Cho đường tròn [O], điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn [O] sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn [O].
Giải:
* Phân tích
Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: AB ⊥ OB \[\widehat {ABO} = 90^\circ \]
\[AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \]
Tam giác ABO có \[\widehat {ABO} = 90^\circ \] nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có \[\widehat {ACO} = 90^\circ \] nội tiếp trong đường tròn đường kính AO.
Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn [O].
* Cách dựng
− Dựng I là trung điểm của OA.
− Dựng đường tròn [ I; IO] cắt đường tròn [O] tại B và C.
− Nối AB, AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng.
* Chứng minh
Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn [I] có OA là đường kính nên: \[\widehat {ABO} = 90^\circ \]
Suy ra: AB ⊥ OB tại B nên AB là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn [I] có OA là đường kính nên : \[\widehat {ACO} = 90^\circ \]
Suy ra: AC ⊥ OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn [O]
* Biện luận
Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn [O].
Câu 43 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn [O] đi qua A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến.
Giải:
* Phân tích
− Giả sử dựng được đường tròn [O] qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn [O] phải tiếp xúc với d tại A.
− Đường tròn [O] đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB.
− Đường tròn [O] tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A.
* Cách dựng
− Dựng đường thẳng trung trực của AB.
− Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O.
− Dựa đường tròn [ O; OA] ta được đường tròn cần dựng.
* Chứng minh
Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Khi đó đường tròn [O; OA] đi qua hai điểm A và B.
Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của [O].
Vậy [O] thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 44 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn [B ; BA] và đường tròn [C ; CA], chúng cắt nhau tại điểm D [khác A]. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn [B].
+] Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản [Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.]
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải chi tiết
* Phân tích
Giả sử tiếp tuyến \[AB\] và \[AC\] cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: \[AB ⊥ OB\] \[\Rightarrow\widehat {ABO} = 90^\circ \]
\[AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \]
Tam giác \[ABO\] có \[\widehat {ABO} = 90^\circ \] nội tiếp trong đường tròn đường kính \[AO\] và tam giác \[ACO\] có \[\widehat {ACO} = 90^\circ \] nội tiếp trong đường tròn đường kính \[AO.\]
Suy ra \[B\] và \[C\] là giao điểm của đường tròn đường kính \[AO\] với đường tròn \[[O].\]
* Cách dựng
− Dựng \[I\] là trung điểm của \[OA.\]
− Dựng đường tròn \[[ I; IO]\] cắt đường tròn \[[O]\] tại \[B\] và \[C.\]
− Nối \[AB, AC\] ta được hai tiếp tuyến cần dựng.
* Chứng minh
Tam giác \[ABO\] nội tiếp trong đường tròn \[[I]\] có \[OA\] là đường kính nên: \[\widehat {ABO} = 90^\circ \]
Suy ra: \[AB ⊥ OB\] tại \[B\] nên \[AB\] là tiếp tuyến của đường tròn \[[O].\]
Tam giác \[ACO\] nội tiếp trong đường tròn \[[I]\] có \[OA\] là đường kính nên : \[\widehat {ACO} = 90^\circ \]
Suy ra: \[AC ⊥ OC\] tại \[C\] nên \[AC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[[O]\]
* Biện luận
Luôn dựng được đường tròn tâm \[I,\] cắt đường tròn tâm \[O\] tại hai điểm \[B\] và \[C\] và luôn có \[AB, AC\] là hai tiếp tuyến của đường tròn \[[O].\]