\[1 + 2 + ... + k + \left[ {k + 1} \right] = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]} \over 2}\]
Thật vậy ta có :
\[\eqalign{ & 1 + 2 + ... + k + \left[ {k + 1} \right] \cr & = {{k\left[ {k + 1} \right]} \over 2} + \left[ {k + 1} \right] \cr & = {{k\left[ {k + 1} \right] + 2\left[ {k + 1} \right]} \over 2} \cr & = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]} \over 2} \cr} \]
Vậy [1] đúng với \[n = k + 1\] do đó [1] đúng với mọi n nguyên dương.
Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :
\[{2^2} + {4^2} + ... + {\left[ {2n} \right]^2} = {{2n\left[ {n + 1} \right]\left[ {2n + 1} \right]} \over 3}\]
Giải
+] Với \[n = 1\] ta có \[{2^2} = {{2.2.3} \over 3}\] [đúng].
Vậy [1] đúng với \[n = 1\]
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\], tức là ta có :
\[{2^2} + {4^2} + ... + {\left[ {2k} \right]^2} = {{2k\left[ {k + 1} \right]\left[ {2k + 1} \right]} \over 3}\]
+] Ta chứng minh [1] đúng với \[n = k + 1\], tức là phải chứng minh :
\[{2^2} + {4^2} + ... + {\left[ {2k} \right]^2} + {\left[ {2k + 2} \right]^2} = {{2\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {2k + 3} \right]} \over 3}\]
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :
\[\eqalign{ & {2^2} + {4^2} + ... + {\left[ {2k} \right]^2} + {\left[ {2k + 2} \right]^2} \cr & = {{2k\left[ {k + 1} \right]\left[ {2k + 1} \right]} \over 3} + {\left[ {2k + 2} \right]^2} \cr & = {{2\left[ {k + 1} \right]\left[ {2{k^2}+k+ 6k + 6} \right]} \over 3} \cr & = {{2\left[ {k + 1} \right]\left[ {2k\left[ {k + 2} \right] + 3\left[ {k + 2} \right]} \right]} \over 3} \cr & = {{2\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {2k + 3} \right]} \over 3} \cr} \]
Vậy [1] đúng với \[n = k + 1\] do đó [1] đúng với mọi \[n \in\mathbb N^*\]
Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \[n\], ta luôn có bất đẳng thức sau :
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \]
Giải:
+] Với \[n = 1\] ta có \[1 < 2\sqrt 1 \] .
Vậy [1] đúng với \[n = 1\]
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\], tức là ta có :
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k \]
+] Ta chứng minh [1] đúng với \[n = k + 1\], tức là phải chứng minh :
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \left[ * \right]\]
Theo giả thiết qui nạp ta có :
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\]
Để chứng minh [*] ta cần chứng minh
\[2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \]
Thật vậy ta có :
\[\eqalign{ & 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left[ {k + 1} \right]} + 1 < 2\left[ {k + 1} \right] \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left[ {k + 1} \right]} < 2k + 1 \cr & \Leftrightarrow 4k\left[ {k + 1} \right] < {\left[ {2k + 1} \right]^2} \cr} \]
\[ \Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1\]
\[⇔ 0 < 1\] [luôn đúng]
Vậy ta có [*] luôn đúng tức [1] đúng với \[n = k + 1\], do đó [1] đúng với mọi \[n \in \mathbb N^*\].
Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên \[n ≥ 2\], ta luôn có đẳng thức sau :
\[\left[ {1 - {1 \over 4}} \right]\left[ {1 - {1 \over 9}} \right]...\left[ {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right] = {{n + 1} \over {2n}}\]
Giải
+] Với \[n = 2\] ta có \[1 - {1 \over 4} = {3 \over 4}\] [đúng]. Vậy [1] đúng với \[n = 2\]
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\], tức là ta có
\[\left[ {1 - {1 \over 4}} \right]\left[ {1 - {1 \over 9}} \right]...\left[ {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right] = {{k + 1} \over {2k}}\]
+] Ta chứng minh [1] đúng với \[n = k + 1\], tức là phải chứng minh :
\[\left[ {1 - {1 \over 4}} \right]\left[ {1 - {1 \over 9}} \right]...\left[ {1 - {1 \over {{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}} \right] = {{k + 2} \over {2\left[ {k + 1} \right]}}\]
Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :
\[\eqalign{ & \left[ {1 - {1 \over 4}} \right]\left[ {1 - {1 \over 9}} \right]...\left[ {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right]\left[ {1 - {1 \over {{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}} \right] \cr & = {{k + 1} \over {2k}}\left[ {1 - {1 \over {{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}} \right] \cr & = {{k + 1} \over {2k}}.{{{k^2} + 2k} \over {{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}} ={{k + 1} \over {2k}}.{{k.\left[ {k + 2} \right]} \over {{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}= {{k + 2} \over {2\left[ {k + 1} \right]}} \cr} \]
Vậy [1] đúng với \[n = k + 1\] do đó [1] đúng với mọi \[n ≥ 2\]
Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau :
\[{1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}.\]
Giải:
+] Với \[n = 2\] ta có : \[{1 \over 3} + {1 \over 4} = {7 \over {12}} > {{13} \over {24}}\]
Như vậy [1] đúng khi \[n = 2\]
+] Giả sử [1] đúng khi \[n = k, k > 2\], tức là giả sử
\[{1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\]
+] Ta sẽ chứng minh [1] cũng đúng khi \[n = k + 1\], nghĩa là ta sẽ chứng minh
\[{1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left[ {k + 1} \right]}} > {{13} \over {24}}\]
Thật vậy , ta có:
\[\eqalign{ & {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left[ {k + 1} \right]}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left[ {k + 1} \right]}} - {1 \over {k + 1}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {{2\left[ {k + 1} \right] + 2k + 1 - 2\left[ {2k + 1} \right]} \over {2\left[ {k + 1} \right]\left[ {2k + 1} \right]}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2\left[ {k + 1} \right]\left[ {2k + 1} \right]}} \cr & > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}} \cr} \]
[theo giả thiết quy nạp]
Từ các chứng minh trên suy ra [1] đúng với mọi số nguyên \[n > 1\].
Câu 6 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Với mỗi số nguyên dương n, đặt \[{u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\] [1] .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 5.
Giải:
+] Với \[n = 1\], ta có:
\[{u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}} = 7 + 3 = 10\] \[\vdots\] \[ 5\]
Suy ra [1] đúng khi \[n = 1\].
+] Giả sử [1] đúng khi \[n = k, k \in \mathbb N^*\], tức là:
\[{u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]\] \[\vdots\] \[ 5\]
+] Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \[n = k + 1\]
Thật vậy, ta có :
\[\eqalign{ & {u_{k + 1}} = {7.2^{2\left[ {k + 1} \right] - 2}} + {3^{2\left[ {k + 1} \right] - 1}} \cr & = {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} \cr & = 4\left[ {{{7.2}{2k - 2}} + {3{2k - 1}}} \right] + 5.{3^{2k - 1}} \cr & = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}}\,\, \cr} \]
Vì \[u_k \] \[⋮\] \[5\] [theo giả thiết qui nạp], nên suy ra \[{u_{k + 1}}\] chia hết cho \[5\] ta được điều cần chứng minh.
Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho số thực \[x > -1\]. Chứng minh rằng :
\[{\left[ {1 + x} \right]^n} \ge 1 + nx\] [1]
Với mọi số nguyên dương n.
Giải
+] Với \[n = 1\], ta có \[{\left[ {1 + x} \right]^1} = 1 + x = 1 + 1.x\]
Như vậy, ta có [1] đúng khi \[n = 1\]
+] Giả sử đã có [1] đúng khi \[n = k, k \in \mathbb N^*\], tức là:
\[{\left[ {1 + x} \right]^k} \ge 1 + kx\]
+] Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \[n = k + 1\].
Thật vậy, từ giả thiết \[x > -1\] nên \[[1+x]>0\]
Theo giả thiết qui nạp, ta có : \[{\left[ {1 + x} \right]^k} \ge 1 + kx\] [2]
Nhân hai vế của [2] với \[[1+x]\] ta được:
\[\eqalign{ & {\left[ {1 + x} \right]^{k + 1}} \ge \left[ {1 + x} \right]\left[ {1 + kx} \right] \cr & = 1 + \left[ {k + 1} \right]x + k{x^2} \ge 1 + \left[ {k + 1} \right]x \cr} \]
Từ các chứng minh trên suy ra [1] đúng với mọi \[n \in \mathbb N^*\].
Câu 8 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Một học sinh chứng minh mệnh đề “Với \[k\] là một số nguyên dương tùy ý, nếu \[{8^k} + 1\] chia hết cho 7 thì \[{8^{k + 1}} + 1\] cũng chia hết cho 7 ” như sau :
Ta có: \[{8^{k + 1}} + 1 = 8\left[ {{8^k} + 1} \right] - 7.\] Từ đây và giả thiết “\[{8^k} + 1\] chia hết cho 7”, hiển nhiên suy ra \[{8^{k + 1}} + 1\] chia hết cho 7.
Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được “\[{8^n} + 1\] chia hết cho 7 với mọi \[n \in \mathbb N^*\] ” hay không ? Vì sao ?
Giải
Không thể kết luận “\[{8^n} + 1\] chia hết cho 7 với mọi \[n \in \mathbb N^*\] ”, vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi \[n = 1\].