài toán bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến.

Bài 1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG. 1. Bất đẳng thức Cauchy [AM – GM]. 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz [Bunhiaxcôpki]. 3. Bất đẳng thức véctơ. 4. Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp. 5. Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ. Bài 2. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ.

1. Bài toán hai biến có tính đối xứng. II. Bài toán hai biến có tính đẳng cấp. III. Bài toán có hai biến mà cần đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau. Bài 3. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM BA BIẾN SỐ.
2. Ba biến đối xứng. 1. Đặt ẩn phụ trực tiếp. 2. Đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau. II. Ba biến mà có hai biến đối xứng. III. Phương pháp đồ thị. 1. Bài toán có giả thiết tổng các biến là hằng số với P = f[a] + f[b] + f[c]. 2. Bài toán có giả thiết tổng bình phương các biến bằng hằng số với P = f[a] + f[b] + f[c]. 3. Bài toán có giả thiết tích các biến là hằng số hoặc P có dạng P = f[a].f[b].f[c]. IV. Đánh giá dồn về một biến f[a] hoặc f[b] hoặc f[c], rồi xét hàm.
3. Xét hàm lần lượt từng biến và xét hàm đại diện cho ba biến.

• Bất Đẳng Thức Và Cực Trị

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

TRƯỜNG ẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

4444443 * * * 4444443

BÀI TẬP NHÓM

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

Ề TÀI: ỨNG DỤNG CỰC TRà HÀM NHIỀU BIẾN

VÀO CÁC BÀI TOÁN LỢI NHUẬN TỐI A

NHÓM THỰC HIỆN: NHÓM 7 [SÁNG THỨ 5]

GIẢNG VIÊN: PGS. NGUYỄN THÀNH NHÂN

Mục lục

• 1 PHẦN GIỚI THIỆU
  • 1 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM
  • 1 NỘI DUNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC
• 2 PHẦN NỘI DUNG
  • 2 ẶT VẤN Ề
  • 2 KIẾN THỨC CỰC TRà HÀM NHIỀU BIẾN
  • 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỰC TRà VÀO CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ
• 3 KẾT LUẬN CHUNG
• 4 MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
• 5 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 NỘI DUNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC

HỌ VÀ TÊN NỘI DUNG CÔNG VIỆC

TỈ LỆ

ÓNG GÓP

MINH NHẬT

Biên Soạn Ứng Dụng Cực Trị

Soạn Thảo File Trình Chiếu

1.

MINH PHƯƠNG Biên Soạn Kiến Thức Cực Trị 0.

NHỰT PHÁT Biên Soạn Bài Tập Ứng Dụng 0.

ANH THƯ

Biên Soạn Bài Tập Ứng Dụng

Thuyết Trình Nội Dung

1.

XUÂN PHÚC

Biên Soạn Kiến Thức Cực Trị

Thuyết Trình Nội Dung

1.

QUANG MINH Biên Soạn Kiến Thức Cực Trị 0.

MINH TRIẾT Biên Soạn Kiến Thức Cực Trị 0.

KHÔI NGUYÊN

Biên Soạn Ứng Dụng Cực Trị

Soạn Thảo File Nội Dung

1.

HỮU KHÁNH

Quản Lí Phân Chia Công Việc

Biên Soạn Ứng Dụng Cực Trị

Soạn Thảo File Trình Chiếu

Soạn Thảo File Nội Dung

1.

2 PHẦN NỘI DUNG

2 ẶT VẤN Ề

Cực trị hàm nhiều biến là một trong những phần kiến thức trọng

tâm và quan trọng trong môn học Giải tích hàm nhiều biến , những

ứng dụng kiến thức từ cực trị hàm nhiều biến cũng vô cùng ược chú

tâm, ứng dụng nhiều và phổ biến trên các lĩnh vực khác nhau.

0 sao cho

f [ x ]g f [ x 0 ],∀ x ∈ B [ x , r ]∩ V.

1. iều kiện cần - ịnh lý nhân tử Lagrange

Giả sử các ạo hàm riêng của f tồn tại, f ạt cực trị tại x

0

với ràng

buộc φ [ x ]= 0 và∇ φ [ x

0

]̸= 0

R

n. Khi ó, tồn tại số thực λ sao cho

∇ f [ x 0

]= λ ∇ φ [ x 0

].

1. iều kiện ủ

Cho U mở trong R

n

, f : U →R, φ : U →R thỏa f , φ ∈ C

2

[ U ]. Giả

sử[ x 0 , λ 0 ]là iểm dừng của hàm Lagrange L [ x , λ ]và∇ φ [ x 0 ]̸= 0. Xét

dạng toàn phương

A [ u ]=

n

i , j = 1

∂

2 L [ x , λ 0 ]

∂x j

∂x i

[ x 0 ]

uiuj

với u =[ u

1

, u 2

,..., u n

]∈R

n

thỏa iều kiện+∇ φ [ x

0

], u , = 0. Khi ó,

• Nếu A [ u ]là dạng toàn phương xác ịnh dương thì f ạt cực tiểu

tại x

0

với ràng buộc φ [ x ]= 0.

• Nếu A [ u ]là dạng toàn phương xác ịnh âm thì f ạt cực ại tại

x 0

với ràng buộc φ [ x ]= 0.

• Nếu A [ u ]là dạng toàn phương không xác ịnh thì f không ạt

cực trị tại x

0

với ràng buộc φ [ x ]= 0.

• Nếu A [ u ]là dạng toàn phương nửa xác ịnh dương hoặc nửa xác

ịnh âm thì chưa có kết luận về cực trị của f tại x

0

với ràng buộc

φ [ x ]= 0.

2.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Cho U mở, bị chặn trongR

n

và f : U →R. Giả sử biên của tập U

[ký hiệu là ∂U , ược ịnh nghĩa bởi ∂U = U \ U ] xác ịnh bởi mặt cong

φ [ x ]= 0 , tức là

∂U =

x ∈R

n : φ [ x ]= 0

.

Ta biết rằng f ạt giá trị lớn nhất trên U. Giả sử

f [ x 0

]=max

f [ x ], x ∈ U

.

Khi ó, xảy ra một trong hai trường hợp sau ây:

• Nếu x 0 ∈ U thì f ạt cực trị không iều kiện tại x 0.

• Nếu x

0

∈ ∂U thì f ạt cực trị ràng buộc φ [ x ]= 0 tại x

0

.

Như vậy hàm f chß có thể ạt giá trị lớn nhất tại các iểm cực trị

không iều kiện hoặc cực trị với ràng buộc φ [ x ]= 0 trên U. Do ó,

ể tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f trên U , ta chß cần so

sánh giá trị của hàm f tại các iểm dừng của f và iểm dừng của hàm

Lagrange L trên U.

Vậy công ty cần phải bán ược bao nhiêu áo và quần ể công ty ạt

ược lợi nhuận cao nhất?

Hướng Dẫn Giải

Ta có: LN = 150 Q 1 + 180 Q 2 −[ Q

2

1

+ Q

2

2

+ 4 Q 1 + 2 Q 2 +100]= − Q

2

1

− Q

2

2

+ 146 Q 1 + 178 Q 2 − 100.

Suy ra

LN

′

Q 1

\= − 2 Q

1

+ 146 = 0 LN

′

Q 2

\= − 2 Q

2

+ 178 = 0

ô

Q

1

\= 73 Q

2

\= 89

.

Ma trận Hess: A =

−2 0 0 − 2

.

Nhận thấy A 1 = − 2 0 nên A là dạng toàn phương xác

ịnh âm. Do ó hàm LN ạt cực ại tại[ Q 1, Q 2]=[73,89].

Vậy công ty cần bán ược 73 cái áo, 89 cái quần ể ạt lợi nhuận

tối a.

2.3 Bài toán tối a hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng

nhưng bán trên nhiều thị trường

Một công ty sản xuất ộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên

n thị trường tách biệt. Giả sử hàm cầu trên n thị trường như sau:

QD

1

\= D 1 [ P 1 ] Q

D 2

\= D

1

[ P

2

]

...

QD

n

\= Dn [ Pn ]

Hàm tổng chi phí C = C [ Q ]với Q = Q

1

+ Q

2

+...+ Q

n

.

Trong ó:

Q là sản lượng của doanh nghiệp.

Q

i

là lượng hàng phân phối trên thị trường thứ i.

Pi là ơn giá trên thị trường thứ i ,[ i =1, n ].

Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ể doanh nghiệp ạt

lợi nhuận cực ại.

Phương Pháp Giải

Gọi Q

1

, Q

2

,..., Q

n

là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần

tìm.

ể doanh nghiệp bán hết hàng thì

             Q 1 = QD

1

Q

2

\= Q

D 2

...

Qn = QD n

⇒              Q 1 = D 1 [ P 1 ] Q

2

\= D

2

[ P

2

] ...

Qn = Dn [ Pn ]

⇒              P 1 = P 1 [ Q 1 ] P

2

\= P

2

[ Q

2

] ...

Pn = Pn [ Qn ]

Doanh thu

R = Q 1 P 1 + Q 2 P 2 +...+ QnPn =

n

i = 1

QiPi =

n

i = 1

QiPi [ Qi ]

Chi phí

Ma trận Hess: H =

− 4 − 2 − 2 − 6

.

Nhận thấy H

1

\= − 4 0 nên H là dạng toàn phương xác

ịnh âm. Do ó hàm π ạt cực ại tại[ Q 1, Q 2]=[40,60].

Vậy công ty cung cấp cho:

• Thị trường thứ 1 là Q

1

\= 40 ơn vị hàng với ơn giá là P

1

\= 310 − Q

1

\= 270.

• Thị trường thứ 2 là Q 2 = 60 ơn vị hàng với ơn giá là P 2 =

470 − 2 Q 2 = 350.

2.3 Bài toán tối a hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng

trong iều kiện ộc quyền

Cho một doanh nghiệp ộc quyền sản xuất và kinh doanh n loại

hàng hóa, biết hàm cầu của các hàng hóa trên là

Q

D 1

\= D

1

[ P

1

, P

2

,..., P

n

] QD

2

\= D 2 [ P 1 , P 2 ,..., Pn ]

...

QD

n

\= Dn [ P 1 , P 2 ,..., Pn ]

Trong ó:

Q

Di

: Lượng hàng cầu của loại hàng hóa thứ i.

P 1 , P 2 ,..., Pn : Giá bán của loại hàng hóa thứ i.

Q

1

, Q

2

,..., Q

n

: Sản lượng của loại hàng hóa thứ i.

Hàm tổng chi phí C = C [ Q ]= C [ Q

1

, Q

2

,..., Q

n

].

Tìm mức sản lượng Q 1 , Q 2 ,... Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất ể

lợi nhuận ạt cực ại.

Phương Pháp Giải

Gọi Q 1 , Q 2 ,..., Qn là các mức sản lượng cần tìm.

ể doanh nghiệp bán hết hàng thì

             Q

1

\= Q

D 1

Q 2 = QD

2

... Q

n

\= Q

Dn

⇒              Q

1

\= D

1

[ P

1

, P

2

,..., P

n

]

Q 2 = D 2 [ P 1 , P 2 ,..., Pn ]

... Q

n

\= D

n

[ P

1

, P

2

,..., P

n

] ⇒              P

1

\= P

1

[ Q

1

, Q

2

,..., Q

n

] P

2

\= P

2

[ Q

1

, Q

2

,..., Q

n

] ... P

n

\= P

n

[ Q

1

, Q

2

,..., Q

n

]

Ta có:

− 4 Q

1

− 3 Q

2

+ 55 = 0 − 6 Q 2 − 3 Q 1 + 70 = 0

ô[ Q 1

, Q

2

]= 8, 23 3

.

Ma trận Hess: H =

− 4 − 3 − 3 − 6

.

Nhận thấy H

1

\= − 4 0 nên H là dạng toàn phương xác

ịnh âm. Do ó hàm π ạt cực ại tại[ Q 1, Q 2]=

8, 23 3

.

Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ại nếu sản xuất:

• 8 ơn vị hàng thứ nhất.

• 23 3

ơn vị hàng thứ hai.

3 KẾT LUẬN CHUNG

Nhờ có các kiến thức toán học về cực trị hàm nhiều biến số mà ta

có thể giải ược một số bài toán liên quan ến việc tìm cực trị, giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất trong các bài toán kinh tế. Sau ây là một số "bài

tập vận dụng" mà ọc giả có thể tự giải.

4 MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Xét doanh nghiệp cạnh tranh thuần tuý sản xuất 2 loại sản

phẩm với hàm chi phí kết hợp:

C = 3 Q

2

1

+ 2 Q 1 Q 2 + 2 Q

2

2

+ 10.

Với giá thị trường của sản phẩm 1 là 160 ôla và giá của sản phẩm 2

là 120 ôla. Hãy chọn một cơ cấu sản lượng[ Q 1, Q 2]ể hàm lợi nhuận

ạt giá trị tối a.

Bài 2: Cho hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp như sau:

π = − X

2 + 80 X − 2 Y

2

+ 60 Y − 2 X Y − 10.

Hãy xác ịnh sản lượng X và Y ể doanh nghiệp tối a hóa lợi

nhuận. Tìm lợi nhuận tối a ó?

Bài 3: Cho một doanh nghiệp ộc quyền sản xuất và kinh doanh

một loại hàng hóa bán trên 2 thị trường tách biệt với các hàm cầu:

Q

D 1

\= 840 − 2 P

1

, Q

D 2

\= 1230 − 3 P

2

.

Hàm chi phí C = Q

2

+ 150 Q + 20 với Q = Q

1

+ Q

2

.

Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ể lợi nhuận cực

ại.

Bài 4: Cho hàm tổng doanh thu và tổng chi phí của một doanh

nghiệp như sau:

R = − X

2

+ 26 X + 60 Y , C = − 2 X

2 + 20 X − Y

2

+ 20 Y + X Y + 5.

Hãy xác ịnh sản lượng X và Y ể doanh nghiệp tối a hóa lợi

nhuận. Tìm lợi nhuận tối a ó?

Bài 5: Cho hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp như sau:

C = − X

2 + 40 X − Y

2

+ 45 Y − X Y + 6.

Hãy xác ịnh sản lượng X và Y ể doanh nghiệp tối thiểu hóa chi

phí. Tìm chi phí tối thiểu ó?